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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 二维随机变量二维随机变量 边缘分布边缘分布 随机变量的独立性随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布第三章 多维随机变量及其分布篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统11、二维随机变量、二维随机变量一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念 定义
2、定义定义定义1 1 1 1 设在在试验E E的的样本空本空间S=eS=e上定上定义了两个了两个 随机变量随机变量X X、Y,Y,称向量称向量(X,Y)(X,Y)为为二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量或或二维随二维随二维随二维随 机向量机向量机向量机向量.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 二二维随机随机变量量(X,Y)(X,Y)不不仅与各个随机与各个随机变量量X,YX,Y有关有关,也与也与X,YX,Y间的间的内在联系内在联系有关有关.因此因此,不能不能试图通通过单独研究随机独研究随机变量量X,YX,Y而来了
3、解而来了解 二维随机变量二维随机变量(X,Y),(X,Y),必须将必须将(X,Y)(X,Y)作为一个整体来研究作为一个整体来研究.类似于一维随机变量类似于一维随机变量,我们也可利用我们也可利用“分布函数分布函数”来来研研 究二维随机变量究二维随机变量(X,Y),(X,Y),并且分别就离散型与连续型来加并且分别就离散型与连续型来加 以分析以分析.请请 你你 注注 意意篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 定义定义定义定义2 2 2 2 设(X,Y)(X,Y)为二二维随机随机变量量,称二元函数称二元函数为二维随机变量为二维随机
4、变量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数,也称为随机变量也称为随机变量X X 与与Y Y的的联合分布函数联合分布函数联合分布函数联合分布函数,其中其中 为任意实数任意实数.分布函数分布函数 在点在点 处的函数值就是事件处的函数值就是事件“随机点随机点(X,Y)落在以点落在以点 为右上顶点的角形区为右上顶点的角形区 域域”的概率的概率.二、分布函数及其性质二、分布函数及其性质二、分布函数及其性质二、分布函数及其性质二、分布函数及其性质二、分布函数及其性质定义域为定义域为全平面全平面篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 分
5、布函数具有下列分布函数具有下列基本性质基本性质基本性质基本性质:关于关于x、y均均单调不减单调不减右连续右连续右连续右连续.对任意点对任意点 均有：均有：分布函数与离散型二维随机变量分布函数与离散型二维随机变量分布律分布律分布律分布律、连、连 续型二维随机变量续型二维随机变量概率密度概率密度概率密度概率密度的关系的关系见后见后.随机向量落在矩随机向量落在矩形区域的概率形区域的概率篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统三、离散型二维随机变量三、离散型二维随机变量三、离散型二维随机变量三、离散型二维随机变量三、离散型二维随机变量
6、三、离散型二维随机变量 1 1、概念、概念、概念、概念 定义定义定义定义3 3 3 3 如果二如果二维随机随机变量量(X,Y)(X,Y)所有可能取所有可能取值为 有限个或可列无限个点有限个或可列无限个点,则称则称(X,Y)(X,Y)为为二维离散型随机二维离散型随机二维离散型随机二维离散型随机 变量变量变量变量.2 2、分布律、分布律、分布律、分布律 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)可能取值为可能取值为 则则(X,Y)的的分布律分布律分布律分布律(概率分布概率分布)X与与Y的的联合分布律联合分布律联合分布律联合分布律为为篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的
7、，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 分布律分布律满足满足:分布律可用表格分布律可用表格表示表示:XY 概率的非负性概率的非负性概率的规范性概率的规范性篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例1】P.71 将一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次,以以以以X X表示在表示在表示在表示在“三次中出现正三次中出现正三次中出现正三次中出现正面的次数面的次数面的次数面的次数”,Y”,Y表示表示表示表示“三次中正、反面次数差的绝对值三次中正、反面次数差的绝对值三次中正、反面次数差的绝对值
