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1、概率论概率论 关于随机变量的独立性第一页，讲稿共十七页哦概率论概率论 两事件 A,B 独立的定义是:若 P(AB)=P(A)P(B)则称事件 A,B 独立.1.设设 X,Y 是两个是两个 r.v,若对任意的若对任意的 x,y,有有:则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.一、随机变量相互独立的定义一、随机变量相互独立的定义2.设设 X,Y是两个是两个 r.v,若对任意的若对任意的 x,y,有有:则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.第二页，讲稿共十七页哦概率论概率论 3.若若(X,Y)是离散型是离散型 r.v,则上述独立性的定义等价于：则上述独立性的定义等价于：对对(X,Y)的所有可能取
2、值的所有可能取值(xi,yj),有有则称则称 X 和和Y 相互相互独立独立.第三页，讲稿共十七页哦概率论概率论 其中其中是是X和和Y的联合密度，的联合密度，几乎处处成立几乎处处成立,则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.对任意的对任意的 x,y,有有:4.若若(X,Y)是连续型是连续型 r.v,则上述独立性的定义等价于则上述独立性的定义等价于:这里这里“几乎处处成立几乎处处成立”的含义是：的含义是：在平面上除去面积为在平面上除去面积为 0 的集合外，处处成立的集合外，处处成立.分别是分别是X的边缘密度和的边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度.由条件密度的定义：由条件密度的定义：可知可知,当当
3、X与与Y相互独立时，相互独立时，第四页，讲稿共十七页哦概率论概率论 例例1:1)设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？解解:x0 y 0即即:可见对一切可见对一切 x,y,均有：均有：故故 X,Y 独立独立.第五页，讲稿共十七页哦概率论概率论 2)若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为:情况又怎样？情况又怎样？解解:0 x1 0y1 故故 X 和和 Y 不独立不独立.第六页，讲稿共十七页哦概率论概率论 例例2:甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12时时30分在某地会面分在某地会面.如果甲来到的时间在如果甲来到的时间在12:15到到12:45之间是均匀分布之间是均匀
4、分布.乙独立地到达乙独立地到达,而且到达时间在而且到达时间在12:00到到13:00之间是均匀分布之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率分钟的概率.又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？解解:设设 X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45),YU(0,60)第七页，讲稿共十七页哦概率论概率论 所求为所求为:P(|X-Y|5),甲先到的概率由独立性由独立性:先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率P(XY)第八页，讲稿共十七页哦
5、概率论概率论 解一解一:P(|X-Y|5)=P(-5 X-Y 5)P(XY)第九页，讲稿共十七页哦概率论概率论 解二解二:P(X Y)P(|X-Y|5)第十页，讲稿共十七页哦概率论概率论 类似的问题如：类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头甲、乙两船同日欲靠同一码头,设两船各自独立地到达设两船各自独立地到达,并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊若甲船需停泊1小时小时,乙船需停泊乙船需停泊2小时小时,而该码头只能停泊一艘船而该码头只能停泊一艘船,试求其中一艘船要等待码头空出的概率试求其中一艘船要等待码头空出的概率.第十一页，讲稿共十七页哦概率论概率
6、论 在某一分钟的任何时刻在某一分钟的任何时刻,信号进入收音机是等可能的信号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒秒,则信号将产生互相干扰则信号将产生互相干扰.求发生两信号互相干扰的概率求发生两信号互相干扰的概率.第十二页，讲稿共十七页哦概率论概率论 盒内有盒内有 个白球个白球,个黑球个黑球,有放回地摸球两次有放回地摸球两次.例例3:设设:第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球试求试求(1)的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律;(2)判断判断 的相互独立性的相互独立性;(3)若改为无放回摸球若改为无放回摸球,解上述两个问题解上述两个问题.第十三页，讲稿共十七页哦概率论概率论(1)的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律解解如下表所示如下表所示:(2)由上表可知由上表可知故故 的相互独立的相互独立.第十四页，讲稿共十七页哦概率论概率论(3)的联合分布律及边缘分布律如下表所示的联合分布律及边缘分布律如下表所示:第十五页，讲稿共十七页哦概率论概率论 故故 不是相互独立不是相互独立.由上表知由上表知:可见可见:第十六页，讲稿共十七页哦概率论概率论 感谢大家观看第十七页，讲稿共十七页哦