《第三章--非稳态导热ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章--非稳态导热ppt课件.ppt（124页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第三章第三章 非稳态导热非稳态导热 43-1 集总热容分析集总热容分析3-1 集总热容分析集总热容分析4由于物体的温度只是时间的函数，物体几何形状的影响消失，这就使得物体的温度响应可由常微分方程来描述，初始条件也不存在温度分布而只有单一的初始温度值，导热问题的数学处理大大简化。4通常建议以Bi0.1作为“薄壁物体”的判据。但应该说这只是半定量的判断，因为用集总热容法进行简化的合理性还取决于问题本身对精度的要求；此外，虽然对于集总热容法处理的问题通常可取物体的体积与表面积之比LcV/S作为特征尺寸，但Bi中的特征尺寸的选取实际上并没有严格的规定。例如，大平壁可以选其厚度或Lc/2作特征尺寸；长圆
2、柱可以选其直径d、半径r或Lcr/2作特征尺寸。选取的特征尺寸不同当然会影响相应的Bi值。图1-3 导热微分方程的推导 3-1 集总热容分析集总热容分析4仍参照图1-3，物体占据的体积为V，表面积为A，有内热源qv。在集总热容的假定下，对研究的物体写出热量平衡方程，可得4 (3-l-1)4对于无内热源的物体，qv0；如果物体表面以牛顿冷却定律的规律与周围环境换热，平均对流换热表面传热系数为h，以上方程可简化为4 (3-1-2)3-1 集总热容分析集总热容分析 43-1-1 环境温度保持为常量环境温度保持为常量4引进“过余”温度=ttf，则问题的数学描述为 4 (3-1-3)4初始条件为4 (3
3、-1-4)4常微分方程(3-1-5)的通解为 4 (3-1-5)4由初始条件式(3-1-4)可得C0，由此得该问题的解为4 (3-1-6)4 具有时间的量纲，称为该问题的“时间常数”，它表征物体温度变化的快慢，即热惯性的大小。当时 ，0.3680。43-1-2 环境温度按线性变化环境温度按线性变化4 设环境温度按线性变化，即4 (3-1-7)4其中b为常量，t0是物体和环境在初始时刻的温度。引进过余温度tt0，则该物体的温度响应可用如下的常微分方程初值问题来描述：4 (3-1-8)3-1 集总热容分析集总热容分析 4其通解由相应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成，即4根据初始条件可以确
4、定积分常数 。整理后可得4 (3-1-9)4物体的温度响应(图3-1)由两部分组成。第一项随时间按指数规律衰减，它在过程的初始阶段起重要作用，但时间足够长时该项逐渐趋于零。此时过程进入“准稳态”阶段，物体的温度响应由第二项决定，即随时间按线性变化，变化的速率与环境温度相同，但与环境温度保持一个恒定的差值。时间常数对 过程有决定性的影响。1越大，式中第一项就衰减得慢，过程需要较长的时间才进入准稳定阶段，同时物体与环境温度的差值也越大。3-1 集总热容分析集总热容分析 3-1 集总热容分析集总热容分析 图3-1 环境温度按线性变化时集总热容物体的温度响应 43-1-3 环境温度按简谐波变化环境温度
5、按简谐波变化4设环境温度按简谐波变化，其表达式为4 (3-1-10)4其中Af为环境温度波的振幅，温度波的周期是 。引进过余温度 。若物体的初始温度为t0，则该物体的温度响 应可用如下的常微分方程初值问题来描述：4 (3-1-11)4 (3-1-12)3-1 集总热容分析集总热容分析 4式(3-1-11)是一阶线性非齐次常微分方程，其通解由相应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成。相应的齐次方程的通解已由式(3-1-5)给出。设非齐次方程的特解具有以下的形式：4 (3-1-13)4其中B和是两个待定的参数。将式(3-1-13)代入式(3-1-11)，并记 ，得4 (3-1-14)4上式左
6、边可改写为4 3-1 集总热容分析集总热容分析 4比较方程(3-1-14)的两边，可得4 ，(3-1-15)4由初始条件可确定式中的常数：4最后得到该问题的解为4 (3-1-16)4以上的解由两项组成。第一项随时间按指数规律衰减，时间足够长时该项逐渐趋于零。此时薄壁物体的温度响应进入“准稳态”阶段，反映为上式的第二项。准稳态阶段温度响应也是按简谐波变化，其平均温度和变化周期都与环境温度相同。薄壁物体温度波的振幅与环境温度波的振幅之比为 ；物体温度波的相位落后于环境温度 。3-1 集总热容分析集总热容分析 3-1 集总热容分析集总热容分析 图3-2 环境温度技简谐波变化时集总热容物体的温度响应
