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1、如何矩阵的等价如何矩阵的等价,相似相似,合同？合同？(1)(1)A与与B等价等价:A可以经一系列初等变换得BPAQ Br(A)r(B)(A,B同型,P,Q可逆.)判断等价只需同型且秩相等.(2)(2)A与与B相似相似:P1AP B,P可逆.相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果A,B相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知A,B相似.(3)(3)A与与B合同合同(仅限于对称矩阵):C AC B(C可逆)A与B的正负正负惯性指数相同.T判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正
2、负正负惯性指数相同即可.注注:A,B合同A,B等价1011A,B相似A,B等价,例A,B 等价但不相似0101在A,B实对称的前提下,A,B相似A,B合同.【例 1】判定下列矩阵哪些等价，哪些相似,哪些合同?111110100000A 000,B 001,C 000,D 011.000000000011【解】先看等价：r(A)1,r(B)2,r(C)1,r(D)1，故A,C,D等价.再看相似：r(A)r(C)r(D)1,r(B)2,排除B，考虑A,C,D，A,C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，从而排除D仅仅考虑A,C，A的特征值为1,0,0，且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量，100A相似于对角阵C 000，从而A,C相似.000最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑C,D，C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，C的正惯性指数为1,负惯性指数为0，D的正惯性指数也为1,负惯性指数为0，C,D合同.1 1 1300【例 2】判断A 1 1 1,B 000是否等价，相似,合同,?1 1 1000【解】r(A)r(B)1，二者等价；300A为对称阵一定相似于对角阵B 000；从而A一定合同于对角阵B.000