8、三次中正、反面次数差的绝对值”,”,求求求求X X与与与与Y Y的联合分布律的联合分布律的联合分布律的联合分布律.解解X取值取值0,1,2,3;Y取值取值1,3.基本事件总数为基本事件总数为8.X与与Y的的联合分布律联合分布律为为:PX=0,Y=1=P()=0;PX=0,Y=3=1/8;TTT PX=1,Y=1=3/8;HTT,THT,TTHPX=1,Y=3=P()=0;PX=2,Y=1=3/8;HHT,HTH,THH PX=2,Y=3=P()=0;PX=3,Y=1=P()=0;PX=3,Y=3=1/8.HHH古典概率古典概率篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮
9、球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例1-续X与与Y的联合分布律为：的联合分布律为：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二维离散型随机变量的分布列形象化解释二维离散型随机变量的分布列形象化解释 设想将一单位质量的物质分配在（设想将一单位质量的物质分配在（X，Y）所）所 有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概 率值。率值。这样一来，随机变量取值落在某个平面区域这样一来，随机变量取值落在某个平面区域 G上的概率就等于上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。内各可能取值点处概率
10、之和。请自学请自学P.72:例例2。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统四、连续型二维随机变量四、连续型二维随机变量四、连续型二维随机变量四、连续型二维随机变量四、连续型二维随机变量四、连续型二维随机变量 1 1、概念、概念、概念、概念 定义定义定义定义4 4 4 4 设 为二二维随机随机变量量(X,Y)(X,Y)分布函数分布函数,如果存在非负函数如果存在非负函数 使对任意实数使对任意实数 有有 则称则称(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,其中其中 称为称为 随机变量随机变量(X,Y)(X,Y)(
11、X,Y)(X,Y)的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度,或称或称为随机随机变量量X X X X与与与与Y Y Y Y的的的的联联 合概率密度合概率密度合概率密度合概率密度.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2 2、概率密度及其性质、概率密度及其性质、概率密度及其性质、概率密度及其性质概率密度具有下列概率密度具有下列性质性质:设设G为平面为平面xoy上的一个区域上的一个区域,则随机点则随机点(X,Y)落在落在G内的概率为内的概率为:曲顶柱曲顶柱体体积体体积确定待定参数确定待定参数 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里
12、得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统概率密度性质 若若 在点在点 处连续处连续,则有则有由分布函由分布函数求概率密数求概率密度度由概率密由概率密度求分布函度求分布函数数 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例2】(典型题）设设设设r.v.(X,Y)r.v.(X,Y)的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 解由概率密度性质得解由概率密度性质得(1)(1)确定确定确定确定C C的值的值的值的值;(2);(2)求求求求(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数;(3
13、);(3)求概率求概率求概率求概率 (1)因为因为篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 所以所以 故故例2-续1 (2)由概率密度求分布函数由概率密度求分布函数.解题思路解题思路 画出画出联合概率密度的联合概率密度的 非零区域非零区域;点(x,y)在全平面范围在全平面范围 内取值内取值;综合上述两点得出就综合上述两点得出就(x,y)的分段情形的分段情形.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例2-续2 本例中分布函数应分为两段来计算本例中分布函数应分为两
14、段来计算:就就x0,y0与与“其它其它”。利用重积分对积分利用重积分对积分区域的可加性区域的可加性,只只保留非零积分保留非零积分篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例2-续3 (3)求概率求概率PYX.只需在只需在概率密度概率密度概率密度概率密度f f的非零的非零的非零的非零 区域区域区域区域与与事件区域事件区域事件区域事件区域 G=(x,y)|yx 的的交集交集交集交集D D上积分上积分.由公式由公式 得得:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例2-
