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1、2013年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）一、填空题（共3小题,每小题8分,满分24分）1（8分）算式99999999988888888+7777777666666+555554444+33322+1的计算结果的各位数字之和是 2（8分）如图竖式中,使得乘积最小的两个乘数和是 3（8分）把18这8个数字放到一个正方体的八个顶点处,然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数,如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数,那么另外四个中点处所写的数中,有 不是整数二、填空题（共3小题,每小题12分,满分36分）4（12分）如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边A
2、B上有一点D,已知CD5,BD比AD长2,那么三角形ABC的面积是 5（12分）如图,77的表格中,每格填入一个数字,使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）,现在已经给出了1,2,3,4,5各两个,那么,表格中所有数的和是 1 253 34 2 1 5 4 6（12分）甲、乙两人从A地步行去B地乙早上6：00出发,匀速步行前往;甲早上8：00才出发,也是匀速步行甲的速度是乙的速度的2.5倍,但甲每行进半小时都需要休息半小时甲出发后经过 分钟才能追上乙三、填空题（每小题15分,满分75分）7（15分）五支足球队伍比赛,每两个队伍之间比赛一场：胜者得3分,负者得0分,平局
3、各得1分,比赛完毕后,发现各队得分均不超过9分,且恰有两只队伍同分,设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的）,若恰好是15的倍数,那么此次比赛中共有多少场平局?8（15分）由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中,周长的最小值是 9（15分）如图,正六边形ABCDEF的面积为1222,K、M、N分别AB,CD,EF的中点,那么三角形PQR的边长是 10（15分）一个自然数恰有9个互不相同的约数,其中3个约数A,B,C满足：A+B+C79AABC那么,这个自然数是 11（15分）有一个奇怪的四位数（首位不为0）,它是完全平方数,它的数字和也是完全平方数
4、,用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数,并且它的约数个数还恰好等于它的数字和,那当然也是完全平方数,如果这个四位数的各位数字互不相同,那么这个四位数是多少?2013年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）参考答案与试题解析一、填空题（共3小题,每小题8分,满分24分）1（8分）算式99999999988888888+7777777666666+555554444+33322+1的计算结果的各位数字之和是45【解答】解：由于计算过程没有出现进位借位,故结果各位数字之和就是式中各数的各位数字之和相加减,原式9988+7766+5544+3322+11（mod10）（9+8）（9
5、8）+（7+6）（76）+（3+2）（32）+19+8+7+6+5+4+3+2+145,故答案为452（8分）如图竖式中,使得乘积最小的两个乘数和是160【解答】解：（1）积的最高位是2,可以得出前面两次算出的积的最高位都是1,再由此推出第一个乘数的第一位是1,最后一位是3;（2）根据积的个位是1,可以知道两个乘数的个位数字的积的末尾是1,结合上第一个乘数的个位是3,就能确定第二个乘数的个位是7;（3）因为第一个乘数乘第二个乘数的十位数字得到的是一百多,也就能确定第二个乘数的十位数字是1;（4）根据第一个乘数乘7的积是一千零几,可以推出第一个乘数的十位数字是4故这题中两个乘数是143和17,第
6、一次算出的积是1001,第二次的积是143,最后的积是2431因此这两个乘数的和是143+171603（8分）把18这8个数字放到一个正方体的八个顶点处,然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数,如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数,那么另外四个中点处所写的数中,有4个不是整数【解答】解：奇偶性问题18八个数4奇4偶,上下两组各4个数同时满足相邻和为偶数,唯一情况为上下另组数分别同奇同偶即上面4个为奇数,下面4个为偶数或者上面4个为偶数,下面4个为奇数所以上下4组数和都是奇数,即它们的平均数都不是整数所以有4个不是整数故答案为4个二、填空题（共3小题,每小题
7、12分,满分36分）4（12分）如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边AB上有一点D,已知CD5,BD比AD长2,那么三角形ABC的面积是24【解答】解：作CEAB于ECACB,CEAB,CEAEBE,BDAD2,BE+DE（AEDE）2,DE1,在RtCDE中,CE2CD2DE224,SABCABCECE224,故答案为245（12分）如图,77的表格中,每格填入一个数字,使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）,现在已经给出了1,2,3,4,5各两个,那么,表格中所有数的和是1501 253 34 2 1 5 4 【解答】解：首先理解题目,找出唯一填法的空格,例如第一