7、4这种温度波振幅的衰减和相位的落后都与时间常数 有关，时间常数越大，这两个效应越显著。此外，以上结果也表明，温度波的频率/2对温度波振幅的减小和相位的落后也有同样的效应。温度波的频率越高，物体中温度波的振幅就越小。环境按简谐波变化时集总物体的温度响应见图3-2。3-1 集总热容分析集总热容分析 3-1 集总热容分析集总热容分析 图3-3 集总热容双容系统 4根据容器和液体的热平衡可以分别写出它们的导热方程。记容器和液体的过余温度分别为 ，则该问题可以表述为如下常微分方程组的初值问题：4 (3-1-17)4 (3-1-18)4 ，(3-1-19)4由式(3-1-18)可得4 (3-1-20)3-
8、1 集总热容分析集总热容分析 3-1 集总热容分析集总热容分析 4将式(3-1-20)代入式(3-1-17)，得4 (3-1-21)4其中 ，i1，2，分别是两个物体的特征时间。4式(3-1-21)是关于2的二阶线性齐次常微分方程，它对应的特征方程是4 (3-1-22)4对该二次方程的分析可知，它有两个不相等的负实根，分别为4 (3-1-23)3-1 集总热容分析集总热容分析 4由此得方程（3-1-21)的通解为4 (3-1-24)4将初始条件式（3-I-19)代入式(3-1-20)，得4 (3-1-25)4把以上初始条件代入式(3-1-24)，可以确定两个任意常数C1，C1，整理后可得4 (
9、3-1-26)4将式(3-1-26)代入式(3-1-20)并整理，可得4 (3-1-27)4以上得到的温度响应式(3-1-26)、(3-1-27)定性地示于图3-4中。3-1 集总热容分析集总热容分析 图3-4 双容系统在等温环境中的温度响应 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4厚度一定的大平壁常可简化为直角坐标系中的一维问题，是几何条件最简单的系统，在线性边界条件下可得到分析解。4本节介绍大平壁和长圆柱体中的非稳态导热，以帮助读者了解一些基本的分析解数学方法，并通过对分析解的讨论，加深对非稳态导热过程的理解。此外，这些分析方法及其结果对于许多实
10、际工程问题，如材料的加热和冷却、空调建筑物通过围护结构的动态冷热负荷计算等都有实用意义。4重点介绍分离变量法，这是求解某些线性的数学物理偏微分方程的最古老的方法，但对于求解方程和边界条件均为齐次的问题常常是方便的，也是一些其他的分析方法，如格林函数法的基础。3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 43-2-1 大平壁在等温介质中的冷却大平壁在等温介质中的冷却 4考虑大平壁在等温介质中被冷却(或加热)的问题。傅里叶在1822年首先求解了这一问题，并提出了著名的博里叶级数。4如图3-5所示，厚度为的大平壁在x0处被绝热，在x处与温度恒定为tf的环境介质进行
11、对流换热。已知平壁中的初始温度分布f(x)。引进过余温度ttf，则描述大平壁中非稳态导热的微分方程为4 0 x0 (3-2-1a)4问题的初始条件为4 =0，0 x,0 x0,(3-2-1c)4 x=,0,(3-2-1d)3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法图3-5 大平壁的非稳态导热 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4注意到微分方程和两个边界条件都是齐次的，这将是进行分离变量的重要条件。假设解的形式为4 (3-2-2)4把上式代入方程(3-2-l a)，得到4 4分离变量得到 4 因为等式两边分别为
12、的函数和x的函数，它们要相等只能是都等于某个常数，记为土2。是待定常数，称为特征值。这样，上式给出了两个常微分方程：4 (3-2-3)4 (3-2-4)3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4方程(3-2-3)的解是 4 (3-2-5)4由问题的性质知，当r时过余温度应有界，由此2前应取负号。在此条件下求解方程(3-2-4)得4 (3-2-6)4且有 (3-2-7)4式(3-2-6)中有三个常数A、B和s需要确定。把式(3-2-2)代入式(3-2-l c)、(3-2-1d)，同样可对边界条件进行分离变量，得4 (3-2-8a)4 (3-2-8b)3-
13、2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4由式（3-2-8a）得B=0。再由式(3-2-8b)可得4 4sin()一hcos()04要得到方程（3-2-4)的非零解，必须有Ao，则有4 sin()一hcos()04记=，Bi=h/,上式可写为4 (3-2-9)4式(3-2-9)是关于的超越方程。由图3-6可以看出它有无穷多个根。由于其对称性，只需要考虑它的正根，记作m(m=1,2,)。这样，就得到特征值问题的无穷多个解：4 (3-2-10)4由式(3-2-5)和式(3-2-10)，满足原偏微分方程和两个边界条件的分离变量形式的解为4 3-2 有限厚度物体的
