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1、第5章-相似矩阵及二次型FifthChapter定义:设 A,B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足P1AP=B，则称 B 为矩阵A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似对A进行运算P1AP称为对A进行相似变换可逆矩阵P 为把A变成B的相似变换矩阵IV相似矩阵定理:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B的特征多项式相同,从而 A 和 B的特征值也相同证因A 和 B相似，所以存在可逆矩阵 P，使得 P1AP=B于是|B E|=|P1APP1(E)P|=|P1(A E)P|=|P1|A E|P|=|A E|因为12,n，为对角矩阵的n 个特征值，推论：若 n 阶矩阵A 与对角矩阵1
2、2n相似，则12,n，为A 的n个特征值.证由定理知，也就是A 的n个特征值.12,n，注：若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 的多项式(A)和B 的多项式(B)相似特别的，若 A 与对角阵相似，则多项式(A)与的多项式相似.定理:n 阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.推论:如果n阶矩阵A的 n 个特征值互不相等，则 A与对角矩阵相似.P-1AP=例判断下列矩阵能否对角化，若能，求可逆矩阵和对角矩阵.312202211A解A 的特征多项式为231222(1)211AE 因此 A 的特征值为12301.,当时，解方程组，11/21000000312202211A110011000得到对应的特征向量为1111p ,231解方程组(A-E)x=0.由212212212AE00AE x10由当时，令11/21110101P则有1000010.001PAP由推论知，p1,p2,p3线性无关，再由定理可知，A可对角化.231/211001pp ,.得到对应的线性无关特征向量谢谢，再见！