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1、第二章第二章 有导体时的静电场有导体时的静电场 在静电场中引入导体，在静电场中引入导体，讨论静电场和导体之间的讨论静电场和导体之间的相互作用和相互影响相互作用和相互影响。在静电场中引入导体后，将引起在静电场中引入导体后，将引起静电感应现象静电感应现象，在导体的表面上出现等值异号的感应电荷，感应电荷在导体的表面上出现等值异号的感应电荷，感应电荷的出现又反过来影响原有的静电场。的出现又反过来影响原有的静电场。2.1 静电场中的导体静电场中的导体一一 导体导体 1、导体的分类（按是否带电）、导体的分类（按是否带电）（1）带电导体：）带电导体：所带总电荷不为零所带总电荷不为零。（2）中性导体：）中性导
2、体：所带总电荷为零。所带总电荷为零。（3）孤立导体：）孤立导体：与其它物体距离足够远的导体。与其它物体距离足够远的导体。“足够远足够远”指其它物体的电荷在该导体上激发的场强指其它物体的电荷在该导体上激发的场强小到可以忽略。小到可以忽略。2、导体（金属导体）的特点、导体（金属导体）的特点（1）金属导体中具有大量的自由电子。）金属导体中具有大量的自由电子。（2）静电感应）静电感应如：如：导体导体B放入点电荷放入点电荷A产生产生的电场中，的电场中，B中的自由电子在中的自由电子在电场作用下向左移动，结果电场作用下向左移动，结果B的左端带负电，右端带正电。的左端带负电，右端带正电。定义：定义：导体导体B
3、上的电荷在电场力作用下重新分布的上的电荷在电场力作用下重新分布的这种现象称为静电感应。这种现象称为静电感应。二二 静电平衡静电平衡1、静电平衡状态、静电平衡状态 定义：当定义：当导体中的自由电子不作宏观运动导体中的自由电子不作宏观运动（没有电（没有电 流）时，就说导体处在静电平衡的状态。流）时，就说导体处在静电平衡的状态。注意：注意：（1）导体的）导体的静电平衡状静电平衡状态是相对的态是相对的，可以由于外部条件，可以由于外部条件的变化而受到破坏，但在新的条的变化而受到破坏，但在新的条件下又将达到新的平衡状态。如件下又将达到新的平衡状态。如在孤立导体在孤立导体B附近放一带电体附近放一带电体A（如
4、图）。（如图）。（2）静电场中有导体存在时，）静电场中有导体存在时，电场的分布和电荷的电场的分布和电荷的分布相互影响、制约分布相互影响、制约，必须满足一定的条件，导体才，必须满足一定的条件，导体才能达到静电平衡。能达到静电平衡。一个电中性的导体一个电中性的导体，在周围没有带电体时，它的，在周围没有带电体时，它的内部及表面上净电荷的体密度为零，从而内部各点场内部及表面上净电荷的体密度为零，从而内部各点场强为零，这是一种最简单的静电平衡状态（强为零，这是一种最简单的静电平衡状态（如一个孤如一个孤立的导体立的导体B）。）。2、静电平衡的条件、静电平衡的条件 P43 导体内部各点场强为零。导体内部各点
5、场强为零。说明说明：导体内处处导体内处处（1）此条件为充分必要条件）此条件为充分必要条件 必要性：必要性：如果达平衡，则导体内部处处如果达平衡，则导体内部处处 反证法证明反证法证明：如果：如果则在则在的地方必定的地方必定是就不是静电平衡。换句话说，导体达到平衡时，其是就不是静电平衡。换句话说，导体达到平衡时，其有自由电荷移动有自由电荷移动（因自由电荷受力因自由电荷受力于于内部必定处处内部必定处处充分性：充分性：导体内处处导体内处处时，导体达到静电平衡。时，导体达到静电平衡。用电动力学中静电场边值问题的唯一性定理证明，用电动力学中静电场边值问题的唯一性定理证明，这里略。这里略。（2）“内部各点内
6、部各点”指导体内部的指导体内部的“宏观点宏观点”（即物（即物理无限小体积元），对于微观的点，比如电子附近的理无限小体积元），对于微观的点，比如电子附近的一个几何点，不一定满足一个几何点，不一定满足（3）此条件在电荷不受）此条件在电荷不受非静电力非静电力的情况下成立的情况下成立 如果如果有非静电力存在有非静电力存在，为了达到静电平衡，导体内，为了达到静电平衡，导体内部某些点的场强恰恰不能为零，以便抵消非静电力的部某些点的场强恰恰不能为零，以便抵消非静电力的作用（由化学原因引起的作用（由化学原因引起的“化学力化学力”，核子间作用力，核子间作用力等都为非静电力）。等都为非静电力）。更恰当的表述：更恰
