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1、-专题三：直线与方程2017版高中数学课本典型试题改编系列之必修2（原卷版）3.1.1 直线的倾斜角与斜率1.【原题】（必修2第85页例题1）如图，已知A(3,2)，B(4,1)，C(0，1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角【解析】直线AB的斜率；直线BC的斜率；直线CA的斜率. 由kAB0及kCA0知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角； 由kBC0知，直线BC的倾斜角为钝角【原题解读】（1）知识上；直线斜率的概念及运算公式；（2）思路方法上；由斜率的概念，根据题目的条件可运用：1. ； 2. ，算出直线的斜率。（3）考察概念理解和运算能力。变式1. 【201
2、6贵州省遵义航天高中】若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据斜率计算公式得，,解得。故选A。变式2. 【2016成都七中】过不重合的，两点的直线倾斜角为，则的取值为（）A B C或 D或【答案】B【解析】 由题根据两点斜率公式可得；，解得；或，检验当时，两点重合，当时，满足条件。变式3. 【2016太原五中】直线的倾斜角的取值范围是（ ）A， B，C0，（， D，【答案】B【解析】直线可化为：，倾斜角，0, ),则tan=,因为即tan-1,所以.所以选B.变式4. 【2016山西省康杰中学】在平面直角坐标系中,已知,如果直线与线段总是相交,那么实数
3、的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】法一：因为直线与线段相交，所以落在的两侧， 或在上，所以有，即，解得或，所以实数的取值范围是，故选D.来源:学科网ZXXK法二：也可以通过图形，看到过定点的动直线与定线段有公共点，将边界值求出，再观察直线转动的方向，从而确定出其直线斜率的取值范围.【变式题组反思】1. 考查知识点：直线倾斜角和斜率的概念；2考查的方式：高考中一般不单独考察。3命题的思路：通常立足与倾斜角和斜率概念的基础上，与方程不等式和三角函数相结合4题目变化方向：以基本概念（倾斜角和斜率）为背景，向综合性和体现能力的方向变化。如将斜率与方程，函数及三角函数相联系，凸
4、显了数学学科内知识间的内在即时联系，能较好的考查学生的综合知识运用能力. 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1.【原题】（必修2第87页例题4）已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明【解析】：AB边所在直线的斜率kAB，CD边所在直线的斜率kCD，BC边所在直线的斜率kBC，DA边所在直线的斜率kDA.因为kABkCD，kBCkDA，所以ABCD，BCDA.因此，四边形ABCD是平行四边形2.【原题】（必修2第89页例题6）已知A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断ABC的形状 【解析】：
5、AB边所在直线的斜率kAB，BC边所在直线的斜率kBC2.由kABkBC1，得ABBC，即ABC90. 所以ABC是直角三角形【原题解读】（1）知识上；由直线斜率判断两直线平行与垂直；（2）思路方法上；由直线的斜率，根据结论：1.； 2. ，推出两直线的位置关系。（3）考察推理能力和运算能力。变式1. 【2016兰州联考】已知直线l1过点A(1，1)和B(2，1)，直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，若l1l2，则a的值为()A2 B2 C.0 D. 【答案】A【解析】l1，l2的斜率分别为2，a，由l1l2， 可知a2.变式2. 【2011浙江高考】若直线x2y50与直线2xmy60互相
6、垂直，则实数m_【答案】1【解析】直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，12(2)m0，即m1.变式3.【2013辽宁高考】已知点，若为直角三角形，则必有（ ）A B C D【答案】C.【解析】显然角O不能为直角（否则得不能组成三角形）；若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以；若B为直角，则利用得，所以选C.变式4【2012浙江高考】设aR,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为直线l1：x+2y-1=0与直线l2 ：x+2y+4=0平行，而当
7、直线l1：ax+2y-1=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行时，只要满足即可，此时，或1，所以可知“a1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件。【变式题组反思】1. 考查知识点：根据两条直线的斜率判定这两条直线的平行和垂直；2考查的方式：高考中一般为选择题。3命题的思路：根据两条直线斜率判断直线平行或垂直，常与方程和三角函数相结合4题目变化方向：以基本结论为基础，向综合性和体现能力的方向变化。如将斜率与方程，函数及三角函数相联系，凸显了数学学科内知识间的内在即时联系，能较好的考查学生的综合知识运用能力及分类思想. 5.基础回顾：
8、两条直线的位置关系斜截式一般式与相交 与垂直来源:学科网与平行且或与重合且注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况【数学文化4】魔术师的地毯一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做”秋先生拿出他事
9、先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图1.2）的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米长2.1米魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长和宽都是1.2米，只是上面烧了一个烧饼大小（约0.01平方米）的窟窿秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米敬师傅很为难，觉得这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到秋先生又
