《(6.4.1)--5.4.1矩阵的相似.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(6.4.1)--5.4.1矩阵的相似.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、矩阵的相似矩阵的相似Similarity of Square Matrices一、矩阵的相似一、矩阵的相似定义定义设设A、B是两个是两个n阶方阵。若存在阶方阵。若存在n阶可逆阶可逆矩阵矩阵P，使得，使得BAPP=1则称则称 A相似相似于于B，记作，记作AB；称；称P为由为由A到到B的的相似变相似变换矩阵换矩阵。性质性质1 矩阵的相似满足矩阵的相似满足（1）自反性：）自反性：AA（2）对称性：）对称性：ABBA（3）传递性：）传递性：CACBBA,性质性质2（1）（2）TTBABA（3）)()(BrArBA=|BABA=mmBABA其中其中 A1,A2,Am均为均为 n 阶矩阵，阶矩阵，P 为为
2、 n 阶可逆矩阵。阶可逆矩阵。)()()(12111211PAPPAPPAPPAAAPmm=mmAPPPAP)(11=于是于是特别地，当特别地，当 A1 A2 Am A 时，上式成为时，上式成为（4）mmBABA)()()()()()(101110111BfAPPfIaAPPaAPPaPIaAaAaPPAfPmmmm=+=+=+=+=这可由这可由得到。得到。（5）若）若 AB，则，则 f(A)f(B)，这里，这里 f(x)为任一多项式函数。为任一多项式函数。11,ABAB进一步，进一步，定义定义阶矩阶矩A的主对角线上元素的和称的主对角线上元素的和称为矩阵为矩阵 A 的迹，一般记为的迹，一般记为
3、。()Tr An事实：事实：方矩阵的迹是一个线性函数方矩阵的迹是一个线性函数。()()Tr ABTr BA=:()n nTr KKATr A 但是结论：但是结论：一般不成立，一般不成立，试举例加以说明。试举例加以说明。()()()Tr ABTr A Tr B（7）()()ABTr ATr B=例例 已知已知，求，求 a。=31 221BaA解解 因为因为 AB，所以，所以，即，即|BA=34=a由此得由此得。1=a定义定义 设设 A是是 n阶方阵，若阶方阵，若=nA21则称则称 A可相似对角化可相似对角化，简称，简称对角化对角化；称；称为为 A的的相似相似标准形标准形。问题问题如何判断矩阵是否可对角化？如何判断矩阵是否可对角化？如何求矩阵得相似标准形如何求矩阵得相似标准形(如何对角化如何对角化)？注记注记：（1）作为作为上的等价关系，相似将上的等价关系，相似将分成若干个相似等价类；分成若干个相似等价类；（2）某些相似类中形式最简单的矩阵是）某些相似类中形式最简单的矩阵是对角矩阵；对角矩阵；（3）矩阵的秩、行列式的值、矩阵的迹）矩阵的秩、行列式的值、矩阵的迹等都是相似关系下的等都是相似关系下的不变量不变量。n nK n nK