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1、的实数的实数 和和 ,随机事件随机事件 和和 相互相互则称随机变量则称随机变量 和和 相互独立相互独立.定理定理1 若离散型随机变量若离散型随机变量 的可能取值为的可能取值为并且对任意的并且对任意的 和和 ,事件事件与与相互独立相互独立,即即则则 与与 相互独立相互独立.下面给出离散型和连续型时的两个重要结论下面给出离散型和连续型时的两个重要结论.四、四、随机变量的独立性随机变量的独立性定义定义5 设设 是二维随机变量是二维随机变量,如果对于任意如果对于任意独立独立,即即定理定理2 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 的联合概的联合概则则 和和 相互独立相互独立.关于关于 和和 的边缘概
2、率密度分的边缘概率密度分率密度为率密度为如果对任意实数如果对任意实数 和和和和别为别为有有例例1 设二维随机变量设二维随机变量 的联合分布律为的联合分布律为:12312且且 与与 相互独立相互独立,试求试求 和和解解 由于由于 与与 独立独立,所以有所以有又由分布律的性质又由分布律的性质,有有所以所以,有有例例2 设随机变量设随机变量 与与 相互独立相互独立,下表列出了二维下表列出了二维1填入表中的空白处填入表中的空白处.的边缘分布律中的部分数值的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值试将其余数值 随机向量随机向量 联合分布律及关于联合分布律及关于 和关于和关于 例例3 若若(X,Y)的联合概率
3、密度为的联合概率密度为问问X与与Y是否相互独立是否相互独立?解解:1111X与与Y不相互独立不相互独立.例例4 设设(X,Y)服从单位圆服从单位圆上的的均匀分布，问上的的均匀分布，问X与与Y是否相互独立？是否相互独立？解解:已知已知-11-11X与与Y不相互独立不相互独立.例例5 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午12时时30分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:15到到12:45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:00到到13:00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达
4、达的的时时间间不不超超过过5分分钟钟的的概概率率.又又甲甲先先到到的概率是多少？的概率是多少？解解:设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45),YU(0,60)解解:设设X为甲到达时刻，为甲到达时刻，Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点，以分为单位，依题意，时为起点，以分为单位，依题意，XU(15,45),YU(0,60)甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性 先到的人等待另一人到达的先到的人等待另一人到达的时间不超过时间不超过5分钟的概率分钟的概率所求为所求为五、五、二维随机向量函数的分布
5、二维随机向量函数的分布基本任务基本任务:已知二维随机向量已知二维随机向量(X,Y)的分布的分布,求求随机变量随机变量 的分布的分布.一个二元函数，一个二元函数，则则称称为为二二维维随机向量随机向量设设（X,Y）是二）是二维维随机向量，随机向量，是是是一是一维维（X,Y）的函数。（注意：）的函数。（注意：随机变量），有：随机变量），有：例例6 设设(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为分别求分别求X-Y和和XY的分布律的分布律.1.离散型随机向量函数的分布离散型随机向量函数的分布解解:X-Y的所有可能取值为的所有可能取值为-3-3，-2-2，-1-1，0.0.同理有同理有例例7 设随机变量设随机
6、变量X，Y相互独立相互独立,并且并且,试证试证证明：证明：显然显然 的可能取值为的可能取值为0,1,2,并且并且即即解解 先求分布函数先求分布函数设随机向量（设随机向量（X,Y）联合概率密度为联合概率密度为试求试求Z=X+Y的概率密度的概率密度.2.连续型随机向量和的分布连续型随机向量和的分布或者或者以上两个公式称为以上两个公式称为卷积公式卷积公式.或者或者即即当当X，Y相互独立时，相互独立时，例例8设设X,Y相互独立且均服从标准正态分布相互独立且均服从标准正态分布,求求解解 由卷积公式由卷积公式,有有故故Z=X+Y的概率密度的概率密度.与例与例4相关的重要结论相关的重要结论:则则1.若若 相互独立相互独立,且且2.若若 相互独立相互独立,且且则则并且并且例如例如,若若X与与Y相互独立相互独立,且均服从且均服从则有则有例例9 设设X1与与X 2是相互独立的随机变量，且都服是相互独立的随机变量，且都服求随机求随机变变量量Y,Z的数学期望与方差。的数学期望与方差。从从0，1上的均匀分布，令上的均匀分布，令解解:因因为为X1与与X 2是相互独立是相互独立,且且解：解：P(|X-Y|5)=P(-5 X-Y 5)=1/6=1/2P(XY)（1）