10、拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图1.4的尺寸将地毯剪开，再按图1.5的样子拼在一起缝好敬师傅照着做了，结果真的得到了一块长和宽仍是1.2米的地毯，而原来的窟窿却 消失了魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如10：1）缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密例如，按缩小后的尺
11、寸，剪拼前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？数学工作者在研究和解决问题时，通常采用另一种方法数学计算，即通过精细的数学计算来发现剪拼前后的面积差出在何处3.2 直线的方程来源:学科网1.【原题】（必修2第98页例题5）已知直线经过点A(6，4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程【解析】：经过点A(6，4)，斜率等于的直线的点斜式方程是y4(x6)化成一般式，得4x3y120.注意：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一
12、般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式2.【原题】（必修2第98页例题6）把直线l的一般式方程x2y60化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形【解析】：将原方程移项，得2yx6，两边除以2，得斜截式yx3.因此，直线l的斜率k，它在y轴上的截距是3.在直线l的方程x2y60中，令y0，得x6，即直线l在x轴上的截距是6.由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(6,0)，B(0,3)，过点A，B作直线，就得直线l的图形如下图【原题解读】（1）知识上；直线的点斜式方程、一般式方程及截距的概念；（2）思路方法上；由题目给出的条件求出直线的方程，一般思路为
13、：1.给出条件为； ；可选点斜式即： 2. 给出条件为； ；可选两点式即： （3）考察运算能力和分析能力。【变式网络】变式1. 【2015银川一中】倾斜角为135，在轴上的截距为的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线的斜率为，所以满足条件的直线方程为，即，选D.变式2. 【2016成都七中】过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（ ）A. B. C. 或 D. 或 【答案】D变式3. 【2013安徽高考】直线过点过点A(-1,2)且垂直于直线2x-3y+40的直线方程为( )A3x+2y-10 B3x+2y+70C2x3y50 D2x2y80【答案】A【解析
14、】由题意可得斜率为即，选A。变式4.【2016衡水金卷】已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当此四边形的面积最小时，实数_；【答案】【解析】由题，知直线l1，l2恒过定点P(2，2) 当0a2时，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形的面积S，当时，S的值最小，故实数a的值为【变式题组反思】1. 考查知识点：倾斜角与斜率的概念，两直线的位置关系，直线方程的五种形式；2考查的方式：高考中一般为解答题的一部分。3命题的思路：根据已知条件求直线方程4题目变化方向：以求直线方程为
15、基本问题，向综合性和体现能力的方向变化。如直线方程与坐标轴围成的面积，及不等式和三角函数相联系，凸显了数学学科内知识间的内在即时联系，能较好的考查学生的综合知识运用能力. 来源:Zxxk.Com3. 【原题】（必修2 第100页习题3.2 A组第3题）已知，求线段的垂直平分线的方程.【解析】 已知，由中点坐标公式可得中点的坐标为；，即 ， 又，则垂直平分线所在直线的为； 代入点斜式方程得；，化为一般式方程得；。 【原题解读】（1）知识上；中点坐标公式，斜率与直线垂直，点斜式方程；（2）思路方法上；由中点坐标公式及垂直关系，分别求出直线上的点和斜率，再由点斜式方程求出；（3）考察分析能力和运算能
16、力及对称思想。【变式网络】变式1. 【2016兰州联考】已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】 是的中垂线， 又的中点是， 直线的方程为变式2. 【2011浙江高考】直线关于直线对称的直线方程是（） 【答案】D变式3.【2016衡水金卷】已知点，直线：，直线关于点对称的直线的方程为 .【答案】【解析】方法1：由题意可知，设的方程为，由题意可知,解得或(舍)，所求直线的方程为.方法2：在直线上任取一点，其关于点的对称点必在直线上，即，即，所求直线的方程为.变式4. 【2015济南模拟】光线从出发，经直线反射，反射光线经过点，反射光线所在的直线方程为 .【答案
17、】【变式题组反思】、1. 考查知识点：中点坐标公式，两直线的位置关系及直线方程；2考查的方式：高考中一般为选择题或为解答题的一部分；3命题的思路：以求直线方程为主线，常常与轴对称和中心对称的几何性质相联系；4题目变化方向：以求直线方程为基本问题，向综合性和体现能力的方向变化。如与光的反射问题，凸显了学科间的综合性，能较好的考查学生的综合知识运用能力及方程思想和数形结合思想. 5基础知识回顾： 对称问题（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则3.3 直线的交点坐标与距离公式1.【原题】（必修2第107页例题6）已知点A(1,3)，B(3,1)，C(
18、1,0)，求三角形ABC的面积【解析】如图，设AB边上的高为h，则SABC|AB|h. |AB|2，AB边上的高h就是点C到AB的距离AB边所在直线的方程为，即xy40.点C(1,0)到xy40的距离为h，因此，SABC25.【原题解读】（1）知识上；两点之间的距离公式及点到直线的距离公式，直线方程；（2）思路方法上；已知三角形三个顶点的坐标，可先运用两点间的距离公式求出边长， 再写出它的直线方程，最后用点到直线的距离求出面积；（3）考察分析能力和运算能力。注意：求点到直线距离时；若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式