15、续4本例是一个本例是一个本例是一个本例是一个典型典型典型典型题题.大家大家大家大家应应熟熟熟熟练练掌握分析与掌握分析与掌握分析与掌握分析与计计算算算算 的方法。特的方法。特的方法。特的方法。特别别是会根据是会根据是会根据是会根据不同形状不同形状不同形状不同形状的的的的概率密度非零区域概率密度非零区域概率密度非零区域概率密度非零区域 与所求概率的与所求概率的与所求概率的与所求概率的事件事件区域区域区域区域G G G G来来来来处处理理理理这类问题这类问题。就就P.73:例例3来共同考虑如何分段来共同考虑如何分段?应分几段应分几段?怎怎 样计算各段值样计算各段值?(板书板书)篮球比赛是根据运动队在
16、规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 二维均匀分布二维均匀分布 设设G为一个平面有界区域为一个平面有界区域,其其 面积为面积为A.如果二维连续型随机变量如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密的概率密 度为度为则称则称(X,Y)服从区域服从区域G上的均匀分布上的均匀分布,记为记为(X,Y)U(G).1 1、二维均匀分布、二维均匀分布两种常见的二维连续型分布两种常见的二维连续型分布篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 二维正态分布二维正态分布二维正态分布二维正态分布 设二维连
17、续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为2 2、二维正态分布、二维正态分布 其中其中 均为常数均为常数,称称(X,Y)为服从参数为为服从参数为 的二维正态分布的二维正态分布,记为记为篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 2 2、边缘分布、边缘分布、边缘分布、边缘分布一、边缘分布函数及其求法一、边缘分布函数及其求法一、边缘分布函数及其求法一、边缘分布函数及其求法一、边缘分布函数及其求法一、边缘分布函数及其求法 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为 ,X与与Y 作为单个随机变
18、量的分布函数分别为作为单个随机变量的分布函数分别为 ,称称分别为二维随机变量分别为二维随机变量(X,Y)关于关于X和关于和关于Y的的边缘分布边缘分布 函数函数.问题问题:联合分布联合分布(函数函数)与边缘分布与边缘分布(函数函数)有什么关有什么关系系?结论结论:联合分布联合分布(函数函数)边缘分布边缘分布(函数函数)但当但当X与与Y相互独立时相互独立时,联合分布联合分布(函数函数)与与边缘分边缘分布布(函数函数)可相互确定可相互确定.3篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为
19、的分布函数为 ,边缘分边缘分 布函数布函数即即X与与Y的分布函数的分布函数为为 ，则有，则有 因此，由联合分布函数可因此，由联合分布函数可 求得边缘分布函数：求得边缘分布函数：即可通过即可通过联合分布函数求极限联合分布函数求极限联合分布函数求极限联合分布函数求极限 来确定边缘分布函数来确定边缘分布函数来确定边缘分布函数来确定边缘分布函数。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二、离散型二维随机变量的边缘分布律二、离散型二维随机变量的边缘分布律二、离散型二维随机变量的边缘分布律二、离散型二维随机变量的边缘分布律二、离散型二维随
20、机变量的边缘分布律二、离散型二维随机变量的边缘分布律 设设离散型离散型二维随机变量二维随机变量(X,Y)的的分布律分布律为为 则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关 系得：系得：又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得：又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得：比较可得比较可得X的分布律的分布律为：为：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 同理可得同理可得Y的分布律的分布律为：为：我们称我们称(X,Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律(X,Y)关于关于Y的的边缘分
21、布律边缘分布律 显然显然,由联合分布律由联合分布律可可求求得各个得各个边缘分布律边缘分布律,只需只需 采用采用“同一表格法同一表格法”.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设设r.v.X与与Y的联合分布律为的联合分布律为 解利用公式得边缘分布律解利用公式得边缘分布律,见上表见上表“边缘边缘”.求求X,Y的边缘分布律的边缘分布律.【例3】篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统三、连续型二维随机变量的边缘概率密度三、连续型二维随机变量的边缘概率密度三、连续型