7、当的表述：导体内部可移动的电荷所受的一切导体内部可移动的电荷所受的一切力的力的合力为零合力为零。3、静电平衡时导体的性质、静电平衡时导体的性质 P43 BA（1）导体是等势体，表面是等势面。）导体是等势体，表面是等势面。在导体中取任意两点在导体中取任意两点A、B，沿，沿A、B作任一路径，沿此路径做场强积分得作任一路径，沿此路径做场强积分得 而而A、B是任意的点，所以导体处于静电平衡时，导是任意的点，所以导体处于静电平衡时，导体内部各点和表面各点的电势均相等，即导体为等势体内部各点和表面各点的电势均相等，即导体为等势体，表面为等势面。体，表面为等势面。（2）导体内部没有电荷，电荷只能分布在表面上
8、。）导体内部没有电荷，电荷只能分布在表面上。由高斯定理得面内由高斯定理得面内q=0，即内部无净，即内部无净所以电荷所以电荷电荷，电荷体密度电荷，电荷体密度只能分布在表面上。只能分布在表面上。注意：注意：上述证明方法不适用于表面上的点，如上述证明方法不适用于表面上的点，如B点，点，绕绕B点作高斯面，面作得再小也有一部分在导体外，此点作高斯面，面作得再小也有一部分在导体外，此当然当然q不一定为零。实际上，不一定为零。实际上，时面上不一定处处时面上不一定处处导体内部导体内部q=0，则电荷必分布在表面，即，则电荷必分布在表面，即 在导体内任取一点在导体内任取一点A，围绕，围绕A点作点作一高斯面，高斯面
9、上任一点一高斯面，高斯面上任一点 （3）在导体外，）在导体外，紧靠导体表面的点紧靠导体表面的点的的场强方向场强方向与导与导体表面垂直，体表面垂直，场强大小场强大小与导体表面对应点的电荷面密与导体表面对应点的电荷面密度成正比。度成正比。场强方向（表面附近的点）场强方向（表面附近的点）由电场线与等势面垂直出发，可知导体表面附近点由电场线与等势面垂直出发，可知导体表面附近点的场强与表面垂直。的场强与表面垂直。场强大小场强大小 在导体表面外紧靠导体表面在导体表面外紧靠导体表面则则取一点取一点P，过，过P点作导体表面的点作导体表面的外法线方向单位矢外法线方向单位矢为为在在方向的投影，方向的投影，可正可负
10、。可正可负。，以，以过过P点取一小圆形面元点取一小圆形面元为底作一圆柱形为底作一圆柱形在导体内部。有在导体内部。有 高斯面，圆柱面的另一底高斯面，圆柱面的另一底 可见：可见：导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比，且面密度成正比，且无论场和电荷分布怎样变化，这个关无论场和电荷分布怎样变化，这个关系始终成立系始终成立。是是场场中全部中全部电电荷荷贡贡献的合献的合场场强强，的的贡贡献。献。并非只是高斯面内电荷并非只是高斯面内电荷 一般不谈导体表面上的点的场强一般不谈导体表面上的点的场强 导导体内部体内部表面外附近表面外附近没提表面上的。没提表面上的
11、。电磁学中的点、面均为一种物理模型，有了面模型电磁学中的点、面均为一种物理模型，有了面模型这一概念，这一概念，场强在带电面上有突变场强在带电面上有突变（P23小字），如小字），如果不用面模型，突变就会消失。但不用面模型，讨论果不用面模型，突变就会消失。但不用面模型，讨论问题又太复杂，所以只谈问题又太复杂，所以只谈“表面附近表面附近”而不谈表面上。而不谈表面上。三三 带电导体所受的静电力带电导体所受的静电力 在导体表面任取一面元在导体表面任取一面元其上面电荷密度为其上面电荷密度为因为因为取得很小，可视为点电荷，故面元受力为取得很小，可视为点电荷，故面元受力为 是除是除上的电荷以外，上的电荷以外，
12、其余电荷在面元处所产生的其余电荷在面元处所产生的电场。电场。在所取面元在所取面元附近取两点附近取两点P、P，则，则 根据叠加原理，有根据叠加原理，有（1）对图对图中的中的P点，点，上的电荷在上的电荷在P点所产生的场强，且点所产生的场强，且 均垂直于均垂直于导导体表面。体表面。也必垂直于也必垂直于导导体表面。体表面。即三矢量即三矢量平行共平行共线线。（2）对于图中的）对于图中的P点点 上的电荷在上的电荷在P点点产产生的生的场场强强 而而 单单位面元所受的力位面元所受的力为为 例例1(补充补充)：习题习题2.1.1(不讲不讲)解：解：利用上面的结果，球面上某面元所受的力利用上面的结果，球面上某面元
13、所受的力 利用对称性知，带有同号电荷的球面所受的力是沿利用对称性知，带有同号电荷的球面所受的力是沿x轴方向。轴方向。右半球所受的力右半球所受的力四四 孤立导体形状对电荷分布的影响孤立导体形状对电荷分布的影响 前面给出了导体表面附近点的电荷密度和附近点场前面给出了导体表面附近点的电荷密度和附近点场强的对应关系，它并不能告诉我们在导体表面上电荷强的对应关系，它并不能告诉我们在导体表面上电荷究竟是怎样分布的。定量地研究这一问题比较复杂。究竟是怎样分布的。定量地研究这一问题比较复杂。下面作定性的说明。下面作定性的说明。1、电荷在导体表面的分布不仅与其自身形状有关，、电荷在导体表面的分布不仅与其自身形状
