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1、湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer既是空间的函数有是时间的函数既是空间的函数有是时间的函数3-1 3-1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念物体的温度随时间而变化的导热过程物体的温度随时间而变化的导热过程湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer工程上几种典型的非稳态导热过程温度变化工程上几种典型的非稳态导热过程温度变化率的数量级，在该图坐标的高端，即极高速率的数量级，在该图坐标的高端，即极高速非稳态导热区域（例如短脉冲高强度激光处非稳态导热区域（例如短脉冲高强度激光处理）应当考虑非理
2、）应当考虑非fourierfourier导热的影响导热的影响湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer非周期性非稳态导热：物体的温度随时间不断地升非周期性非稳态导热：物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度。长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度。一、非稳态导热的分类一、非稳态导热的分类非周期性非周期性周期性周期性非稳态导热非稳态导热湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer二、特点二、
3、特点 导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或释放能量。释放能量。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 存存在在着着有有区区别别的的两两个个不
4、不同同阶阶段段是是这这一一类类非非周周期期性性非非稳稳态态导导热热问问题题与与周周期期性性非非稳稳态态导导热热问问题题的的一一个个重要特点。重要特点。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 周期性非稳态导热周期性非稳态导热在在周周期期性性非非稳稳态态导导热热问问题题中中，一一方方面面物物体体内内部部各各处处的的温温度度按按照照一一定定的的振振幅幅随随时时间间周周期期
5、的的波波动动；另另一一方方面面，同同一一时时刻刻物物体体内内的的温温度度分分布布也也是是周周期期性性波波动动的。的。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer3-2 3-2 无限大平壁的瞬态导
6、热无限大平壁的瞬态导热 当当所所遇遇到到的的非非稳稳态态导导热热问问题题毕毕渥渥数数大大于于0.10.1，或或者者研研究究目目的的就就是是要要确确定定物物体体内内部部温温度度的的差差异异，此此时时，就不能将问题简化为集总体来处理了。就不能将问题简化为集总体来处理了。这这时时，可可以以采采用用如如第第二二章章对对一一维维稳稳态态导导热热的的分分析解法，或者采用后面第四章要介绍的数值解法。析解法，或者采用后面第四章要介绍的数值解法。本本节节主主要要介介绍绍一一维维非非稳稳态态导导热热分分析析解解的的结结果果，及由解的结果给出的实际计算方法。及由解的结果给出的实际计算方法。湖南城市学院湖南城市学院传
7、热学传热学 Heat TransferHeat Transfer一、无限大平板的分析解一、无限大平板的分析解 厚厚度度 2 的的无无限限大大平平壁壁，、a为为已已知知常常数数，=0时时温温度度为为 t0，突突然然将将其其放放置置于于侧侧介介质质温温度度为为 t 并并保保持持不不变变的的流流体体中中，两两侧侧表表面面与与介介质质之之间的表面传热系数为间的表面传热系数为h。1.物理问题描述物理问题描述2h,th,t湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer2、数学描述、数学描述 由由于于平平板板对对称称，因因此此只只取取平平板板的的一一半半进进行行研
8、研究究，以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer为了求解上的方便，引入过余温度为了求解上的方便，引入过余温度湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer傅里叶数傅里叶数无量纲时间无量纲时间无量纲距离无量纲距离 解的结果是级数求和的形式解的结果是级数求和的形式公式（公式（3-213-21），），将结果可以整理成如下无量纲量表达的形式。将结果可以整理成如下无量纲量表达的形式。毕渥数毕渥数表示内部导热热阻与表表示内部导
9、热热阻与表面对流换热热阻相对大小面对流换热热阻相对大小3.3.解的结果解的结果湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer傅里叶数的物理意义：傅里叶数的物理意义：傅里叶数的物理意义：傅里叶数的物理意义：FoFo为为为为两两两两个个个个时时时时间间间间之之之之比比比比，是是是是非非非非稳稳稳稳态导热过程的无量纲时间。态导热过程的无量纲时间。态导热过程的无量纲时间。态导热过程的无量纲时间。毕渥数的物理意义：毕渥数的物理意义：毕渥数的物理意义：毕渥数的物理意义：BiBi为为为为物物物物体体体体内内内内部部部部的的的的导导导导热热热热热热热热阻阻阻阻与与与
