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1、12013 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）一、填空题（共 3 小题,每小题 8 分,满分 24 分）1（8 分）算式 99999999988888888+7777777666666+555554444+33322+1 的计算结果的各位数字之和是 2（8 分）如图竖式中,使得乘积最小的两个乘数和是 3（8 分）把 18 这 8 个数字放到一个正方体的八个顶点处,然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数,如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数,那么另外四个中点处所写的数中,有 不是整数二、填空题（共 3 小题,每小题 12 分,满分 36 分）4（
2、12 分）如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 AB 上有一点 D,已知 CD5,BD 比 AD 长 2,那么三角形 ABC 的面积是 5（12 分）如图,77 的表格中,每格填入一个数字,使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）,现在已经给出了 1,2,3,4,5 各两个,那么,表格中所有数的和是 21 253 34 2 1 5 4 6（12 分）甲、乙两人从 A 地步行去 B 地乙早上 6：00 出发,匀速步行前往;甲早上8：00 才出发,也是匀速步行甲的速度是乙的速度的 2.5 倍,但甲每行进半小时都需要休息半小时甲出发后经过 分钟才能追上乙三、填空题（每小题
3、 15 分,满分 75 分）7（15 分）五支足球队伍比赛,每两个队伍之间比赛一场：胜者得 3 分,负者得 0 分,平局各得 1 分,比赛完毕后,发现各队得分均不超过 9 分,且恰有两只队伍同分,设五支队伍的得分从高到低依次为 A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的）,若恰好是 15 的倍数,那么此次比赛中共有多少场平局?8（15 分）由 2013 个边长为 1 的小正三角形拼成的四边形中,周长的最小值是 9（15 分）如图,正六边形 ABCDEF 的面积为 1222,K、M、N 分别 AB,CD,EF 的中点,那么三角形 PQR 的边长是 310（15 分）一个自然数恰有 9 个互不
4、相同的约数,其中 3 个约数 A,B,C 满足：A+B+C79AABC那么,这个自然数是 11（15 分）有一个奇怪的四位数（首位不为 0）,它是完全平方数,它的数字和也是完全平方数,用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数,并且它的约数个数还恰好等于它的数字和,那当然也是完全平方数,如果这个四位数的各位数字互不相同,那么这个四位数是多少?42013 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）参考答案与试题解析一、填空题（共 3 小题,每小题 8 分,满分 24 分）1（8 分）算式 99999999988888888+7777777666666+555554444+33322+
5、1 的计算结果的各位数字之和是45【解答】解：由于计算过程没有出现进位借位,故结果各位数字之和就是式中各数的各位数字之和相加减,原式9988+7766+5544+3322+11（mod10）（9+8）（98）+（7+6）（76）+（3+2）（32）+19+8+7+6+5+4+3+2+145,故答案为 452（8 分）如图竖式中,使得乘积最小的两个乘数和是160【解答】解：（1）积的最高位是 2,可以得出前面两次算出的积的最高位都是 1,再由此推出第一个乘数的第一位是 1,最后一位是 3;（2）根据积的个位是 1,可以知道两个乘数的个位数字的积的末尾是 1,结合上第一个乘5数的个位是 3,就能确
6、定第二个乘数的个位是 7;（3）因为第一个乘数乘第二个乘数的十位数字得到的是一百多,也就能确定第二个乘数的十位数字是 1;（4）根据第一个乘数乘 7 的积是一千零几,可以推出第一个乘数的十位数字是 4故这题中两个乘数是 143 和 17,第一次算出的积是 1001,第二次的积是 143,最后的积是2431因此这两个乘数的和是 143+171603（8 分）把 18 这 8 个数字放到一个正方体的八个顶点处,然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数,如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数,那么另外四个中点处所写的数中,有4 个不是整数【解答】解：奇偶性问题 18
7、 八个数 4 奇 4 偶,上下两组各 4 个数同时满足相邻和为偶数,唯一情况为上下另组数分别同奇同偶即上面 4 个为奇数,下面 4 个为偶数或者上面4 个为偶数,下面 4 个为奇数所以上下 4 组数和都是奇数,即它们的平均数都不是整数所以有 4 个不是整数故答案为 4 个二、填空题（共 3 小题,每小题 12 分,满分 36 分）4（12 分）如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 AB 上有一点 D,已知 CD5,BD 比 AD 长 2,那么三角形 ABC 的面积是246【解答】解：作 CEAB 于 ECACB,CEAB,CEAEBE,BDAD2,BE+DE（AEDE）2,DE1,在 Rt
8、CDE 中,CE2CD2DE224,SABCABCECE224,故答案为 245（12 分）如图,77 的表格中,每格填入一个数字,使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）,现在已经给出了 1,2,3,4,5 各两个,那么,表格中所有数的和是1501 2753 34 2 1 5 4 【解答】解：首先理解题目,找出唯一填法的空格,例如第一行第一个 1,与其唯一相邻的空白空格必须为 1,以此类推,第二行第一个 5 也具有唯一相邻空格逆推得出唯一图形相加求和为 150故答案为 1506（12 分）甲、乙两人从 A 地步行去 B 地乙早上 6：00 出发,匀速步行前往;甲早上8