14、有关，而且与外界条件也都有关。而且与外界条件也都有关。孤立孤立带电导带电导体体的分布由自身决定的分布由自身决定 一个一个球形的球形的带电导带电导体体，由球面的，由球面的对对称称性知，性知，电电荷在球面上荷在球面上应应均匀分布均匀分布=常数常数带电导带电导体体处处于静于静电场电场中中，的分布与外界有关的分布与外界有关非非对对称分布，但仍有称分布，但仍有 2、对孤立导体，、对孤立导体，电荷分布电荷分布有如下定性规律有如下定性规律 在孤立导体表面，向外突出的地方（曲率为正且较在孤立导体表面，向外突出的地方（曲率为正且较大），电荷较密，表面比较平坦的地方，电荷较疏，向大），电荷较密，表面比较平坦的地方
15、，电荷较疏，向里凹陷的地方（曲率为负）电荷最疏。里凹陷的地方（曲率为负）电荷最疏。尖端处尖端处E大，平坦处次之，凹陷的地方大，平坦处次之，凹陷的地方E最小。最小。由由知知图图2-5给出了由实验测得的尖端导体的等势面、电场给出了由实验测得的尖端导体的等势面、电场线及电荷分布图。线及电荷分布图。说明说明 （1）电荷分布的定性规律，可以很好地解释尖端放）电荷分布的定性规律，可以很好地解释尖端放电现象。电现象。由于尖端附近场强大，空气中的带电离子在强电由于尖端附近场强大，空气中的带电离子在强电场作用下剧烈运动，离子在运动中与空气分子发生碰场作用下剧烈运动，离子在运动中与空气分子发生碰撞，使空气分子电离
16、，产生大量新离子，该处空气成撞，使空气分子电离，产生大量新离子，该处空气成为导体。同时，离子与空气分子碰撞时，使空气分子为导体。同时，离子与空气分子碰撞时，使空气分子处于激发状态而产生光辐射，此即尖端放电现象。处于激发状态而产生光辐射，此即尖端放电现象。（2）电荷分布的定性规律说明：尖端处，电荷面密）电荷分布的定性规律说明：尖端处，电荷面密度大，但这度大，但这不是一个绝对的结论不是一个绝对的结论，也有例外的情形。，也有例外的情形。五五 导体静电平衡问题的讨论方法导体静电平衡问题的讨论方法1、讨论讨论真空中静真空中静电场电场：由：由电电荷分布求荷分布求场的性质：由高斯定理、环路定理决定场的性质：
17、由高斯定理、环路定理决定 2、有导体存在时的静电场，出现静电感应现象，、有导体存在时的静电场，出现静电感应现象，最后达到静电平衡。最后达到静电平衡。并且并且 推出的推出的此此时时要定量要定量计计算算，在普通物理范，在普通物理范围围内很困内很困难，故在此作定性讨论。实际上难，故在此作定性讨论。实际上把把静电场的性质定性静电场的性质定性结论结论得讨论方法：得讨论方法：为电场线的两个性质为电场线的两个性质，结合结合静电平衡时静电平衡时 如如P4848小字部分。小字部分。（两个相距很近的球形导体，曲（两个相距很近的球形导体，曲率半径相同但电荷非均匀分布，这是一例外情形）率半径相同但电荷非均匀分布，这是
18、一例外情形）静电场的性质静电场的性质+（结合）（结合）静电平衡的性质静电平衡的性质 =讨论静电场中的导体（讨论方法）讨论静电场中的导体（讨论方法）例题例题4：例题例题5：例题例题6：P51-53 为小字部分，选为小字部分，选看一下。看一下。例题例题1：例题例题2：例题：例题3：P49-51 自学六六 平行板导体组例题平行板导体组例题 例例2（补充）（补充）：P53 例例1的前半部分。的前半部分。证明：对于两个无限大带电平板导体来说：（证明：对于两个无限大带电平板导体来说：（1）相向的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相反；相向的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相反；（2）相背的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相）相背的两面上，电荷面密度总是大小相等符号相同。同。证明：证明：（1）平板导体所带电荷分布于表面，因为）平板导体所带电荷分布于表面，因为无限大，所以均匀分布，设无限大，所以均匀分布，设1、2、3、4面分别带电荷面分别带电荷面密度为面密度为选取如图的高斯面，有选取如图的高斯面，有 又又 （2）在导体内任取一点）在导体内任取一点P（任意的）（任意的）如果如果P点在点在导导体外，如体外，如图图中的中的P点，点，则则 如果如果P点在点在导导体外，如体外，如图图中的中的P点，点，则则 P53 例例1，P54 例例2：自学。自学。习题：习题：2.1.1；2.1.4