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1、 1 万变不离其宗万变不离其宗高中数学课本典型试题改编系列之必修高中数学课本典型试题改编系列之必修 2 1.原题（必修原题（必修 2 第第 15 页练习第页练习第 4 题题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称 改编改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm）（）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（）求这个几何体的表面积及体积；（）设异面直线AA与BC所成的角为，求cos 【解析】俯视图 A正视图 侧视图 ABBABCABCABC123113正视图 侧视图 俯视图 2 2PP正视图 侧视图 OOOO2222222俯视图 POO 122 1 3 22 3286 2
2、2=+=+2(cm)这个几何体的体积12 1 332ABCVSBB=3(cm)（）因为/AABB，所以AA与BC所成的角是B BC 在Rt BB C 中，22223213BCBBB C=+=+=，故33cos131313BBBC=2.原题（必修原题（必修 2 第第 28 页例页例 3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图 改编改编 1 1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm）（）画出它的直观图（不要求写画法）；（）求这个几何体的表面积和体积【解析】（）这个几何体的直观图如图所示（）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为 1cm，高为 2cm），它的上部
3、 是一个圆锥（底面半径为 1cm，母线长为 2cm，高为3cm）来源:学科网 ZXXK 所以所求表面积()22 12 1 2 1 27Scm=+=3.原题（必修原题（必修 2 第第 30 页习题页习题 1.3B 组第三题组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系.改编改编 已知直角三角形ABC，其三边分为cba,（cba）.分别以三角形的a边，b边，c边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为321,SSS和321,VVV,则它们的关系为()A.32
4、1SSS,321VVV B.321SSS,321VVV C.321SSS,321VVV=D.321SSS,321VVV=3【答案】B.【解析】aabcVcbabcS211)(31),)(=+=,222231,bcVcacS=+=,cbVbabS232331,=+=,选 B.4.原题（必修原题（必修 2 第第 32 页图像页图像）改编改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是()(1)(2)(3)(4)【答案】（1）、（4）【解析】切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4），本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型。答案（1）、（
5、4）5.原题（必修原题（必修 2 第第 37 页复习参考题页复习参考题 B 组第三题组第三题）来源来源:学学,科科,网网 改编改编 1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为60的直线共有 对.【答案】12 4【解析】计算可得共有 12 对 改编改编 2 如图正方体中，o，1o为底面中心，以1oo所在直线为旋转轴，线段1BC形成的几何体的正视图为（）AA1B1C1D1BCDOO1 (A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】选项 A、B、D 中的几何体是 圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，
6、没有其他直线，即 A、B、D 不可能，故选 C 6.原题（必修原题（必修 2 第第 37 页复习参考题页复习参考题 B 组第三题组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？改编改编 如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（）(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】选项 A、B、D 中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即 A、B、D 不可能，故选 C.7.原题（必修原题（必修 2 第第 59 页例页例
7、3）改编改编 设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面 去截此四棱锥（如右图）,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面 （）A不存在 B只有 1 个 C恰有 4 个 D有无数多 个【答案】D【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n,直线 m、n 确定了 5 一个平面 作与 平行的平面,与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面 有无数多个答案：D.8.原题（必修原题（必修 2 第第 62 页习题页习题 2.2A 组第八题组第八题）如图，直线 AA1，BB1，CC1相交于点 O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，求证：平面 ABC平面 A1
8、B1C1.改编改编 如图，直线 AA1、BB1、CC1相交于点 O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为 1，若上面三棱锥中装有高度为 0.5 的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_.【答案】1273.【解析】液体部分的体积为三棱锥体积的18，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积 9.原题（必修原题（必修 2 第第 63 页习题页习题 2.2B 组第四题组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:其中所
9、有正确命题的序号是_，为什么？(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；(4)棱 A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BFBE是定值.改编改编 如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_.(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；(4)棱 A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BFBE