10、与边边边边界处的对流换热热阻之比。界处的对流换热热阻之比。界处的对流换热热阻之比。界处的对流换热热阻之比。由由由由无无无无量量量量纲纲纲纲数数数数学学学学模模模模型型型型可可可可知知知知，是是是是FoFo、BiBi、X X三三三三个个个个无无无无量量量量纲参数的函数纲参数的函数纲参数的函数纲参数的函数 确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer解解解解的的的
11、的函函函函数数数数形形形形式式式式为为为为无无无无穷穷穷穷级级级级数数数数，式式式式中中中中 是是是是下下下下面面面面超超超超越方程的根越方程的根越方程的根越方程的根 根根根根有有有有无无无无穷穷穷穷多多多多个个个个，是是是是BiBi的的的的函函函函数数数数。无无无无论论论论BiBi取取取取任任任任何何何何值值值值，都都都都是是是是正正正正的的的的递递递递增增增增数数数数列列列列，的的的的解解解解是是是是一一一一个个个个快快快快速速速速收收收收敛的无穷级数。敛的无穷级数。敛的无穷级数。敛的无穷级数。由由由由解解解解的的的的函函函函数数数数形形形形式式式式可可可可以以以以看看看看出出出出，确确确
12、确实实实实是是是是FoFo、BiBi、X X三三三三个无量纲特征数的函数个无量纲特征数的函数个无量纲特征数的函数个无量纲特征数的函数 湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 计算表明，当傅里叶数计算表明，当傅里叶数Fo 0.2后，对于公式后，对于公式（3-9），只取级数的第一项计算和完整计算误差很），只取级数的第一项计算和完整计算误差很小。并且平板中任一点的过余温度与平板中心的过小。并且平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度之比只与几何位置和边界条件有关，而与时余温度之比只与几何位置和边界条件有关，而与时间无关。这表明，初始条件的影响已消
13、失，通常将间无关。这表明，初始条件的影响已消失，通常将这一阶段定义为非稳态导热过程的这一阶段定义为非稳态导热过程的正规状况阶段正规状况阶段。正常情况阶段正常情况阶段FoFo准则对温度分布的影响准则对温度分布的影响Fo0.2则则是瞬态温度变化的是瞬态温度变化的初始阶段或非正规状况初始阶段或非正规状况阶段阶段。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 对于无限大平板按如下公式和图对于无限大平板按如下公式和图3-63-6、3-73-7和和3-83-8计算。计算。正规状况阶段的实用计算方法正规状况阶段的实用计算方法1.1.采用近似拟合公式采用近似拟合公
14、式2.2.采用海斯勒图等计算图线采用海斯勒图等计算图线 平板中心的过余温度平板中心的过余温度湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer因因为为 ，所所以以将将式式3-103-10左左、右右两两边边取取对对数数，可可得得m为为一一与与时时间间、地地点点无无关关的的常常数数，只只取取决决于于第第三三类类边边界界条条件件、平平壁壁的的物物性性与几何尺寸。与几何尺寸。式中式中式
15、中式中式右边的第二项只与式右边的第二项只与Bi、x/有关，与时间有关，与时间 无关。无关。上式可改写为上式可改写为湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 该该式式说说明明，当当Fo0.2时时，即即 时时，平平壁壁内内所所有有各各点点过过余余温温度度的的对对数数都都随随时时间间线线性性变变化化，并并且且变变化化曲曲线线的的斜斜率率都都相相等等，这这一一温温度度变变化化阶阶段段称称为为非非稳稳态态导热的导热的正规状况阶段正规状况阶段 。上式两边求导，可得上式两边求导，可得m的的物物理理意意义义是是过过余余温温度度对对时时间间的的相相对对变变化化率
16、率，单单位位是是1/1/s，称称为冷却率（或加热率）。为冷却率（或加热率）。上上式式说说明明，当当Fo 0.2，进进入入正正规规状状况况阶阶段段后后，所所有有各各点点的的冷冷却却率率都都相相同同，且且不不随随时时间间而而变变化化，其其大大小小取取决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer集总参数法集总参数法-Bi-Bi准则对温度分布的影响准则对温度分布的影响湖南城市学
17、院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer毕渥准则数毕渥准则数(1)当当 Bi 时，意味着表面传时，意味着表面传热系数热系数 h （Bi=h /），），对流换热热阻趋于对流换热热阻趋于0。平壁的表。平壁的表面温度几乎从冷却过程一开始，面温度几乎从冷却过程一开始，就立刻降到流体温度就立刻降到流体温度 t 。式中式中为特征尺度为特征尺度湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer(2)当当Bi0时，意味着物体的导时，意味着物体的导热系数很大、导热热阻热系数很大、导热热阻 0（Bi=h/）。任何时间物体）。任何时间物