19、仍然适用【变式网络】变式1. 【2011北京高考】已知点A(0,2)，B(2,0)若点C在函数y的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4 B3 C2 D1【答案】A【解析】设点C(t，t2)，直线AB的方程是xy20，|AB|2，且SABC2.则ABC中AB边上的高h满足方程2h2，即h.由点到直线的距离公式得 ， t2t22或者t2t22，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个变式2. 【2016上海高考】已知平行直线，则的距离为_【答案】【解析】方法一；因为平行线间的距离处处相等，可在直线上取点（0,1），则由点到直线的距离公式可得；方法二；利用两平行线间的距
20、离公式得；变式3. 【2013江苏高考】平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 .【答案】-1，变式4. 【2016银川一中】直线：关于点对称的直线的方程为 .【答案】【解析】由题意可知，设的方程为，由题意可知,解得或(舍)，所求直线的方程为；【变式题组反思】1. 考查知识点：两点间的距离公式，点到直线的距离公式；2考查的方式：高考中一般为选择题或为解答题的一部分；3命题的思路：以距离问题为中心，常常与方程，函数的最值和不等式相联系；4题目变化方向：以求距离为基本问题，向综合性和体现能力的方向变化。如与方程函数，不等式，向量联系，凸显了数学
21、知识间的综合性，能较好的考查学生的综合知识运用能力及方程思想和分类思想. 5基础知识回顾： 距离公式（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|（2）点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d（3）两条平行线AxByC10与AxByC20(C1C2)间的距离d【数学文化5】笛卡尔与解析几何笛卡尔是法国伟大的数学家、哲学家和物理学家. 1596年5月31日他出生在法国都兰的贵族家庭，自幼丧母，体弱多病，8岁入拉弗来什公学读书.教师考虑到他的特殊情况，允许他每天早上晚起多睡.但笛卡尔利用这段时间进行晨读，并养成善于思考的习惯.传说笛卡尔是躺在床上观察虫子在
22、天花板上爬行的位置，激发了灵感，使他产生了坐标的概念.笛卡尔博览群书，曾自述：“别人学的，我都学了.我并不以此为满足，那些认为最奇怪，最不寻常的有关各种科学的书，凡是我能搞到的，我都要把它们读完.”他有好的思考习惯，每当读书时，总是把书拿来先弄清作者的主要意图，随之读完开头的部分就细细品味，并力求得出下面的结论.1612年他入普瓦界大学攻读法学，四年后获博士学位，后去巴黎当律师.1618年参军，部队到荷兰南部的小城布勒达时，一次巧遇街头小报上在征解数学难题，笛卡尔成功的应解，这使他对数学发生兴趣，并坚定他终身研究数学的决心.1619年11月部队到达多瑙河上的一个小镇时，他不断思考怎样把代数应用
23、到几何中去.他曾说：“我想去寻求一种新的，包含两门学科的好处，而又没有它们缺点的方法.”他在致力研究数学中一门完全崭新的领域，这个领域后来被牛顿称之为解析几何.从笛卡尔的几何学中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想，笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系。x，y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面
24、建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。这里可以引用法国著名数学家拉格朗日的一段话：“只要代数与几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但当这两门科学结合在一起成为伴侣时，他们就互相吸取新鲜的活力，从而以快速的步伐走向完善.”解析几何的创立，开始了用代数方法解决几何问题的新时代.从古希腊时起，在西方数学发展过程中，几何学似乎一直是至高无上的.一些代数问题，也都要几何方法解决.
25、解析几何的产生，改变了这种传统，在数学思想上可以看作是一次飞跃.代数方程和曲线、曲面联系起来. 解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，”【变式训练3】1【2016兰州模拟】直线xsin y20的倾斜角的取值范围是 ()A0，) B0，)C0， D0，(，)【答案】B【解析】设题中直线的倾斜角为，则有tan sin ，其中sin 1, 1
26、又0，)，所以0或0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0，1) B. C. D.【答案】B【解析】 (1)当直线yaxb与AB、BC相交时(如图)，由得yE，又易知xD，|BD|1，由SDBE得b.图图(2)当直线yaxb与AC、BC相交时(如图)，由SFCG(xGxF)|CM|得b1 (0a0恒成立 ，b，即b.故选B.7. 【2012浙江高考】若直线与直线互相垂直，则实数=_.来源:【答案】1【解析】利用直线与直线垂直的充要条件:，可得；由可得. K8【2014四川高考】设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_【答案】59.【2013全国1】若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是： 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【答案】【解析】两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，来源:Z*xx*k.Com所以直线的倾斜角等于或。10.【2013江西高考】设直线系,对于下列四个命题： A中所有直线均经过一个定点 B. 存在定点不在中的任一条直线上来源:学科网 C对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上 D中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）【答案】B C【精品文档】第 16 页