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1、38 38 直角坐标直角坐标变换下的过渡矩阵变换下的过渡矩阵38.1.n 维向量空间直角坐标变换下的过渡矩阵维向量空间直角坐标变换下的过渡矩阵38.2.平面直角坐标平面直角坐标变换下的过渡矩阵变换下的过渡矩阵设设与与是是 n 维向量空间的两组维向量空间的两组标准正交基标准正交基.n ,21n ,211112121222121212(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaaaa 过渡矩阵过渡矩阵 P112111112112222212221212nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaP Paaaaaa.I38.1n 维向量空间直角坐标变换下的过渡矩阵维向量空间直角坐标变换下的过渡矩阵
2、定理定理设设 I 和和 II 都是都是 n 维维向量空间的向量空间的直角坐标系直角坐标系，则，则I 到到 II 的过渡矩阵的过渡矩阵 P 是正交矩阵，是正交矩阵，II 到到 I 的过渡矩阵是的过渡矩阵是 PT.回忆回忆二阶正交矩阵只有下面两种类型二阶正交矩阵只有下面两种类型:cossin,sincoscossin.sincos问题：问题：在在平面平面直角坐标变换下，直角坐标变换下，的的几何意义几何意义是什么？是什么？坐标坐标系系 I 和和II 都都取右取右手直手直角坐角坐标系标系2eoo 2e 1e 22211222211111eaeaeeaeae1111ae e1e1e 2e 1112121
3、22122 aaeeeeaa cossinsincosT（是是 e1 按照按照逆时针逆时针方向方向旋转旋转到到 e1 的转角）的转角）2222cosaeeq1221cossin2aeepqq2112cossin2ae epqqcosq38.2平面平面直角坐标变换下的过渡直角坐标变换下的过渡矩阵矩阵1eo2e2e1e 22211222211111eaeaeeaeae1111122121122222coscossin2cossin2cosae eaeeae eaee cossinsincosT坐标系坐标系 I 和和 II 都取左手直角坐标系都取左手直角坐标系 坐标系坐标系 I 取取左手直角坐标系左
4、手直角坐标系，坐标系，坐标系 II 取取右手直角坐标系右手直角坐标系1=2-22211222211111eaeaeeaeae11111122111211211222211coscossin2cossin2cos=cosae eaeeae eaeecos-sin-sincosT1eo2e1e2e定理定理1 1坐标系坐标系 I 和和 II 为为同定向同定向的平面直角坐标的平面直角坐标系系的的充要充要条件条件是它们的过渡矩阵是它们的过渡矩阵 T 为正交矩阵且为正交矩阵且|T|=1.cossin()sincosT定理定理2 2坐标系坐标系 I 和和 II 为为反定向反定向的平面直角坐标的平面直角坐标系
5、系的的充要充要条件条件是它们的过渡矩阵是它们的过渡矩阵 T 为正交矩阵为正交矩阵且且|T|=-1.cossin()sincosT设坐标系设坐标系 I 和和 II 均均为平面右手为平面右手直角坐标系直角坐标系，设，设与与的夹角为的夹角为，则则点的坐标变换公式点的坐标变换公式为为若若=0，则，则称为称为移轴公式移轴公式.00(,),O xy1e.cos sinsin-cos00 yxyxyx 00001 0 ,0 1xxxxxyyyyy 若若 O 与与 O 重合，则重合，则称为称为转轴公式转轴公式.cos -sin sin cosxxyy 1e注：注：平面上任一平面上任一右手到右手右手到右手的直角坐标变换都可以经过的直角坐标变换都可以经过移轴移轴和和转轴转轴得到得到.2eo1e1e 2e 121212;,;,;,O e eO e eO e e移轴转轴 注：注：上述结论对于任意两个同定向的直角坐标系都成上述结论对于任意两个同定向的直角坐标系都成立，但立，但对于反定向的两个直角坐标系不成立对于反定向的两个直角坐标系不成立.1eo2e1e2e小结小结直角坐标直角坐标变换下的过渡变换下的过渡矩阵（矩阵（正交矩阵正交矩阵）平面平面直角坐标变换下的过渡直角坐标变换下的过渡矩阵矩阵cossin,sincoscossin.sincos