18、体内的温度分布都趋于均匀一致。内的温度分布都趋于均匀一致。(3)当当0Bit。物物性参数为常量。性参数为常量。物理问题描述物理问题描述体积为体积为V表面积为表面积为A物性物性,c初始温度初始温度t0流体温度流体温度t表面换热系数表面换热系数h湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer能量守恒方程式能量守恒方程式方程式可改写为方程式可改写为分离变量得分离变量得湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer对对 从从0到任意时刻到任意时刻 积分积分上式中右端的指数可作如下变化上式中右端的指数可作如下变化湖南
19、城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer称为傅立叶数称为傅立叶数导热体在时间导热体在时间 0 内传给流体的总热量：内传给流体的总热量：式中式中BiV V是特征尺度是特征尺度l用用V/AV/A表示的毕渥数。表示的毕渥数。同样同样FoV V是特征尺度是特征尺度l用用V/AV/A表示的傅里叶数。表示的傅里叶数。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer三、符合集总体的判别条件三、符合集总体的判别条件 对于厚为对于厚为2的平板：的平板：M=1半径为半径为R的圆柱：的圆柱：M=1/2半径为半径为R的球：的球：M
20、=1/32RR湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 如果导热体的热容量（如果导热体的热容量（Vc）小、换热条件好）小、换热条件好（hA大），那么时间常数大），那么时间常数(Vc/hA)小，导热体的小，导热体的温度变化快。温度变化快。四、时间常数四、时间常数流体流体热电偶接点热电偶接点管道管道湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 对于测温的热电偶接点，时间常数越小、说明对于测温的热电偶接点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测
21、温技术所需要的。所需要的。热惰性级别热惰性级别时间常数时间常数(秒秒)90-18090-18030-9030-9010-3010-301010热电偶时间常数热电偶时间常数湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer第三节第三节 半无限大物体的瞬态导热半无限大物体的瞬态导热一、半无限大物体定义一、半无限大物体定义 半半无无限限大大物物体体是是非非稳稳态态导导热热的的特特有有概概念念。所所谓谓半半无无限限大大物物体体，几几何何上上是是指指如如图图所所示示的的那那样样的的物物体体，其其特特点点是是从从x=0的的界界面面开开始始可可以以向向x正正的的方方向
22、向及及其其它它两两个个坐坐标标(y,z)方方向向无无限限延延伸。伸。0 x湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer二、物理问题和数学描述二、物理问题和数学描述 一个半无限大物体一个半无限大物体,初始温度均匀为初始温度均匀为t0，在，在 =0 时刻，在时刻，在x=0的一的一 侧表面温度突然升高到侧表面温度突然升高到tw，并保，并保持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 He
23、at TransferHeat Transfer三、解的结果三、解的结果式中式中:称为误差函数称为误差函数 ,查图查图或误差函数数值表。或误差函数数值表。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer第四节第四节 其他形状物体的瞬态导热其他形状物体的瞬态导热无限长圆柱体、球体无限长圆柱
24、体、球体 根据第二节所述的方法，亦可求得温度根据第二节所述的方法，亦可求得温度分布的解析解：分布的解析解：应当注意，应当注意，BiBi和和FoFo准则中的定型尺寸，对于准则中的定型尺寸，对于无限长圆柱体和球体采用半径无限长圆柱体和球体采用半径R R。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer无限长直角柱体、有限长圆柱体和六面体无限长直角柱体、有限长圆柱体和六面体 在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导热分析解的组合
25、求得。热分析解的组合求得。无限长方柱体无限长方柱体、短圆柱体短圆柱体及及短方柱体短方柱体就是这类典型几何形状的例子。就是这类典型几何形状的例子。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer在多维导热问题中，几种简单几何形状物在多维导热问题中，几种简单几何形状物体的非稳态导热问题的分析解，可以用几体的非稳态导热问题的分析解，可以用几个相应的一维非稳态导热问题的分析解相个相应的一维非稳态导热问题的分析解相乘得出乘得出乘积解法乘积解法。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 矩形截面的矩形截面的无限长方