14、非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 图3-6 超越方程cot/Bi的根 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4由于问题的线性性，这无穷多个解的叠加仍满足方程和边界条件，即4 (3-2-11)4系数Am可由初姑条件确定。把式(3-2-1b)代入上式，得4 (3-2-12)4以上得到的无穷多个特征函数cos(m x)，(m1，2，)组成一个正交函数系，即它们具有如下的性质：4 (3-2-13)4N(m)称为正交函数系的范数。在本问题中 4 (3-2-14)3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离
15、变量法 4只要在0 x区间内f(x)和df/dx是逐段连续的，在该区间内f(x)可以用以上正交函数系展开成形式如式(3-2-12)的广义傅里叶级数。级数的系数Am可以根据函数的正交性确定，即在式(3-2-12)两边乘以cos(mx/)并在0 x区间内积分，可得4 4最后得到该大平壁在等温介质中冷却问题的解为4 (3-2-15)4如果已知初始过余温度是均匀的，为f(x)0t0tf，则代入上式积分可得4 (3-2-16)4其中m是特征方程(3-2-9)的第m个正根。3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4上式就是大平壁在等温介质中冷却(或加热)时温度响应
16、的分析解。式中出现的无量纲a/2=Fo称为傅里叶级数，可以看作是非稳态导热过程的无量纲时间。它表明，该问题的无量纲过余温度可以表示成三个无量纲变量的函数：4由图3-6可以看到，12m，因此当Fo足够大时(通常要求Fo0.5)，随着m的增大，exp(m Fo)项迅速减小，式3-2-16)的无穷级数中除第一项以外的各项均可忽略不计。此时式(3-2-16)可简化为 4 (3-2-17)4此时平壁中各点的过余温度随时间都按负指数规律变化，称为物体非稳态导热的正常状况阶段。4定义物体的“冷却率”为4 (3-2-18)3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4如图
17、3-7所示，冷却率反映了在半对数坐标系中温度响应曲线的斜率，则对于正常状况下的大平壁有4 (3-2-19)4在正常状况下物体的冷却率只取决于物体的形状、大小、物性和边界条件。相对于正常状况阶段的是非稳态导热的“初始阶段”。在初始阶段，物体中的温度分布受初始温度分布的影响较大，情况较为复杂，必须用级数中较多的项来近似。4 由解得的温度响应，可以进一步求得到时刻为止单位面积平壁在冷却过程中放出的热量：4 (3-2-20)4或写成无量纲的形式：4 (3-2-21)4其中，Q02c0是单位面积平壁从初始温度to冷却到周围介质的温度t f所放出的热量。3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳
18、态导热：分离变量法分离变量法 图3-7 正常状况和冷却率 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 43-2-2无限长圆柱体在等温介质中的冷却无限长圆柱体在等温介质中的冷却4无限长圆拄体中的导热同样可用分离变量法求解。设一长圆柱体，假定方向导热是对称的，问题可简化为柱坐标系中径向的一维问题，导热微分方程为4 (3-2-22a)4设圆柱体的表面与温度恒定为t f的环境介质进行对流换热。同样引进过余温度=tt f，两个边界条件为4 (3-2-22b)4 (3-2-22c)4已知圆柱体中的初始温度分布f(r)，则问题的初始条件可写作4 (3-2-22d)3-2
19、 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4与大平壁的情况相同，假设解的形式为4 (3-2-23)4把上式代入方程(3-2-22a)，分离变量得到4式中常数2前选择负号，使得当时间趋于无穷时温度保持有限值。这样，上式给出了两个常微分方程4 (3-2-24)4 (3-2-25)4方程(3-2-24)的解是4 (3-2-26)3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4引进变量zr，方程3-2-25)可改写为4 (3-2-27)4这个常微分方程称为零阶贝塞尔方程，其解为4 4或仍采用原来的变量，写4 (3-2-28)4其中,
