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1、第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布四、小结四、小结2.5 2.5 条件分布与随机变量的独立性条件分布与随机变量的独立性三、随机变量的独立性三、随机变量的独立性1第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 问问 题题 考虑一大群人，从其中随机挑选一个人，分考虑一大群人，从其中随机挑选一个人，分别用别用X和和Y记此人的体重和身高，则记此人的体重和身高，则X和和Y都是随都是随机变量，它们都有自己的分布。机变量，它们都有自己的分布。现在如果限制现在如果限
2、制Y取值从取值从1.5m到到1.6m，在这个，在这个限制下求限制下求X的分布。的分布。2第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 设设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为(X,Y)(X,Y)关于关于X X和关于和关于Y Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布 3第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 设设 考虑在事件考虑在事件 已发生的条件下已发生的条件下事件事件 发生的概率，即求下列事件的概率发生的概率，即求下列事件的概率由条件概率公式由条件概率公式4第第
3、2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 定义定义 设设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固是二维离散型随机变量，对于固定的定的j j，若，若 PY=PY=y yj j00，则称，则称为在为在Y=Y=y yj j条件下随机变量条件下随机变量X X的的条件分布律条件分布律。对于固定的对于固定的i i，若，若 PX=xPX=xi i00，则称，则称为在为在X=xX=xi i条件下随机变量条件下随机变量Y Y的的条件分布律条件分布律,5第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 例例16第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 解解由由上述分布律
4、的表格可得上述分布律的表格可得7第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 8第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 例例2 一射手进行射击一射手进行射击,击中目标的概率为击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止射击到击中目标两次为止.设以设以X 表示首次击中目表示首次击中目标所进行的射击次数标所进行的射击次数,以以Y 表示总共进行的射击表示总共进行的射击次数次数.试求试求 X 和和 Y 的联合分布律及条件分布律的联合分布律及条件分布律.解解9第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 现在求条件分布律现在求条件分布律10第第2 2章章
5、 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 11第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 例例3 3 设某班车起点站上客人数设某班车起点站上客人数 X X 服从参数为服从参数为 的泊松分布，每位乘客在中途的泊松分布，每位乘客在中途下车的下车的概率均为概率均为 p(0p1)，且中途下车与，且中途下车与否相互独否相互独立，以立，以Y Y表示在中途下车的人数，求：表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；人下车的概率；（2）二维随机变量）二维随机变量(X,Y)的概率分布。的概率分布。12第第2 2章章
6、随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 解13第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布有问题，有问题，14第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 设设 则有则有15第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 条件概率密度及分布函数的定义条件概率密度及分布函数的定义16第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 17第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 答答请同学们思考请同学们思考由于由于PY=yPY=y可能为可能为0 0（连续型时一定为（连续型时一定为0
7、 0）。故直）。故直接使用条件概率来定义时无法克服分母为接使用条件概率来定义时无法克服分母为0 0的现象。的现象。18第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 说明说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布联合分布条件分布函数与条件密度函数的关系条件分布函数与条件密度函数的关系边缘分布边缘分布条件分布条件分布联合分布联合分布19第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 解解例例4 4则则20第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 21第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 解解例例
8、5 522第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 23第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 例例6 6 已知求解解24第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 同理同理二维正态分布的两个条件分布均为一元正态分布二维正态分布的两个条件分布均为一元正态分布25第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 即即则称随机变量则称随机变量X X和和Y Y是是相互独立相互独立的。的。三、随机变量的相互独立性三、随机变量的相互独立性1.二维随机变量间的相互独立性二维随机变量间的相互独立性2.2.定义定义 设设F(x,yF(x,y)及及F FX
9、 X(x),F(x),FY Y(y(y)分别是二维随分别是二维随机变量机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对的分布函数及边缘分布函数。若对于所有于所有x,yx,y 有有26第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 说明说明 (1)若若 对任意的对任意的x,y成立，则成立，则证明证明由于由于27第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布(2)若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为28第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 解解例例729第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布(1)由
10、分布律的性质知由分布律的性质知30第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 特别有特别有又又(2)因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以有所以有31第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,解解所以所以求随机变量求随机变量(X,Y)的分布律的分布律.例例8 8 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 的分布律为的分布律为32第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 33第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 若若X与与Y相互独立，则相互独立，则取取则则X与与Y相互独
11、立的相互独立的充要条件充要条件是是例例9 9（必要性）（必要性）证明证明34第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 故故将将代入代入即得即得（充分性）（充分性）35第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 解解由于由于X 与与Y 相互独立相互独立,例例101036第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 37第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 例例11 11 一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时时,设他们两
12、人到达的时间相互独立设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办求他们到达办公室的时间相差不超过公室的时间相差不超过 5 分钟的概率分钟的概率.解解38第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 39第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 于是于是40第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 例例12 12 设随机变量设随机变量 X 和和 Y相互独立，而且都服相互独立，而且都服从相同的从相同的0-1分布分布 B(1,p)。又设。又设试求试求 p(0p1)的值使得的值使得Z与与X相互独立。相互独立。解解 先求先求 Z 的分布律的分布律41第第2 2章
13、章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 要使要使 Z 与与 X 独立，则必须有独立，则必须有将将i,j代入可得代入可得42第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 2.n维随机变量间的相互独立性维随机变量间的相互独立性43第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 3.随机变量组间的相互独立性随机变量组间的相互独立性44第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 随机变量组相互独立的重要结论随机变量组相互独立的重要结论45第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 四、小结四、小结46第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 47第第2 2章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 3.若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为48