22、二维随机变量的边缘概率密度三、连续型二维随机变量的边缘概率密度三、连续型二维随机变量的边缘概率密度三、连续型二维随机变量的边缘概率密度 设设连续型连续型二维随机变量二维随机变量(X,Y)的的概率密度概率密度为为 则由联合分布函数与边缘分布函数、联合概率密度关则由联合分布函数与边缘分布函数、联合概率密度关系得：系得：又由一维连续型随机变量分布函数与概率密度关系得：又由一维连续型随机变量分布函数与概率密度关系得：比较可得比较可得X为连续型随机变量为连续型随机变量,且且X的概率密度的概率密度为：为：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型
23、的系统 同理可得同理可得Y的概率密度的概率密度为：为：我们称我们称(X,Y)关于关于X的的边缘概率密度边缘概率密度(X,Y)关于关于Y的的边缘概率密度边缘概率密度 显然显然,由联合概率密度由联合概率密度可可求求得各个得各个边缘概率密度边缘概率密度,只需对某只需对某一个变量在一个变量在(-,+)上积分上积分,但必须注意但必须注意另另 一个变量应在全体实数范围内取值一个变量应在全体实数范围内取值.参量积分参量积分篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例4】(典型题）设设设设r.v.Xr.v.X与与与与Y Y的联合概率密度为的联
24、合概率密度为的联合概率密度为的联合概率密度为 解题思路解题思路 求求求求X,YX,Y的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度.画出画出联合概率密度的联合概率密度的 非零区域非零区域;参量x(y)在在实数实数范围范围 内取值内取值;综合上述两点就综合上述两点就x(y)分两种情形分两种情形关于关于y(x)由由-积分到积分到+,只需在积分直线只需在积分直线 与非零区域与非零区域交线交线上进行上进行.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统类似可得类似可得:解由公式得解由公式得:例4-续1篮球比赛是根据运动队在规定的比
25、赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例4-续2本例是求本例是求边缘概率密概率密度的度的典型典型题，不同的，不同的题目目只是非零区域形状和只是非零区域形状和积分分表达式的表达式的变化，必化，必须熟熟练掌握掌握.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二维正态分布的边缘分布 不难不难求得求得二维正态分布随机变量的边缘概率密二维正态分布随机变量的边缘概率密 度度为为:由此可知由此可知:二维正态分布的边缘分布均为一维正二维正态分布的边缘分布均为一维正 态分布态分布,且与参数且与参数无关无关.表
26、明表明:由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布,但由边缘但由边缘 分布未必能确定联合分布分布未必能确定联合分布.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 3 3、相互独立的随机变量、相互独立的随机变量、相互独立的随机变量、相互独立的随机变量则称随机变量则称随机变量X X与与Y Y是是相互独立相互独立相互独立相互独立的的.定义定义定义定义1 1 1 1 设 分分别为二二维随机随机 变量变量(X,Y)(X,Y)分布函数与边缘分布函数分布函数与边缘分布函数.如果对于任意如果对于任意 的实数的实数 均有均有 一、概念一、
27、概念一、概念一、概念一、概念一、概念即即 利用两事件的独立性可以定义两随机变量的独立利用两事件的独立性可以定义两随机变量的独立性性.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二、判定二、判定二、判定二、判定二、判定二、判定 由定由定义可以判定随机可以判定随机变量量X X与与Y Y的的独立性独立性:X X与与Y Y相互相互独立独立 特特别的，的，对离散性和离散性和连续性随机性随机变量，也可利量，也可利 用其分布律与概率密度来判定独立性。用其分布律与概率密度来判定独立性。1 1、离散型随机变量、离散型随机变量、离散型随机变量、离散型
28、随机变量 离散型随机离散型随机变量量(X,Y)(X,Y)的分布律、的分布律、边缘分布律分布律 分别为分别为篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统则则X X与与Y Y相互独立的相互独立的充要条件充要条件是是:对对(X,Y)(X,Y)的的所有所有可能可能 取得值取得值 ,均有均有 设连续型随机型随机变量量(X,Y)(X,Y)的概率密度、的概率密度、边缘概率概率 密度分别为密度分别为则则X X与与Y Y相互独立的相互独立的充要条件充要条件是是:在全平面上在全平面上几乎处处几乎处处 成立成立2 2、连续型随机变量、连续型随机变量、连