20、J0(z)和Y j(z)分别是零阶的第一类和第二类贝塞尔函数。注意到对第二类贝塞尔函数(或称诺伊曼函数)有Yn(0)，因此如在以下的推导中可以看到的，在拄坐标系的分离变量中为了满足r0时有界的条件，常常仅用到第一类贝塞尔函数。整数阶(n阶)第一类贝塞尔函数的级数表达式为4 (3-2-29)4图3-8给出了几个贝塞尔函数的图形。3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 图3-8 几个贝塞尔函数 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4最后得到无限长圆柱体在等温介质中冷却问题的解为4 (3-2-39)4如果已知初始
21、过余温度是均匀的，为f(r)0t0t1，则代入上式积分可得4 (3-2-40)4其中m是特征方程(3-2-32)的第 m个正根。3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4同样地，式(3-2-40)表明，该问题的无量纲过余温度可以表示成三个量纲变量的函数，即 4由解得的温度响应，可以进一步求得到时刻为止单位长度的圆柱体在冷却过程中放出的热量：4 (3-2-41)4或写成无量纲的形式为4 (3-2-42)4其中 是单位长度圆柱体从初始温度t0冷却到周围介质的温度tf所放出的热量。3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量
22、法 43-2-3 乘积解乘积解4以上介绍了直角坐标系和柱坐标系中一维非稳态导热在齐次边界条件下的分析解。简单几何形状下多维导热的齐次边界问题同样可用分离变量法求解，“乘积解”就是这样的一种特例。如果物体内的初始温度分布可以表示为单个空间变量函数的乘积，则多维问题的解可以简单地写成相应一维问题解的乘积。以直角坐标中的二维问题为例，直角柱体在等温介质中冷却问题的数学描述为4 (3-2-43)3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4如果初始温度分布f(x,y)f1(x)f2(y)，则以上二维问题的解可以写作两个二维问题解的乘积，即4 (3-2-44)4而1
23、和2分别是以下一维问题的解：4 (3-2-45)3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4 (3-2-46)4为了证明这一结论的正确性，把式(3-2-44)代入式(3-2-43)中的导热微分方程，有3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 43-2-4 非齐次问题非齐次问题4从分析求解的角度看，非稳态导热的边值问题可分为齐次问题和非齐次问题。如果微分方程和边界条件都是齐次的，则称该问题是齐次的。齐次的非稳态导热问题有如下的一般形式：4 区域R内 (3-2-47a)4边界Si处，0，(3-2-47b)4区域R内，0
24、，tF(r)(3-2-47c)4边界条件式(3-2-47b)中，若或h有一个为零，则分别表示齐次的第一类或第二类边界条件。3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4存在内热源时微分方程有以下形式，一般来说，内热源发热率qv可以是坐标和时间的函数。如果如不以与温度相乘的形式出现，微分方程是非齐次的。即4区域R内 (3-2-48)4非齐次的边界条件的一般形式为4边界Si处，(3-2-49)4同样地，第一类和第二类边界条件可以是上式的特例。3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4首先讨论一个较简单的情况。如果函数q
25、v和fi都与时间无关，即内热源发热率不随时间变化，巳知的边界温度、热流或环境温度也不随时间变化，则可以利用线性叠加原理使问题齐次化。设tt1+t2是满足非齐次的稳态导热问题的解，即4区域R内，(3-2-50a)4边界Si处，(3-2-50b)4t2是满足齐次的非稳态导热问题的解，即4 区域R内,(3-2-51a)4边界Si处，(3-2-51b)4区域R内,(3-2-51c)3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4下面讨论一个一侧温度恒定的大平壁在另一侧受到某个热流作用时其内部的温度和热流响应的问题。平壁的初始温度为零，一侧的壁面温度也保持为零；自初始
26、时刻起在另一侧x=0处受到恒定的热流q0的作用。于是，大平壁中非稳态导热的数学描述为4 (3-2-52)4注意到其中的一个边界条件是非齐次的。如果要用分离变量法求解，必须先使边界条件齐次化。可以假设解的形式为1+2，其中1是非齐次边界条件下稳态导热问题的解：4 (3-2-53)3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4显然1满足原微分方程和边界条件。把1+2代入原定解问题，得到4 (3-2-54)4可利用上节所述的分离变量法求解，齐次问题的解为4 (3-2-56)3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4最后得
