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1、- 1 -20192019 届高三数学上学期期中联考试题届高三数学上学期期中联考试题 理理第第卷卷(选择题 共 60 分)一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 个小题个小题, ,每个小题每个小题 5 5 分分, ,满分满分 6060 分分. .每个小题的四个选项中每个小题的四个选项中, ,只有一只有一项符合要求）项符合要求）1.已知集合是整数集,则2 |20,Ax xxZAZ A. 1B.1C. 1,0D.0,12.若复数为纯虚数,其中则的值为1()izaRaizA.1B.2C.3D.23在ABC 中，若，则4ABACAP PB A B 31 44ABAC 31 44ABAC C
2、 D 13 44ABAC 13 44ABAC 4.已知命题则有关命题的真假及的论述正确的是:(0,),cos.22pxxx pp假命题, A.000:(0,),cos.22pxxx真命题, B.000:(0,),cos.22pxxx假命题, C.000:(0,),cos.22pxxx真命题,D.000:(0,),cos.22pxxx5.函数的最小正周期为sinsin( )cossincossinxxf xxxxxA.4B.2C.D.26向量,均为非零向量，则,的夹角为abbababa)2(,)2(abA B C D3 22 35 67. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）sin 23y
3、xcos2yxA. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 5 125 12- 2 -C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位6 68. 函数23ln(44)( )(2)xxf xx的图象可能是(A) (B) (C) (D)9. 已知定义在上的函数满足：对于任意的，都有；R)(xfy Rx)(1)2(xfxf函数是偶函数；当时，设，)2( xfy2 , 0xxexfx1)(a )5(fb ，则的大小关系是 （ ）)219(fc )441(f, ,a b cA B C Dbaccabbcaabc10已知函数，且，则函数图象的( )2sin()f xx(0)1f(0)0f ()3yf x一条对称轴
4、的方程为( )A B C D 2 3x6x0x 2x11.若定义在上的函数满足则不等式的解R( )f x( )( )1,(0)4,f xfxf3( )1xf xe集为A.(0,)B.(,0)(3,)C.(3,)D.(,0)(0,)12. 已知函数，若恒2017( )sinf xxxx 0,2 ,2cos3sin320fmfm成立，则实数的取值范围是m（A）（B）（C）（D）1,3 1,31,31,3第第 IIII 卷卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本小题共二、填空题：本小题共 4 4 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 2020 分分. .13. 设为锐角，若，
5、则的值为 53)6cos(sin 212- 3 -14已知向量，且在上的投影为，则向量与夹角为1, 3a 3,bmb a 3b a_15若定义在1，）上的函数 f（x）,则_22,11,43,.xxxxx 1131( )f x dx16、已知定义在R 上的函数 f x满足： 222,0,1 ,22,1,0 ,xxf xf xf xxx 且， 25 2xg xx，则方程 f xg x在区间5,1上的所有实根之和为 三、本大题共三、本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. .17 （本小题满分
6、12 分）已知三个集合：2 2log (58)1AxxxR，22821RxxBx，22190RCxxaxa.（1）求AB；（2）已知,ACBC ，求实数a的取值范围.18（本小题满分12分）已知向量)sin,cos2(xxm ，)cos32 ,(cosxxn xR，设函数1)(nmxf（1）求函数 f x的单调增区间；（2）已知ABC的三个内角分别为ABC，若2)(Af，4B，边3AB，求边BC19.(本题满分 12 分)已知函数.xxaaxxfln21)(2（1）求函数的图象在点处的切线 的方程； yfx31,2Pl（2）讨论函数的单调性.( )f x20.（本小题满分 12 分）如图所示，
7、某公路AB一侧有一块空地OAB，其中OA3 km，OB3 3km，AOB90当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上- 4 -（M，N不与A，B重合，M在A，N之间） ，且MON30（1）若M在距离A点 2 km 处，求点M，N之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小试确定M的位置，使OMN的面积最小，并求出最小面积21. （本小题满分 12 分）已知函数21( )(ln)(21)2f xxxkkx .（1）求曲线( )yf x 在点(1,(1)f处的切线方程；（2）是否存在正整数k，使函数( )f x在(1,) 上单调递增，若存在，求出正整数k的所有
8、值，若不存在，说明理由.请考生在第请考生在第 2222、2323 两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分做答时两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分做答时请写清题号。请写清题号。22. （本小题满分 10 分）选修 4-4:极坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(为参数)，若以直角坐 cossin2cossinyx标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为(t为参数)t22)4sin( (1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不