29、续型随机变量、连续型随机变量篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 总之，联合分布可确定边缘分布总之，联合分布可确定边缘分布;但当但当X X与与Y Y相互相互 独立时，边缘分布也可确定联合分布。独立时，边缘分布也可确定联合分布。一般，要判定一般，要判定X X与与Y Y的独立性，可先求边缘分布的独立性，可先求边缘分布,再依据上述条件之一判定再依据上述条件之一判定.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例1】设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量(X,Y)
30、(X,Y)的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为(1)(1)求求求求(X,Y)(X,Y)的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度;(2)(2)判定判定判定判定X,YX,Y的独立性的独立性的独立性的独立性.解解(1)求求(X,Y)的边缘概的边缘概率率 密度密度篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例1-续1篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(2)判定独立性判定独立性因为因为 即即X与与Y不独立不独立。所以在联合概率密度非零区域内
31、所以在联合概率密度非零区域内例1-续2篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例2】(典型题）设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立,且且且且X X服从服从服从服从(0,1)(0,1)上的均匀上的均匀上的均匀上的均匀分分分分 布布布布,Y,Y的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为(1)(1)求求求求X X与与与与Y Y的联合概率密度的联合概率密度的联合概率密度的联合概率密度;(2)(2)求关于求关于求关于求关于t t的二次方程的二次方程的二次方程的二次方程t2+2Xt+
32、Y=0 t2+2Xt+Y=0 有实根的概率有实根的概率有实根的概率有实根的概率.解解(1)(1)求求求求X X与与与与Y Y的联合概率密度的联合概率密度的联合概率密度的联合概率密度 因为因为X,Y独立独立,且且有有篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 所以所以,X与与Y的联合概率密度为的联合概率密度为例2-续1 (2)(2)求方程有实根的概率求方程有实根的概率求方程有实根的概率求方程有实根的概率 “方程有实根方程有实根”即为即为 故所求概率为故所求概率为;篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮
33、球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例2-续2篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 均匀分布的概率密度；均匀分布的概率密度；当两个随机变量相互独立时，可由边缘概率当两个随机变量相互独立时，可由边缘概率 密度确定联合概率密度；密度确定联合概率密度；由联合概率密度求事件由联合概率密度求事件“二维随机变量取值二维随机变量取值落落 在一个平面区域内在一个平面区域内”概率的积分公式；概率的积分公式；二重积分的计算；二重积分的计算；利用标准正态概率密度函数计算有关概率积利用标准正态概率密度函数计算有关概率积 分值；分值；一元二次方
34、程有实根的条件，等。一元二次方程有实根的条件，等。本题知识点回顾本题知识点回顾本题知识点回顾本题知识点回顾篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 不难看出：对于二维正态随机变量不难看出：对于二维正态随机变量(X,Y),X与与Y相相 互独立的充要条件是参数互独立的充要条件是参数=0.参数参数称为称为X与与Y的的相关系数相关系数(ch4).如果随机变量如果随机变量X与与Y的的相关系数相关系数=0,称称X与与Y是是不不 相关相关的的.一般一般,X与与Y相互相互独立独立 X与与Y不相关不相关.但对但对二维正态二维正态随机变量随机变量
35、(X,Y),X与与Y独立独立与与不相不相 关关是是等价等价的的.续 由一、二维随机变量推广至由一、二维随机变量推广至n维随机变量维随机变量.请看教请看教 材材篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 我们知道：我们知道：二维正态二维正态随机变量随机变量(X,Y)的的概率密度概率密度为为 两个两个边缘概率密度边缘概率密度为为二维正态分布与边缘分布篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 4 4、条件分布、条件分布、条件分布、条件分布一、离散型二维随机变量的条件分