9、8：00 才出发,也是匀速步行甲的速度是乙的速度的 2.5 倍,但甲每行进半小时都需要休息半小时甲出发后经过330分钟才能追上乙【解答】解：法一：假设甲一小时走 5 米,乙一小时走 2 米,列表如下：时间甲（米）乙（米）时间甲（米）乙（米）0 小时043 小时7.5100.5 小时2.553.5 小时10111 小时2.564 小时10121.5 小时574.5 小时12.5132 小时585 小时12.5142.5 小时7.595.5 小时1515观察得 5.5 小时恰好追上（如果这时间超过了乙,就要用具体追及公式计算追及时间）法二：也可以设甲的速度为每小时 10a（甲要休息,实际每小时走
10、5a）,乙的速度为每小时 4a,因此要追 8a半小时内最多追 3a,可以先从要追的 8a 中扣除 3a,因为在此之前不可能追上（之前的距离差不止 3a）之后再开始按每半小时列出,若不够半小时的话,用追及公式算前面追的 5a,相当于每小时追 a,可以用 5a（5a4a）5（小时）计算之后,甲半小时再走 2a,乙再走 5a,加上还差的 3a,正好追上因此,要追 5.5 小时,即 330 分钟 故答案为：330三、填空题（每小题 15 分,满分 75 分）7（15 分）五支足球队伍比赛,每两个队伍之间比赛一场：胜者得 3 分,负者得 0 分,平局9各得 1 分,比赛完毕后,发现各队得分均不超过 9
11、分,且恰有两只队伍同分,设五支队伍的得分从高到低依次为 A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的）,若恰好是 15 的倍数,那么此次比赛中共有多少场平局?【解答】解：5（51）210（场）比赛一共 10 场,总分在 20 到 30 分之间五位数恰是 15 的倍数,利用整除性可知,E 可为 0 或者 5,考虑到 E 最小,如果,总分最小为 8+7+6+5+531 分,不成立,所以,即第五名 4 场全负积 0 分第五名负四场,则平局最多为 6 场,总分最少为 24 分又考虑到分数和为 3 的倍数,总分可能情况为 30,27,24对三种情况分别讨论：（1）总分 30 分：即无平局情况,那么前四
12、名队伍得分只可能为 9,6,3 分不能在只有两个重复的情况下凑出 30所以总分 30 分情况不存在（2）总分 27 分：经测试,存在,满足题目分数要求,且四个队 7 场胜 3 场负,恰好满足第五队的 4 场负,所以此为一解,比赛 3 场平局（3）总分 24 分：在 24 分情况下,只有前四名只能各胜 1 场平 2 场,但不满足只有两队得分相同所以总分 24 分情况不存在综上,唯一存在总分 27 分情况下,比赛中共有 3 场平局8（15 分）由 2013 个边长为 1 的小正三角形拼成的四边形中,周长的最小值是12710【解答】解：由题意,正三角形组成两种四边形：平行四边形和梯形,平行四边形要求
13、偶数个三角形,2013 是奇数,只能拼成梯形,而且是等腰梯形设梯形的下底边长为 a、上底边长为 b,则腰的长度为（ab）,所以,周长为（a+b）+2（ab）因为 a2b2（a+b）（ab）201331161,积一定差小和小,所以：（a+b）2（ab）2311616166,当 a+b61、2（ab）66 时,差小,和就小,最小周长为：66+61127（a47,b14可以不必求出来）故答案为 1279（15 分）如图,正六边形 ABCDEF 的面积为 1222,K、M、N 分别 AB,CD,EF 的中点,那么三角形 PQR 的边长是141【解答】解：如图延长 BA 和 EF 交于点 O,并连接 A
14、E,由正六边形的性质,我们可知SABCMSCDENSEFAK六边形面积,根据容斥原理,重叠部分三个三角形面积和等于阴影部分面积,且因为对称,AKP,CMQ,ENR 三个三角形是一样的,有 KPRN,APER,RPPQ,则,由鸟头定理可知道 3KPAPRPPQ,综上可得：PR2KPRE,那么由三角形 AEK 是六边形面积的,且 SAPKSAKE,11SAPKSABCDEF47,所以阴影面积为 473141故答案为 14110（15 分）一个自然数恰有 9 个互不相同的约数,其中 3 个约数 A,B,C 满足：A+B+C79AABC那么,这个自然数是441【解答】解：一个自然数 N 恰有 9 个互
15、不相同的约数,则可得 Nx2y2,或者 Nx8,（1）当 Nx8,则九个约数分别是：1,x,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,其中有 3 个约数 A、B、C 且满足 AABC,不可能（2）当 Nx2y2,则九个约数分别是：1,x,y,x2,xy,y2,x2y,xy2,x2y2,其中有 3 个约数A、B、C 且满足 AABC,Ax,B1,Cx2,则 x+1+x279,无解Axy,B1,Cx2y2,则 xy+1+x2y279,无解 Axy,Bx,Cxy2,则 xy+x+xy279,无解Axy,Bx2,Cy2,则 xy+x2+y279,解得：,则 N327244112Ax2y,Bx2y2,C
16、x2,则 x2y+x2y2+x279,无解故答案为 44111（15 分）有一个奇怪的四位数（首位不为 0）,它是完全平方数,它的数字和也是完全平方数,用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数,并且它的约数个数还恰好等于它的数字和,那当然也是完全平方数,如果这个四位数的各位数字互不相同,那么这个四位数是多少?【解答】解：,有 25 个约数的末两位为 25（这就是说,这个数含有质因数 5）平方数,一定形如 a4b4或 c4（显然太大,放弃）,至少为 245410000,不是四位数,所以这个平方数数字和为 9（这就是说,这个数含有质因数 3）,含有 9 个约数,那么形如a2b2或 c8,321722601答：这个四位数是 2601