27、到原定解问题的解为4 4 (3-2-57)4 如果函数q0或fi与时间有关，即内热源发热率、已知的边界温度、热流或环境温度至少有一个随时间变化，则以上介绍的使问题齐次化的方法不再适用。此时可采用的分析解法主要有拉普拉斯变换法和格林函数法等。3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解相似性解3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解相似性解43-3-1 定壁温边界条件下半无限大物体的温度响应定壁温边界条件下半无限大物体的温度响应4半无限大物体初始温度均匀并为t0在起始时刻边界温度突然提高到tw并保持不变。引进过余温度=tt0，则该问题的数学描述
28、可以写作 4 (3-3-1)4这一问题可用拉普拉斯变换法、格林函数法等经典方法求解。这里介绍用相似性变换法求解这一问题。3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解相似性解4相似性变换的基本思路3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4对由式(3-3-1)所描述的定解问题，引入相似性变量4 (3-3-2)4则有 ，3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4把以上结果代入式(3-3-1)，可得4 (3-3-3)4注意到以上方程和定解条件中巳不出现x和
29、，只有一个自变量，所以这是一个常微分方程。4记Zd/d，以上常微分方程降阶为4 (3-3-4)3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4由此得到原问题的解 4 (3-3-5)4其中 (3-3-6)4称为余误差函数或误差函数的补函数。4由求得的温度响应可以求出物体中的热流密度4 (3-3-7)3-3-2 近似积分法（近似积分法（The method of approximately integrate）下面以如图所示的二维稳态导热问题下面以如图所示的二维稳态导热问题(常物性、常物性、均匀内热源）说明近似积分法的过程。均匀内热源）说明近
30、似积分法的过程。该问题的该问题的数学描述如下：数学描述如下：yx0Lbq=0t1t1q=0对导热微分方程在整个区间积分对导热微分方程在整个区间积分像分离变量法一样，假定温度分布可表示为像分离变量法一样，假定温度分布可表示为 进一步假定分离变量函数的具体形式，在此，假进一步假定分离变量函数的具体形式，在此，假定它们均是二次多项式的形式，即定它们均是二次多项式的形式，即 利用边界条件利用边界条件得得利用边界条件利用边界条件得得将上述关系代入原函数，得将上述关系代入原函数，得式中式中将将q(x,y)的表达式代入积分关系式，得的表达式代入积分关系式，得最后得最后得因此，所求的积分近似解可表示为因此，所
31、求的积分近似解可表示为3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：积分近似解积分近似解 43-3-2 非稳态导热积分方程近似解非稳态导热积分方程近似解3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：积分近似解积分近似解 图3-10 定壁温半无限大物体的温度响应 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目作业4一半无限大区域，初始温度为0度；时间 时，处的表面为对流边界条件 ，其中 为常数。试用积分法求区域内温度分布 的表达式。在用积分法时，取温度剖面为三次多项式。3-4 格林函数法在非稳态导
32、热中格林函数法在非稳态导热中的应用的应用 43-4-l 格林函数的概念格林函数的概念3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4“瞬时”和“点”源的概念在数学上都可以用狄拉克（Dirac）分布函数，简称函数来表示。各函数的定义为4 (3-4-l)4函数具有以下性质：3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4空间变量的三维函数 在直角坐标系中等同于三个坐标 变量的函数的乘积，即 。这样，时刻作用在空间某一点 、强度在数量上等于cJ的瞬时点热源可写作 ，或在直角坐标系中表