10、是定值；(6)当容器任意倾A B C A 1 B 1 C 1 6 A1AB1BC1CD1DF图 41 E斜时,水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时,水面可以是五边形.（1 1）（2 2）（3 3）【解析】经分析可得答案为（【解析】经分析可得答案为（1 1），（），（2 2），（），（4 4），（），（5 5），（），（6 6），（），（7 7）10.原题（必修原题（必修 2 第第 66 页例页例 2）改编改编 如图 41，已知正四棱柱1111ABCDABC D中，底面边长2AB=，侧棱1BB的长为 4，过点B作1BC的的垂线交侧棱1CC于点E，交1BC于点F 7（）求证：1AC 平面BED
11、；（）求1AB与平面BDE所成的角的正弦值【解析】（I）如图 4-2，以 D 为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系 1AB与平面BDE所成角的正弦值为306 11.原题（必修原题（必修 2 第第 79 页复习参考题页复习参考题 A 组第十题组第十题）如图，已知平面,，且,AB PCPDC D=是垂足，试判断直线 AB 与 CD 的位置关系？并证明你的结论.改编改编 如图，已知平面,，且,AB PCPDC D=是垂足（）求证：AB 平面PCD；（）若1,2PCPDCD=，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论 8 12.原题（必修原题（必修 2 第第 79
12、 页复习参考题页复习参考题 B 组第一题组第一题）如图 5，边长为 2 的正方形 ABCD 中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将,AEDDCF分别沿,DE DF折起，使,A C两点重合于点A，求证：A DEF（2）当14BEBFBC=时，求三棱锥AEFD的体积 改编改编 如图 51，在矩形ABCD中，2,1,ABADE=是CD的中点，以AE为折痕将DAE向上折起，使D为D，且平面D AE平面ABCE（）求证：ADEB；（）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值 ABCDEFAEBDF图 5【解析】9 如图 62，作FGBD，垂足为G，则FG 平面ABD，连结AG，则FAG是直线AC与
13、平面ABD所 成 的 角 由 平 面 几 何 的 知 识 可 知12EFECFBAB=，1233EFEB=在Rt AEF中，2222 5293AFAEEF=+=+=，在Rt EBD中，FGD EFBD B=，可求得2 69FG=2 6309sin152 53FGFAGAF=直线AC与平面ABD所成的角的正弦值为3015 13.原题（必修原题（必修 2 第第 90 页习题页习题 3.2B 组第一题组第一题）已知点)2,5(),2,2(NM,点P在x轴上，且MPN为直角,求点P的坐标.改编：改编：已知点)2,5(),2,2(NM,P在x轴上，若MPN为锐角，则点P的横坐标的取值范围是_.【答案】6
14、m或1m【解析】用向量的数量积判别：0NPMP，易求答案为6m或1m.14.14.原题原题（必修（必修 2 2 第第 100100 页习题页习题 3.2 A3.2 A 组第三题）组第三题）已知)4,7(A，)6,5(B，求线段AB的垂直平分线的方 1 0 程.改编改编 1 1 已知)4,7(A关于直线l的对称点为)6,5(B，则直线l的方程是（）A.01165=+yx B.0156=yx C.01156=+yx D.0165=+yx 【答案】B.【解析】依题意得，直线l是线段AB的垂直平分线.65=ABk，561=ABlkk，AB的中点为（1，1），直线l的方程是)1(561=xy即0156=
15、yx，故选（B）.改编改编 2 2 已知圆16)4()7(22=+yx与圆16)6()5(22=+yx关于直线l对称，则直线l的方程是 .【答案】0156=yx 改编改编 3 3 求点)4,7(A关于直线0156:=yxl的对称点B的坐标.【答案】)6,5(B【解析】设),(yxB.由lAB，且AB的中点在直线l上，得=+=+0124527615674yxxy，解得=65yx，)6,5(B.15.原题（必修原题（必修 2 第第 100 页习题页习题 3.2A 组第九题组第九题）求过点)3,2(P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.改编改编 1 求过点)3,2(P，并且在两轴上的截距互为相反数的
16、直线方程是 .【答案】01=+yx或023=yx.【解析】依题意，直线的斜率为 1 或直线经过原点，直线的方程为23=xy或xy23=，即01=+yx或023=yx.1 1 改编改编 2 直线l经过点)3,2(P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l的方程.【答案】01=+yx或05=+yx.16.原题（必修原题（必修 2 第第 101 页习题页习题 3.2B 组第五题组第五题）若直线 l 沿 x 轴向左平移 3 个单位，再沿 y 轴向上平移 1 个单位后，回到原来的位置，试求直线 l 的斜率.改编：改编：若直线 l 沿 x 轴向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位后，得到的直线
17、与原来的位置在水平方向上相差 2 个单位，则原直线的斜率为 .【解析】0.84或 17.原题（必修原题（必修 2 第第 110 页习题页习题 3.3B 组第七题组第七题）已知 AO 是ABC边 BC 的中线，求证：2222|2(|)ABACAOOC+=+.改编改编 已知在三角形 ABC 中，D 是 BC 边的中点，且 AB=8,BC=8,AC=6,则 AD=【解析】34.18.原 题（必 修原 题（必 修2第第110页 习 题页 习 题3.3B组 第 八 题组 第 八 题）已 知01,01,xy求 证：22222222(1)(1)(1)(1)2 2xyxyxyxy+.改编改编 长方形 ABCD
18、 的顶点坐标是 A(0,0)，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)，P 是坐标平面上的动点，若 AP2+BP2+CP2+DP2的值最小，则点 P 的位置在()A.长方形的顶点处 B.AB 边的中点处 C.两条对角线的交点处 D.三角形 ABC 的重心处来源:学_科_网 Z_X_X_K【答案】C.【解析】设 P(x,y)，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2=x2+y2+(x-a)2+y2+(x-a)2+(y-b)2+x2+(y-b)2=4(x-a/2)2+4(y-a/2)2+a2+b2 当 P(a/2,b/2)时，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2最小，选 C.19.
