《(5.4.1)--4.4.1可逆矩阵的定义及其性质.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(5.4.1)--4.4.1可逆矩阵的定义及其性质.pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、可逆矩阵可逆矩阵.1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作设设111 21 2,111 21 2AB=,ABBAI=.的一个逆矩阵是 的一个逆矩阵是AB定义定义:设设A是是n阶方阵。若存在阶方阵。若存在n阶方阵阶方阵B，使，使AB=BA=I 则称则称A是是可逆矩阵可逆矩阵，称，称B是是A的的逆矩阵逆矩阵。例I数数1相当于单位矩阵相当于单位矩阵，但是无论如何不能，但是无论如何不能将将写成写成1A 1IAA或或注注:可逆矩阵只对方阵有意义，但方阵未必都可逆。可逆矩阵只对方阵有意义，但方阵未必都可逆。注记：必须注意注记：必须注意矩阵的逆矩阵的逆与数域中与数域中非零元素非零元素逆逆的相似与区别。的相似与区别。
2、变换角度理解逆矩阵变换角度理解逆矩阵-1201/200201/2=变换角度理解逆矩阵变换角度理解逆矩阵-1111-10101=例例请给出一般初等矩阵的逆矩阵请给出一般初等矩阵的逆矩阵(,(),(),(,)P j i kP i cP i j1(,()(,()P j i kP j ik=1(,)(,)P i jP i j=11()()P i cP ic=,A如果是可逆矩阵如果是可逆矩阵,ABBAI=,BIB=因此=因此()CA B=()C AB=CI=.C=.ACCAI=那么那么.A那么的逆矩阵是唯一的那么的逆矩阵是唯一的性质性质,BCA如果和都是的逆矩阵如果和都是的逆矩阵性质性质（1）若）若A可
3、逆，则可逆，则也可逆，并且也可逆，并且（2）若）若A可逆，则可逆，则也可逆，且也可逆，且（3）若）若A与与B是同阶可逆矩阵，则是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且也可逆，且1A 11()AA=TA11()()TTAA=111()ABBA=（4）性质（性质（3）可以进一步推广为）可以进一步推广为（5）11111221()llA AAAAA=111,()IIkIIk=设设 A=aijnn，Aij是是|A|中元素中元素 aij的代数的代数余子式。将这余子式。将这 n2个数个数 Aij(i,j=1,2,n)按按如下方式排成一个如下方式排成一个 n 阶方阵，记作阶方阵，记作 A*，即，即=nnnnnnAAA
4、AAAAAAA212221212111称称 A*为矩阵为矩阵 A 的的伴随矩阵（伴随矩阵（Adjugate matrix）。112111222212*()TnnAnnAnnAAAAAAAAAA=111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa=111212122212ijijnnnannnAAAAAAAAAAA=例例 已知已知abAcd=则则 A 的伴随矩阵为的伴随矩阵为*dbAca=11211122221212nniininnnnAAAAAAA AAAAAAA=11121121222212 jnjnnnnjnnaaaaaaaaaaaa由行列式的性质可知，由行列式的性质可知，的第的第 行行,第第列的元素为列的元素为AA ij=+=+nkkikjninjijijAaAaAaAa12211()()()()0 Aijij=证明证明性质性质 设设A是方阵，则是方阵，则IAAAAA|*=于是于是IAAAAAA=类似地，有类似地，有,因此因此IAAA=A AAAA I=。性质性质 设设A是方阵，则是方阵，则IAAAAA|*=