33、示 为 。同理,作用在 处 的强度为c(单位为J/m2)的瞬时面热源应为 。由这样的热源在齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布 称为格林函数。4因为初始温度分布F(r)在微元体积dV 中所对应的热量等于cF(r)dV，因此它就等价于一个在0时刻的瞬时分布热源qv(r，)cF(r)(0)。3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 43-4-2 大平壁中的非稳态导热大平壁中的非稳态导热4先从一个简单的一维问题来介绍格林函数法的思路。设一维平壁有初始温度分布F(x)对和内热源qv(x，)cg(x,)，平壁的一个边界维持绝热，另一个边界受到热流f()的作用。该问题的数学
34、描述为4 (3-4-2)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4首先要求该导热系统的格林函数G，它满足以下的辅助问题：4 (3-4-3)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4 时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应仍维持为0，而 时刻的瞬时热源的作用等同于 时刻的初始温度分布，则以上问题可转化为 4 (3-4-4)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4用分离变量法得到的满足以上方程和边界条件的解的一般形式为4系数 可以由 时的“初始”条件确定，即4 4把 展开成傅里叶余弦级数并比较两边的系数，
35、得到4 ，m=l，2，4即格林函数为4 4 (3-4-5)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4在时刻内热源引起的温度分布tl 应为在此前所有的瞬时点热源 的作用的叠加，即4 4 (3-4-6)4初始温度分布F(x)的影响可以看作是在 时刻在各微元体积 中有瞬时热源 的作用。因此，由初始温度分布引起的温度分布t2，应为4 4 (3-4-7)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4边界热流f()的影响可以看作是在时间序列上一系列的瞬时热源 的作用。因此由边界热流作用而引起的温度分布t3 应为4 (3-4-8)4根据线性叠加原理，原
36、定解问题的解应是以上三个温度分布的叠加，即4 (3-4-9)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 43-4-3 无限大物体中的非稳态导热无限大物体中的非稳态导热4一个形式简单而又较常用到的格林函数是无限大介质中的格林函数。根据其定义，一维无限大介质中的格林函数应满足以下定解问题：4 (3-4-10)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4或等价于以下齐次的问题：4 (3-4-11)4用分离变量法可以求得一维无限大介质中的格林函数，即瞬时平面热源在初始温度分布为零的无限大介质中引起的温度分布是4 （3-4-12）3-4 格林函数法在
37、非稳态导热中的格林函数法在非稳态导热中的应用应用图3-12 无限大物体中的瞬时面热源及其产生的温度场 3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4得到了格林函数后，就可以直接写出带有热源和非均匀初始温度的一维无限大介质中的导热问题的解。问题的数学描述为4 (3-4-15)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4其解为4 4 （3-4-16）等号右边的第一项是初始温度分布引起的温度场，第二项是内热源引起的温度场。3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4考察由随时间变化的平面热源引起的温度场。物体的初始温度
38、为零，当时间 0时在x=0处有一个强度为qs()的平面热源持续地释放热量。这样，相当于在式（3-4-15）中有4 4代入式（3-4-16）并积分得4 (3-4-17)4对于qs 是常量的情况，可以作变量置换 并分部积分，可得4 4 (3-4-18)4考虑到该温度分布的对称性，它就相当于边界有恒定热流的半无限大物体的温度分布，即等同于式（3-3-21）。3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4用熔融的钢水注入两根长钢轨之间预留的空隙使之焊接为一体。4假设不考虑由于相变引起的潜热和物性变化等复杂因素，且忽略钢轨表面的散热，则该问题可简化为无限大物体中的一维导热。4取