8、行第一个1,与其唯一相邻的空白空格必须为1,以此类推,第二行第一个5也具有唯一相邻空格逆推得出唯一图形相加求和为150故答案为1506（12分）甲、乙两人从A地步行去B地乙早上6：00出发,匀速步行前往;甲早上8：00才出发,也是匀速步行甲的速度是乙的速度的2.5倍,但甲每行进半小时都需要休息半小时甲出发后经过330分钟才能追上乙【解答】解：法一：假设甲一小时走5米,乙一小时走2米,列表如下：时间甲（米）乙（米）时间甲（米）乙（米）0小时043小时7.5100.5小时2.553.5小时10111小时2.564小时10121.5小时574.5小时12.5132小时585小时12.5142.5小时
9、7.595.5小时1515观察得5.5小时恰好追上（如果这时间超过了乙,就要用具体追及公式计算追及时间）法二：也可以设甲的速度为每小时10a（甲要休息,实际每小时走5a）,乙的速度为每小时4a,因此要追8a半小时内最多追3a,可以先从要追的8a中扣除3a,因为在此之前不可能追上（之前的距离差不止3a）之后再开始按每半小时列出,若不够半小时的话,用追及公式算前面追的5a,相当于每小时追a,可以用5a（5a4a）5（小时）计算之后,甲半小时再走2a,乙再走5a,加上还差的3a,正好追上因此,要追5.5小时,即330分钟 故答案为：330三、填空题（每小题15分,满分75分）7（15分）五支足球队伍
10、比赛,每两个队伍之间比赛一场：胜者得3分,负者得0分,平局各得1分,比赛完毕后,发现各队得分均不超过9分,且恰有两只队伍同分,设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的）,若恰好是15的倍数,那么此次比赛中共有多少场平局?【解答】解：5（51）210（场）比赛一共10场,总分在20到30分之间五位数恰是15的倍数,利用整除性可知,E可为0或者5,考虑到E最小,如果,总分最小为8+7+6+5+531分,不成立,所以,即第五名4场全负积0分第五名负四场,则平局最多为6场,总分最少为24分又考虑到分数和为3的倍数,总分可能情况为30,27,24对三种情况分别讨论：（
11、1）总分30分：即无平局情况,那么前四名队伍得分只可能为9,6,3分不能在只有两个重复的情况下凑出30所以总分30分情况不存在（2）总分27分：经测试,存在,满足题目分数要求,且四个队7场胜3场负,恰好满足第五队的4场负,所以此为一解,比赛3场平局（3）总分24分：在24分情况下,只有前四名只能各胜1场平2场,但不满足只有两队得分相同所以总分24分情况不存在综上,唯一存在总分27分情况下,比赛中共有3场平局8（15分）由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中,周长的最小值是127【解答】解：由题意,正三角形组成两种四边形：平行四边形和梯形,平行四边形要求偶数个三角形,2013是奇数,只能
12、拼成梯形,而且是等腰梯形设梯形的下底边长为a、上底边长为b,则腰的长度为（ab）,所以,周长为（a+b）+2（ab） 因为a2b2（a+b）（ab）201331161,积一定差小和小,所以：（a+b）2（ab）2311616166,当a+b61、2（ab）66时,差小,和就小,最小周长为：66+61127（a47,b14可以不必求出来） 故答案为1279（15分）如图,正六边形ABCDEF的面积为1222,K、M、N分别AB,CD,EF的中点,那么三角形PQR的边长是141【解答】解：如图延长BA和EF交于点O,并连接AE,由正六边形的性质,我们可知SABCMSCDENSEFAK六边形面积,根
13、据容斥原理,重叠部分三个三角形面积和等于阴影部分面积,且因为对称,AKP,CMQ,ENR三个三角形是一样的,有KPRN,APER,RPPQ,则,由鸟头定理可知道3KPAPRPPQ,综上可得：PR2KPRE,那么由三角形AEK是六边形面积的,且SAPKSAKE,SAPKSABCDEF47,所以阴影面积为473141故答案为14110（15分）一个自然数恰有9个互不相同的约数,其中3个约数A,B,C满足：A+B+C79AABC那么,这个自然数是441【解答】解：一个自然数N恰有9个互不相同的约数,则可得Nx2y2,或者Nx8,（1）当Nx8,则九个约数分别是：1,x,x2,x3,x4,x5,x6,
14、x7,x8,其中有3个约数A、B、C且满足AABC,不可能（2）当Nx2y2,则九个约数分别是：1,x,y,x2,xy,y2,x2y,xy2,x2y2,其中有3个约数A、B、C且满足AABC,Ax,B1,Cx2,则x+1+x279,无解Axy,B1,Cx2y2,则xy+1+x2y279,无解 Axy,Bx,Cxy2,则xy+x+xy279,无解Axy,Bx2,Cy2,则xy+x2+y279,解得：,则N3272441Ax2y,Bx2y2,Cx2,则x2y+x2y2+x279,无解故答案为44111（15分）有一个奇怪的四位数（首位不为0）,它是完全平方数,它的数字和也是完全平方数,用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数,并且它的约数个数还恰好等于它的数字和,那当然也是完全平方数,如果这个四位数的各位数字互不相同,那么这个四位数是多少?【解答】解：,有25个约数的末两位为25（这就是说,这个数含有质因数5）平方数,一定形如a4b4或c4（显然太大,放弃）,至少为245410000,不是四位数,所以这个平方数数字和为9（这就是说,这个数含有质因数3）,含有9个约数,那么形如a2b2或c8,321722601答：这个四位数是260112