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1、实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化Diagonalization Theorem一、几何阐述一、几何阐述二、二、设设为实数域为实数域上的一个上的一个阶对称矩阶对称矩阵，简称其为实对称矩阵。对于阵，简称其为实对称矩阵。对于，是否存，是否存在一个在一个阶正交矩阵阶正交矩阵使得使得nATnA121nTAT=，阶阶级实对称级实对称矩阵矩阵，阶正交阶正交矩阵矩阵;T的列向量是的列向量是A的特征向量的特征向量T 的列向量组是欧氏空间的列向量组是欧氏空间的标准正交基的标准正交基AnTn121nTAT=n这就是本节要探讨的核心问题。这就是本节要探讨的核心问题。关键：关键：求求的的个个正交的单位特征向
2、量正交的单位特征向量。An定理定理实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵的特征值都是实数。注注1 实矩阵的特征值未必是实数，例如实矩阵的特征值未必是实数，例如21,233,6523,12.AIAi=+=+=,()0,0,.iiiAAI XAI=由于实对称矩阵 的特征值为实数 所以齐次线性方程组是实系数方程组 由知必有实的基础解系 从而对应的特征向量可以取实向量=由于实对称矩阵 的特征值为实数 所以齐次线性方程组是实系数方程组 由知必有实的基础解系 从而对应的特征向量可以取实向量注注2 实对称矩阵的特征向量都是实向量。实对称矩阵的特征向量都是实向量。定理定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量
3、实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。是正交的。证明证明 A，实对阵矩阵；，实对阵矩阵；、，A的两个不同的特的两个不同的特征值；征值；X、Y，A的分别对应于的分别对应于、的特征向量。则的特征向量。则YAYXAX=,于是于是TTTTTXAXXAX=)()(YXYAXXAXTTTT)()(=0)(=YXYXYXTTT 又又-0，所以，所以，即，即0=YXT0),(=YXYXT 由此得由此得 X与与Y正交。正交。YXYAXXAXTTTT)()(=0)(=YXYXYXTTT 定理定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。是正交的。定理定理对任一对任
4、一阶实对称矩阵阶实对称矩阵，存在，存在阶正交矩阵阶正交矩阵，使得，使得nAnT其中其中为矩阵为矩阵的全部特征值。的全部特征值。这是一个非常经典的证明，要求熟练掌握。这是一个非常经典的证明，要求熟练掌握。121nTAT=12,n ASchur 引理引理：阶实矩阵阶实矩阵正交相似于一个上三正交相似于一个上三角矩阵的充分必要条件是：角矩阵的充分必要条件是：的特征的特征多项式在复数多项式在复数域域中的根都是实数。中的根都是实数。AnA充分性充分性对实矩阵的阶数用归纳法对实矩阵的阶数用归纳法，显然成立。显然成立。假设结论对于假设结论对于阶实矩阵也成立，阶实矩阵也成立，来看来看阶实矩阵阶实矩阵1n=1nn
5、ASchur 引理引理：阶实矩阵阶实矩阵正交相似于一个上三正交相似于一个上三角矩阵的充分必要条件是：角矩阵的充分必要条件是：的特征的特征多项式在复数多项式在复数域域中的根都是实数。中的根都是实数。AnA11 11,1,A=112,nT=121,nnn 标准正交基11111 1121,nTTATA=1111112,nTATTA=1111111,T TI T=11110TATB=1()IAIB=122T BT为上三角矩阵12100TTTT=，那么 为正交矩阵1111122101000TATTATTT=11221010000TTB=这是一个上三角矩阵。这是一个上三角矩阵。121220TT BT=必要
6、性必要性 如果如果正交相似于一个上三角矩阵正交相似于一个上三角矩阵，那么存在正交矩阵那么存在正交矩阵使得使得由于由于和和均为实矩阵，所以均为实矩阵，所以也是一个实矩阵也是一个实矩阵。而。而与与有相同的特征值，从而有相同的特征值，从而的特征值即的特征值即为为的主对角线上元素，它们均为实数。的主对角线上元素，它们均为实数。A Q1Q AQ =QA AA 实对称矩阵对角化具体实施过程实对称矩阵对角化具体实施过程1.求出矩阵求出矩阵的全部互异的特征值；的全部互异的特征值；重重重重重重且且。2.求出属于不同特征值的全部特征向量；求出属于不同特征值的全部特征向量；A1qmq21m ，2q12mqqqn+=+=122111211,mmmqqq3.将属于同一个特征值的特征向量正交化、单位化将属于同一个特征值的特征向量正交化、单位化12m1111,q 2212,q1,mmmq 正交化正交化1111,q2212,q1,mmmq 单位化单位化1111,q2212,q1,mmmq4.记记则则211121121,mmmqqqT=2112121diag,mqmmqqTAT =