36、布律一、离散型二维随机变量的条件分布律一、离散型二维随机变量的条件分布律一、离散型二维随机变量的条件分布律一、离散型二维随机变量的条件分布律一、离散型二维随机变量的条件分布律 定义定义定义定义1 1 设（设（设（设（X X，Y Y）为离散型二维随机变量，）为离散型二维随机变量，）为离散型二维随机变量，）为离散型二维随机变量，对于固定的对于固定的对于固定的对于固定的j j，当，当，当，当 时，称时，称时，称时，称为为在在 条件下条件下X的条件分布律的条件分布律；由条件概率可以自然地引入条件分布。由条件概率可以自然地引入条件分布。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮
37、球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统为为在在 条件下条件下Y的条件分布律的条件分布律。对于固定的对于固定的i，当，当 时，称时，称篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设设r.v.X与与Y的联合分布律为的联合分布律为求在求在Y=1条件下条件下X的条件分布律的条件分布律.【例1】解先求边缘分布律解先求边缘分布律,见上表见上表“边缘边缘”.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 再求条件分布律：再求条件分布律：显然，条件分布律也满足分布律的性质。显然，条件
38、分布律也满足分布律的性质。例1-续篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 定义定义定义定义2 2 设连续型二维随机变量设连续型二维随机变量设连续型二维随机变量设连续型二维随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密的概率密的概率密的概率密 度为度为度为度为 ，边缘概率密度为，边缘概率密度为，边缘概率密度为，边缘概率密度为 ，则当，则当，则当，则当 时，称时，称时，称时，称为为在条件在条件 下下X的条件概率密度的条件概率密度；当；当 时，时，称称为为在条件在条件 下下Y的条件概率密度的条件概率密度二、连续型二维随机变量的条件概率密度二
39、、连续型二维随机变量的条件概率密度二、连续型二维随机变量的条件概率密度二、连续型二维随机变量的条件概率密度篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例【例2 2】设设设设r.v.Xr.v.X与与与与Y Y的联合概率密度为的联合概率密度为的联合概率密度为的联合概率密度为求条件概率密度求条件概率密度求条件概率密度求条件概率密度 。解先求边缘概率密度：解先求边缘概率密度：再先条件概率密度：当再先条件概率密度：当 时，时，篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 5
40、5、二维随机变量函数的分布、二维随机变量函数的分布、二维随机变量函数的分布、二维随机变量函数的分布 一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过，一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过，下面就几个具体的分布来讨论下面就几个具体的分布来讨论二维随机变量函数的分二维随机变量函数的分 布布。主要就主要就连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)来根据具体情况应用来根据具体情况应用 公式公式:至于至于离散型离散型随机变量情形可参照处理随机变量情形可参照处理.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 5 5、二维随机变量函数的分布、二维随机变
41、量函数的分布、二维随机变量函数的分布、二维随机变量函数的分布 一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过，一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过，下面就几个具体的分布来讨论下面就几个具体的分布来讨论二维随机变量函数的分二维随机变量函数的分 布布。主要就主要就连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)来根据具体情况应用来根据具体情况应用 公式公式:至于至于离散型离散型随机变量情形可参照处理随机变量情形可参照处理.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 由由对称性对称性得：得：因此因此,由由联合概率密度联合概率密度求求和分布和分布Z
42、=X+Y的概率密的概率密 度度公式为：公式为：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 特别，当特别，当X与与Y相互相互独立独立时时,几乎处处有几乎处处有:于是于是,上述公式变为上述公式变为卷积公式卷积公式:因此因此,一般一般可由可由X与与Y的联合概率密度求和分布的联合概率密度求和分布 Z=X+Y的概率密度的概率密度;当当X与与Y独立独立时时,可由边缘概率密可由边缘概率密 度的卷积公式求之度的卷积公式求之.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 参照参照D就