19、19.原原题（必修题（必修 2 2 第第 114114 页复习参考题页复习参考题 A A 组第组第 3 3 题）题）求直线01052=yx与坐标轴围成的三角形的面积.改编改编 1 1 过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 的直线方程是 .【答案】01052=yx或02058=+yx.1 2 改编改编 2 2（2006 年上海春季卷）已知直线l过点)1,2(P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB 面积的最小值为 .【解析】设直线AB的方程为)0()2(1=kxky，则4)1()4(2421)1()4(42114421)21)(12(21=+=kkkk
20、kkkkSOAB，当 且 仅 当kk14=即21=k时取等号，当21=k时，OABS有最小值 4.改编改编 3 3 已知射线)0(4:=xxyl和点)4,6(M，在射线l上求一点N，使直线MN与l及x轴围成的三角形面积S最小.【解析】设)1)(4,(000 xxxN，则直线MN的方程为0)4)(6()6)(44(00=yxxx.令0=y得1500=xxx，211)1(101 1)1(101104)15(2100020020000+=+=xxxxxxxxxS来源:学&科&网 40211)1(21000=+xx，当且仅当11100=xx即20=x时取等号，当N为（2，8）时，三角形面积S最小.20
21、.原 题（必 修原 题（必 修 2 第第 115 页 复 习 参 考 题页 复 习 参 考 题 B 组 第 七 题组 第 七 题）设,a b c dR，求 证：对 于 任 意,p qR222222()()()()()()apbqcpdqacbd+.改 编改 编 设Rdcba,，a,b,c,d为 常 数，其 中()()03232+dcba，对 于 任 意 实 数x,()()()()的最小值为22223232+xdxcxbxa .【解析】可设 A（a，b），B（c，d），C（x，2x+3），由()()03232+dcba，知 A，B 在直线 y=2x+3两侧，()()()()的最小值为222232
22、32+xdxcxbxa|AB=()()22adbc+.21.原题（原题（必修必修 2 第第 122 页页例例 5 5）已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆4)1(22=+yx上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.1 3 改编改编 1 1 已知定点)0,3(B，点A在圆122=+yx上运动，M是线段AB上的一点，且MBAM31=，则点M的轨迹方程是（）A.9)1(22=+yx B.1)3(22=+yx C.169)43(22=+yx D.916)1(22=+yx【答案】C.【解析】设),(),(11yxAyxM.MBAM31=，),3(31),(11yxyyxx=，=yyyxxx3
23、1)3(3111，=yyxx3413411.点A在 圆122=+yx上 运 动，12121=+yx，1)34()134(22=+yx，即169)43(22=+yx，点M的轨迹方程是169)43(22=+yx，故选（C）.改编改编 2 2 已知定点)0,3(B，点A在圆122=+yx上运动，AOB的平分线交AB于点M，则点M的轨迹方程是 .改编改编 3 3 已知直线1+=kxy与圆422=+yx相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程.【解析】设),(yxP，AB的中点为M.OAPB是平行四边形，M是OP的中点，点M的坐标为)2,2(yx，且ABOM.直 线1+
24、=kxy经 过 定 点)1,0(C，CMOM，0)12(2)2()12,2()2,2(2=+=yyxyxyxCMOM，化简得1)1(22=+yx.点P的轨迹方程是1)1(22=+yx.22.原 题（必 修原 题（必 修2第第129页 例页 例3）改 编）改 编 若 圆042222=+mmxyx与 圆08442222=+mmyxyx相切，则实数m的取值集合是 .【解析】圆4)(22=+ymx的圆心为)0,(1mO，半径21=r，圆9)2()1(22=+myx的圆心为)2,1(2mO，半径32=r，且两圆相切，2121rrOO+=或1221rrOO=，5)2()1(22=+mm或 1 4 1)2(
25、)1(22=+mm，解得512=m或2=m，或0=m或25m=，实数m的取值集合是122,0,255.23.原题（必修原题（必修 2 第第 130 页例页例 4）改编改编 某圆拱型彩虹桥，跨度为 20 米，高为 4 米，要用 19 根铁索等距离分布悬挂桥面，则其中一侧第 m 根铁索的长度 f(m)=_米.【解析】答案为2214.5(10)m10.5.24.24.原题（必修原题（必修 2 2 第第 132132 页习题页习题 4.2 A4.2 A 组第三题）组第三题）求以)3,1(N为圆心，并且与直线0743=yx相切的圆的方程.改编改编 1 1（2006 年重庆卷）过坐标原点且与圆025242