9、等式选讲已知函数.1( )0f xxaxaa（1）当时，求不等式的解集；2a ( )3f x （2）求证：.1( )()4f mfm- 5 - 6 -理科数学参考答案理科数学参考答案112 CAADB ABCDC AB13. 1415.16.-7 502312 34 2317 （本小题满分 12 分）解：（1）25822,3RAxxx, . 2 分 22802, 4RBxxx,. .4 分 2,3, 4 .AB. .6 分（2）,ACBC ,2, 4,3.CCC .7 分 22190 ,RCxxaxa22222222190,( 4)4190,33190.aaaaaa .8 分即35,2727,
10、25.aaaa 或解得32.a .11 分所以实数a的取值范围是 3, 2).12 分18. （本小题满分 12 分）解：1)(nmxf 1cossin32cos22xxxxx2sin32cos)62sin(2x 4分xR，由 kxk226222 得)(63Zkkxk 6分函数 f x的单调增区间为)(6,3Zkkk 7分 - 7 -（2）2)(Af，即2)62sin(2A，角A为锐角，得6A， 9分又4B，127C，426)34sin(127sinsinC3AB，由正弦定理得2)26( 3 sinsinCAABBC 12分19. (本题满分 12 分)（1）1 分123121 231aaf2
11、 分11)(xxxf3 分1) 1 ( fk切线方程： 即4 分312yx21 xy（2）,5 分2 ( )1aaxxafxaxxx 0x令，( )t x 2axxa当时，所以在上单调递增。6 分0a ( )0( )0t xxfx( )f x(0,)当时，令，0a ( )0t x 2111402axa 2211402axa 所以在上单调递增，在上单调递减。9 分( )f x2(0,)x2(,)x 当时，令，0a ( )0g x 2111402axa 2211402axa 所以在上单调递减，在上单调递增。12 分( )f x1(0,)x1(,)x 20. (本题满分 12 分)解：（1）在OAB
12、中，因为OA3，OB3，AOB90，所以OAB603在OAM中，由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcosA7，所以OM，所以 cosAOM，7OA2OM2AM2 2OAOM在OAN中，sinONAsin(AAON) sin(AOM90)cosAOM- 8 -在OMN中，由，得MN 6 分MN sin30OM sinONA1 27 4（2）：设AOM，0 3在OAM中，由，得OMOM sinOABOA sinOMA在OAN中，由，得ONON sinOABOA sinONA所以SOMNOMONsinMON 1 21 21 2，0 3当 2，即时，SOMN的最小值为 3 2 12所以应设计AO
13、M，可使OMN的面积最小，最小面积是 km2- 1212 分21.解：（1）：由已知2211( )(ln)()22f xxxk x得1(1)2f, -1 分( )2 (ln1)2 (1)fxxxk x得(1)2f . -2分( )yf x在1(1, )2处的切线方程为12(1)2yx即4230xy -5 分（2）法一：令( )( )2 (ln1)2 (1)g xfxxxk x,依题意( )0g x 在(1,)上恒成立, ( )2(ln2)g xxk. -7 分 当2k 时,( )0g x ,( )g x在(1,)上单调递增, ( )(1)2g xg 故1,2k 符合题意 -9 分 当2k 时，
14、由( )0g x得2kxe. ,( ), ( )x g x g x取值变化情况如下表，x2(1,)ke2ke2(,)ke- 9 -依题意2()0kg e即2220kke. -10 分令2( )22(2)xm xxex，则2( )220xm xe,( )m x在(2,)上单调递减，由(3)620me,2(4)820me知4x 时,( )0m x ，故此时只有3k 符合题意.综上，所求正整数k的值有 1,2,3. -12分法二：由( )0fx在(1,)上恒成立，得(ln1) 1xxkx在(1,)上恒成立。-6 分令( )h x (ln1) 1xx x ，则2ln2( )(1)xxh xx，-7 分
15、令( )ln2M xxx，得1( )10M xx 在(1,)上恒成立， -8 分又(3)1 ln30,(4)2ln20MM ，从而0(3,4)x，使0()0M x，即002lnxx。 -10 分进而知,( ), ( )x h x h x取值变化情况如下表，0( )()h xh x最小值000(ln1) 1xx x0(3,4)x故符合题意的正整数 K 为 1,2,3. -( )g x-0+( )g x减极小值增x 0(1,)x0x0(,)x ( )h x-0+( )h x减极小值增- 10 -12 分22 解 (1)由xcossin得x2(cossin)2cos22sincossin2，所以曲线
16、M可化为yx21，2,2 x由sint得sincost，( 4)22222222所以sincost，所以曲线N可化为xyt.(2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点,时满足要求，此时t，并) 1 ,2(12 且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立Error!，得x2x1t0，由14(1t)0，解得t .5 4综上可求得t的取值范围是 t5 412 23解：（1）当a=2 时，原不等式等价于1( ) |2|,2f xxx112222111232323222xxxxxxxxx 或或解得故不等式的解集是111 44xx 或或( )3f x 111 |,(5)44x xx 或分（2）证明：11111(m)() |ffmamamamma 1111|maammama 112|m| 2(|)4|mmm当且仅当时等号成立。1,1ma