26、柱体无限长方柱体是由两个无限大平壁是由两个无限大平壁垂直相交而成；垂直相交而成；短圆柱短圆柱是由一个无限长圆柱和一个是由一个无限长圆柱和一个无限大平壁垂直相交而成无限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体短方柱体（或称垂直六（或称垂直六面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer对于短圆柱体对于短圆柱体 对于无限长方柱体对于无限长方柱体对于短方柱体对于短方柱体湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer乘积解法的适用条件乘积解法的适用条
27、件物体初始温度均匀；物体初始温度均匀；周围介质温度均匀；周围介质温度均匀；表面传热系数均匀；表面传热系数均匀；常物性、没有内热源。常物性、没有内热源。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer第五节第五节 周期性非稳态导热周期性非稳态导热一、周期性非稳态导热现象一、周期性非稳态导热现象如图：某工地屋顶在夏季太阳辐射和室外气温综合如图：某工地屋顶在夏季太阳辐射和室外气温综合作用下，内外表面温度变化的实测资料。作用下，内外表面温度变化的实测资料。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 周期性变化边界
28、条件下引起的非稳态导热。周期性变化边界条件下引起的非稳态导热。很很多多情情况况下下边边界界条条件件周周期期性性变变化化可可以以用用简简谐谐波波来来描述，如：描述，如：twtw,mAfT 周周期期性性变变化化边边界界条条件件导导致致物物体体内内各各处处的的温温度度和和热热流也随时间发生相应的周期性变化。流也随时间发生相应的周期性变化。T周期周期;=2/T角频率；角频率；Aw表面温度的波幅。表面温度的波幅。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 假假假假设设设设：均均均均质质质质半半半半无无无无限限限限大大大大物物物物体体体体、常常常常物物物物性
29、性性性、无无无无内内内内热热热热源源源源,表表表表面温度呈周期性变化。面温度呈周期性变化。面温度呈周期性变化。面温度呈周期性变化。一维非稳态导热。一维非稳态导热。一维非稳态导热。一维非稳态导热。1.1.第一类边界条件数学模型与分析结果第一类边界条件数学模型与分析结果：令令令令为什么没有初始条件？为什么没有初始条件？为什么没有初始条件？为什么没有初始条件？湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer58采用分离变量法可解出采用分离变量法可解出采用分离变量法可解出采用分离变量法可解出 2.温度场的变化特点：温度场的变化特点：（2 2）温温度度波波的的波
30、波幅幅随随着着离离表表面面距离的加大逐步衰减；距离的加大逐步衰减；温度波的频率越大、温度波的频率越大、温度波的频率越大、温度波的频率越大、导温系数越小，衰减越快，穿透深度越小。导温系数越小，衰减越快，穿透深度越小。导温系数越小，衰减越快，穿透深度越小。导温系数越小，衰减越快，穿透深度越小。（1 1）物物体体内内任任意意一一点点的的温温度度都按表面温度波的频率波动；都按表面温度波的频率波动；湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer（3 3）温度波的延迟。）温度波的延迟。由由上上式式可可以以看看到到，任任何何深深度度x x处处温温度度达达到到最最大
31、大值值的的时间落后一个相位，延迟时间用时间落后一个相位，延迟时间用 表示表示湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer（4 4）半半无无限限大大物物体体表表面面和和不不同同深深度度x x处处的的温温度度随随时时间是按照一定周期的简谐波变化。间是按照一定周期的简谐波变化。波波长长 和和振振幅幅不不断断衰衰减减的的温温度度波波向向半半无无限限大大物物体体深深度度方方向向的的传传播播，这这就就是是温温度度波波的的传传播播特特性。性。湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 给给定定的的是是物物体体表表面
32、面外外周周期期性性变变化化的的介介质质温温度度，对对流换热表面传热系数为流换热表面传热系数为h。介质的温度为介质的温度为第三类边界条件数学模型与分析结果第三类边界条件数学模型与分析结果：数学模型：数学模型：湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 为物体表面温度波落后于介质温度波的相位角。为物体表面温度波落后于介质温度波的相位角。为物体表面温度波落后于介质温度波的相位角。为物体表面温度波落后于介质温度波的相位角。可求得物体内的温度响应为可求得物体内的温度响应为可求得物体内的温度响应为可求得物体内的温度响应为 物体表面温度波与流体温度波振幅之比，物体表面温度波与流体温度波振幅之比，物体表面温度波与流体温度波振幅之比，物体表面温度波与流体温度波振幅之比，湖南城市学院湖南城市学院传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer一、周期性变化的热流量一、周期性变化的热流量根据傅里叶定律：根据傅里叶定律：物体的表面热流密度：物体的表面热流密度：热热流流波波与与温温度度波波相相比比，周周期期相相同同、衰衰减减规规律律相相同同、相相位提前位提前/4，相当于提前了，相当于提前了1/8个周期个周期.