39、空隙的中心平面为坐标原点，初始温度分布可简化为如图3-13 所示的情况，即4 (3-4-19)3-4 格林函数法在非稳态导热中的格林函数法在非稳态导热中的应用应用图3-13 两根长钢轨在熔焊时的温度分布 3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4由式（3-4-16）可直接写出该问题的温度分布。因为没有内热源，有4 (3-4-20)4作变量置换 ，得到4 (3-4-21)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 43-4-4 一般空间域中的格林函数法一般空间域中的格林函数法4以下进一步简要介绍用格林函数法求解一般的非稳态导热问题的思路及其
40、结论。对于一般的非稳态线性导热问题，其数学描述可写作4 (3-4-22)4其中 指边界的外法线方向。3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4为求解这一非齐次导热问题，先考虑一个辅助问题，求由瞬时点热源 在相应的齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布，即求格林函数G。相应的数学描述为4 (3-4-23a)4 (3-4-23b)4 （3-4-23c）3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4如果得到了以上问题的解，即该特定导热系统的格林函数G，则原问题的解可写作4 （3-4-24）4等号右边第一项是初始温度分布F(r)的影响，第二项是
41、分布热源qv(r，)=cg(r,)的影响，第三项是非齐次边界条件的影响。3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4用格林函数法求解非稳态导热问题的另一个重要的环节是寻求合适的格林函数。当然可以按照格林函数的定义求解定解问题式(3-4-23)。可以先把瞬时内热源的问题转化为 时刻的边值问题，然后用经典的方法，如分离变量法求解。下面再介绍一种寻求格林函数的“格式化”的方法。针对定解问题式(3-4-23)，先讨论如下的齐次问题：4 (3-4-26)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4假如可以用分离变量法求解，并把解表示成如下的形式：4
42、 (3-4-27)4积分号中的 只是一个符号，它表示对特征函数、范数等的累加或积分，另一方面，该问题的解可以用格林函数表示为4 (3-4-28)4对照式(3-4-27)、(3-4-28)可得4在此基础上，在求得的 表达式中用代替，就得到一般的格林函数，即4 (3-4-29)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4只要初始温度分布可以表示成单变量函数的乘积，多维齐次非稳态导热问题的解就可以由一维导热问题解的乘积的形式来构成。4同样地，多维格林函数也可由一维格林函数的乘积来构成。这是因为，按照其定义格林函数满足具有瞬时热源及齐次边界条件的导热方程，而瞬时热源的问题又
43、等价于一个给定初始温度分布的问题。4因此，二维和三维问题的格林函数可以由一维格林函数的乘积来构成。如直角坐标系中三维无限大物体导热的格林函数为4 4 (3-4-30)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4在初始温度均匀的无限大介质中，由均匀发热的线热源引起的温度场是一个二维温度场。4一些实际的导热问题，例如在用线热源法测定材料的热物性以及地下埋管与土壤间的非稳态导热过程等都可简化为这样的问题。假定介质的初始温度为零，位于z坐标轴上的线热源的强度qL(单位为W/m)不随时间变化，则根据以上得到的三维格林函数可直接写出这一问题的温度场为4 (3-4-31)4令 ，
44、注意到3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4如果改用柱坐标 ，并引进变量 ，式 (3-4-31)可改写为4或用指数积分函数表示为4 (3-4-32)4其中：，k是指数积分；0.577216是欧拉常数。3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4对于一个长方体(0 x b，0 y c，0 z d)中的非稳态导热，所有边界温度维持为零。可以求得这一问题的三维格林函数为4 4 (3-4-33)4上式可以写成三个一维格林函数的乘积,即4 (3-4-34)3-4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4它们分别是边界均