26、2=+yxyx相切的直线的方程为（）A.xy3=或xy31=B.xy3=或xy31=C.xy3=或xy31=D.xy3=或xy31=【答案】A.改编改编 2 2（2006 年湖北卷）已知直线0125=+ayx与圆0222=+yxx相切，则a的值为 .【解析】圆1)1(22=+yx的圆心为（1，0），半径为 1，1125522=+a，解得8=a或18=a.改编改编 3 3 求经过点)5,0(A，且与直线02=yx和02=+yx都相切的圆的方程.【解析】设所求圆的方程为222)()(rbyax=+，则=+=+rbabarba5252)5(222，解得=531rba或=55155rba，圆的方程为5
27、)3()1(22=+yx或125)15()5(22=+yx.25.25.原题（必修原题（必修 2 2 第第 132132 页练习第三题）页练习第三题）某圆拱桥的水面跨度 20m，拱高 4m.现有一船宽 10m，水面以上高 3m，这条船能否从桥下通过？1 5 改编改编 某圆拱桥的水面跨度是 20m，拱高为 4m.现有一船宽 9m，在水面以上部分高 3m，故通行无阻.近日水位暴涨了 1.5m，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低 m时，船才能通过桥洞.（结果精确到 0.01m）.26.原题（必修原题（必修 2 第第 133 页习题页习题 4.2A 组第九题组第九题）求圆2240 xy+=
28、与圆2244120 xyxy+=的公共弦的长.改编改编 两圆 C1：x2+y2-1=0 和 C2：x2+y2-8x+12=0 的公切线长为_.【解析】C1ABC2C1C2DABD(1)(2)C1：x2+y2=1，C2：（x-4）2+y2=4，|C1 C2|=4 图（1）：|AB|=22)12(4=15；图（2）：|AB|=22)12(4+=7，即公切线长15和7.27.原题（必修原题（必修 2 第第 133 页习题页习题 4.2B 组第组第 2 题）题）已知点)2,4(),6,2(),2,2(CBA,点P在圆422=+yx上运动，求222PCPBPA+的最大值和最小值.改编改编 1 已知点)2
29、,4(),6,2(),2,2(CBA,点P坐标满足422+yx，求222PCPBPA+的最大值和最小值.1 6 改编改编 2 2 已知)0,2(A，)0,2(B，点P在圆4)4()3(22=+yx上运动，则22PBPA+的最小值是 .【解析】设),(yxP，则828)(2)2()2(222222222+=+=+=+OPyxyxyxPBPA.设圆心为)4,3(C，则325min=rOCOP，22PBPA+的最小值为268322=+.28.原题（必修原题（必修 2 第第 133 页习题页习题 4.2B 组第组第 3 题）题）已知圆x2+y2=4，直线 l:y=x+b.当 b 为何值时，圆x2+y2
30、=4上恰有 3 个点到直线l的距离都等于 1.改编改编 已知圆x2+y2=4,直线 l:y=x+b.圆上至少有三个点到直线 l 的距离都是 1，则 b 的取值范围是_.【解析】2,2 29.原题（必修原题（必修 2 第第 144 页复习参考题页复习参考题 B 组第组第 2 题）题）已知点(,)M x y与两个定点1M，2M距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑1m=和1m 两种情形）.改编改编 1 已知两定点)0,2(A，)0,1(B，如果动点P满足PBPA2=，则点P的轨迹所包围的面积等于（）A.B.4 C.8 D.9【答案】B.【解 析】设 点P的 坐 标 是)
31、,(yx.由PBPA2=，得2222)1(2)2(yxyx+=+，化 简 得4)2(22=+yx，点P的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆，所求面积为4，故选 B.改编改编 2 由动点P向圆122=+yx引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程是 .【解析】设),(yxP.APB=600，OPA=300.APOA，22=OAOP，222=+yx，1 7 化简得422=+yx，动点P的轨迹方程是422=+yx.改编改编 3 3（2006 年四川卷）已知两定点)0,2(A，)0,1(B，如果动点P满足PBPA2=，则点P的轨迹所包围的面积等于（）A.B.4
32、C.8 D.9【答案】B.【解析】设动点P的坐标为),(yxP.由)0(=aaPBPA，得aycxycx=+2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=+acxacyaxa.当1a时，化简得01)1(222222=+cxaacyx，整理得222222)12()11(=+aacycaax；当1=a时，化简得0=x.所以当1a时，P点的轨迹是以)0,11(22caa+为圆心，122aac为半径的圆；当1=a时，P点的轨迹是y轴.30.原题（必修原题（必修 2 第第 144 页复习参考题页复习参考题 B 组第组第 3 题）题）求由曲线22|xyxy+=+围成的图形的面积.改编改编 由曲线222|2|xyxy+=+围成的图形的面积为_.【解析】围成的图形如图，面积为84+.