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1、一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性二、离散型随机变量的条件分布二、离散型随机变量的条件分布三、连续型随机变量的条件分布三、连续型随机变量的条件分布随机变量的独立性随机变量的独立性,条件分布条件分布四、小结四、小结一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性 随机变量的独立性是概率论中的一随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念个重要概念.两随机变量独立的定义是：两随机变量独立的定义是：两事件两事件A,B独立的定义是：独立的定义是：若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立独立.设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的若对任意的x,y,有有 则称则称X,Y相互
2、相互独立独立.1.定义定义2.6用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的若对任意的x,y,有有则称则称X,Y相互相互独立独立.它表明，两个它表明，两个r.v相互相互独立时，它们的联合独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.由于由于其中其中是是X,Y的联合密度，的联合密度，成立，则成立，则X,Y相互相互独立独立.若对任意的若对任意的 x,y,有有定理定理 若若(X,Y)是连续型是连续型r.v,则上述独立性的则上述独立性的定义等价于：定义等价于：分别是分别是X 和和Y 的边缘密度的边缘密度.证证:因为X与Y独立,
3、故X与Y独立证毕证毕定理定理 若若(X,Y)是离散型是离散型r.v，则上述独立性则上述独立性的定义等价于：的定义等价于：则则X和和Y相互相互独立独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj),有有证明略证明略解解例例1(1)由分布律的性质知由分布律的性质知特别有特别有又又(2)因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以有所以有 例例2 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？对一切对一切x,y,均有：均有：故故X,Y 独立独立解：解：例例3,证明证明X与与Y相互独立相互独立的充要条件是的充要条件是:证证由上节知由上节知显然有显然有故故X与与Y相
4、互独立相互独立.二、离散型随机变量的条件分布二、离散型随机变量的条件分布 定义定义解解由分布律的表格可得由分布律的表格可得定义定义三、连续型随机变量的条件分布三、连续型随机变量的条件分布其中其中 为为X=x的条件下的条件下Y的条件分布密度的条件分布密度.说明说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布联合分布边缘分布边缘分布条件分布条件分布联合分布联合分布例例2 设（设（X,Y）在椭圆）在椭圆 上服从均匀上服从均匀分布，求条件分布密度函数分布，求条件分布密度函数 .解解 由题设知由题设知 其它其它其它其它 上式说明在上式说明在X=x的条件下的条件下,
5、Y服从服从上的均匀分布上的均匀分布.(其中其中|x|a)例例3 解解:由前面的例子得由前面的例子得同理同理说明说明:二维正态分布的条件分布是一维正态分布二维正态分布的条件分布是一维正态分布.解解例例4当当x0时时当当0 x1时时当当x1时时X服从服从(0,1)区间上的均匀分区间上的均匀分布布四、小结四、小结1.若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为独立性独立性条件分布条件分布解解例例1备份题备份题于是于是(X,Y)关于关于X 的边缘概率密度为的边缘概率密度为解解 求求 Y=1 时时 X 的条件分布的条件分布.例例2 已知分布律已知分布律因此因此,在在 Y=1 的
6、条件下的条件下 X 的分布律为的分布律为解解不存在不存在.例例3 正确解法为正确解法为于是于是例例4 一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时时,设他们两人到达的时间相互独立设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办求他们到达办公室的时间相差不超过公室的时间相差不超过 5 分钟的概率分钟的概率.解解解解由于由于X 与与Y 相互独立相互独立,例例3因为因为X与与Y 相互独立相互独立,解解所以所以于是于是求随机变量求随机变量(X,Y)的分布律的分布律.例例4 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 的分布律为的分布律为于是于是解解例例2又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为