43、就z在在(-,+)上进行分段上进行分段;对上述各分段中取定的对上述各分段中取定的z值值,就就x从从-积分至积分至+,实际只需在非零区域实际只需在非零区域D上一段积分上一段积分.卷积计算思路卷积计算思路 在在xoz平面上确定被积函数及其非零区域平面上确定被积函数及其非零区域D;注意：上述也是一般参量积分的计算方法。注意：上述也是一般参量积分的计算方法。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立,且均服从标准正态分布且均服从标准正态分布且均服从标准
44、正态分布且均服从标准正态分布,求求求求Z=X+YZ=X+Y的概率分布的概率分布的概率分布的概率分布.所以由卷积公式得所以由卷积公式得Z=X+Y概率密度为概率密度为 解因为解因为X,Y独立且其概率密度分别为独立且其概率密度分别为【例1】1、z在在(-,+)上取值上取值;2、x在在(-,+)上积分上积分;3、考虑被积函数的非零区域、考虑被积函数的非零区域;4、在、在xoz系中综合上述各点确系中综合上述各点确定定z的分段情形的分段情形.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例1-续1所以所以ZN(0,2).篮球比赛是根据运动队在规
45、定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立,且概率密度均为：且概率密度均为：且概率密度均为：且概率密度均为：解因为解因为X,Y独立独立,所以所以和分布和分布概率密度可由概率密度可由卷卷 积公式积公式计算计算:求求求求Z=X+YZ=X+Y概率密度。概率密度。概率密度。概率密度。计算积分计算积分思路思路:1.被积函数非零区域被积函数非零区域;2.z取任意取任意实实 数数;3.x在在(-,+)上积分上积分;4.综合上述就综合上述就z分段分段.【例2】(典型题)篮球比赛是根据运
46、动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例2-续1 由边缘概率密度确定由边缘概率密度确定 的表达式的表达式,特别是其非零区域特别是其非零区域:由题目条件得由题目条件得:故得故得:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 计算卷积计算卷积:函数自变量为函数自变量为z,积分变量为积分变量为x,当当z取值范围确取值范围确 定后定后,x由由-积分至积分至+(只需在非零区域内一段上积只需在非零区域内一段上积 分分).例2-续2篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，
47、因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 因为因为所以所以例2-续3篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统综上可得综上可得:例2-续4篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统离散型随机变量和分布离散型随机变量和分布 设设离散型离散型随机变量随机变量(X,Y)的的概率分布概率分布为为 则随机变量则随机变量Z=X+Y的的概率分布概率分布为：为：特别特别,当当X,Y独立时独立时,则则Z=X+Y的的概率分布概率分布为：为：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间
48、里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例【例3 3】P.90:P.90:例例11 解解Z=X+Y可能取值为可能取值为-3,-2,-1,0,1,2,3;且且篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统值得注意值得注意:二项分布和泊松分布均具有二项分布和泊松分布均具有“可加性可加性”：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
49、设设连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)的的概率密度概率密度为为 则随机变量则随机变量Z=X/Y的的分布函数分布函数为：为：二、商分布二、商分布二、商分布二、商分布二、商分布二、商分布Z=X/YZ=X/YZ=X/Y篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统由广义积分求导公式得：由广义积分求导公式得：Z=X/Y的概率密度为的概率密度为即即商分布的概率密度商分布的概率密度为：为：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统于是于是,上述公式变为上述公式变为:特别，当特
50、别，当X与与Y相互相互独立独立时时,几乎处处有几乎处处有:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立,且概率密度均为：且概率密度均为：且概率密度均为：且概率密度均为：求求求求Z=X/YZ=X/Y概率密度。概率密度。概率密度。概率密度。解因为解因为X,Y独立独立,所以由所以由公式公式 计算商分布的概率密度。计算商分布的概率密度。【例4】计算积分计算积分思路思路:1.被积函数非零区域被积函数非零区域;2.z取任意取任意实实 数数;3.y在在(-,+)