45、维持为零的三个一维平壁的格林函数，即3-5 拉普拉斯变换法在非稳态拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用导热中的应用 4分离变量法适用于求解几何形状规则的区域中的线性齐次导热问题。对于较简单的非齐次问题，通过适当的处理后也可用分离变量法求解。但是，当非齐次项的结构比较复杂时应用分离变量法就不太方便，甚至难于奏效。4而拉普拉斯变换法把对时间的偏导数从导热微分方程中消去，为齐次和非齐次线性导热问题的求解提供了一个系统而简捷的方法，对于非齐次项比较复杂的情形特别有效。用拉普拉斯变换来消去对时间的偏导数虽然并不困难，但对变换后的函数进行逆变换时，除了在标准变换表中已有的之外，一般并不简单。3-5 拉普拉斯
46、变换法在非稳态拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用导热中的应用 43-5-l 拉普拉斯变换的定义与性质拉普拉斯变换的定义与性质4函数f()的拉普拉斯变换定义为4 (3-5-1)4其中为实变量，s=c+i是一个复变量，c和分别是它的实部和虚部。f()称为原函数，变换后得到的新函数 称为象函数。4如果式(3-5-1)等号右边积分收敛，则说函数f()的拉普拉斯变换存在，否则函数f()的拉普拉斯变换就不存在。能够实现拉普拉斯变换的函数f()必须满足下列条件:4(l)在时间0的任意有限区间内，函数f()连续或分段连续。时间0+时，对于常数n(0nl)，是有界的。4(2)函数f()的增大是指数级的，即存在常
47、数M0和c00，使得对于任何0的值，下列不等式成立：3-5 拉普拉斯变换法在非稳态拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用导热中的应用 4凡满足上述条件的函数f()，式(3-5 l)等号右边的积分在Res=cc0的半平面上绝对且一致收敛，象函数 是该半平面上的解析函数，常数c0的下界称为收敛横标。4对象函数 进行逆变换，即可得到原函数f()，逆变换运算可由黎曼-梅林（Riemann-Mellin）反演公式实现：4 (3-5-2)4上式等号右边对复变量s的积分路线，是复平面s上一条平行于虚轴的直线，x cc0，故在积分路线的右边，是s的解析函数。3-5 拉普拉斯变换法在非稳态拉普拉斯变换法在非稳态导热
48、中的应用导热中的应用 4拉普拉斯变换有一些重要的性质,下面直接引述有关的运算性质和定理。如果记 ,，b、c1和c2是任意常数，则有：4(l)线性定理4(2)位移定理4 4(3)迟延定理4（4）相似定理4 3-5 拉普拉斯变换法在非稳态拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用导热中的应用 4（5）微分定理：f（）的一阶导数和n阶导数的拉普拉斯变换分别为4(6)积分定理4 (7)卷积定理：两个函数f()和g()的卷积积分（或简称为卷积）用符号f*g 来表示，并定义为4卷积的拉普拉斯变换等于这两个函数的拉普拉斯变换的乘积，即3-5 拉普拉斯变换法在非稳态拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用导热中的应用 4（
49、8）象函数微分定理4(9)象函数积分定理4(10)狄拉克（Dirac）分布函数的拉普拉斯变换3-5 拉普拉斯变换法在非稳态拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用导热中的应用 43-5-2 拉普拉斯变换的逆变换拉普拉斯变换的逆变换4在用拉普拉斯变换求解导热问题时，关键的一步是把变换后的函数从复变量s区域变回到时间变量区域的逆变换。许多逆变换已汇集成表，可直接应用。4为了充分发挥已有变换表的作用，要注意应用拉普拉斯变换的有关定理。4由于像函数 结构形式的多样性和复杂性，有时即使应用拉普拉斯变换的运算定理，也不可能利用变换表而求得所需要的逆变换。4(l)部分分式法4部分分式法是把一个复杂分式分解成若干个
50、简单分式之和的方法。如果像函数 是一个复杂分式，且它的逆变换不能从变换表中直接找到，则可以用部分分式法把它分解为若干个简单的分式之和，而每一个简单分式的逆变换可以从变换表中找到。因此，部分分式法与变换表相结合，是一种有效的逆变换方法。3-5 拉普拉斯变换法在非稳态拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用导热中的应用 4假设像函数是有理函数，即4其中G(s)和H(s）是不可约多项式。G(s)的幂次低于H(s)。在复数域内可以得到方程H(s)=0的m个根，其中可以有单根和重根、实数根和复数根。有复数根时总是以共轭形式成对出现的。因此，可以分解为下列若干个低幂次有理分式之和：4 （3-5-3）4式中：a