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1、数列通项的求法数列通项的求法 数列是高中代数的重要内容之一，也是初数列是高中代数的重要内容之一，也是初数列是高中代数的重要内容之一，也是初数列是高中代数的重要内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点，因而在历年的等数学与高等数学的衔接点，因而在历年的等数学与高等数学的衔接点，因而在历年的等数学与高等数学的衔接点，因而在历年的高考试题中占有较大的比重，在这类问题中，高考试题中占有较大的比重，在这类问题中，高考试题中占有较大的比重，在这类问题中，高考试题中占有较大的比重，在这类问题中，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点。求数列的通项往往是解题的突破口、关键点。求数列的通项往往是解题的突破口、关
2、键点。求数列的通项往往是解题的突破口、关键点。一、一、观察法观察法观察法观察法就是观察数列特征，横向就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项看各项之间的结构，纵向看各项与项数与项数n的内在联系。的内在联系。适用于一些较简单、特殊的数列。适用于一些较简单、特殊的数列。例例1 写出下列数列的一个通项写出下列数列的一个通项公式公式an：，1 1，解出答案来解出答案来解出答案来解出答案来解：解：解：解：注意分母分别是注意分母分别是注意分母分别是注意分母分别是 2 22 2，2 23 3，2 24 4，2 25 5，分子比，分子比，分子比，分子比分母少分母少分母少分母少1 1，故故故故 由奇数
3、项特征和偶数项特征得：由奇数项特征和偶数项特征得：由奇数项特征和偶数项特征得：由奇数项特征和偶数项特征得：an=二、二、逐差求和法逐差求和法若数列若数列an满足满足an+1-an=f(n)(nN)，其中其中f(n)是可求和数列，那么可用逐项是可求和数列，那么可用逐项作作差后累加的方法求差后累加的方法求an。适用于差为特殊数列的数列。适用于差为特殊数列的数列。例例2 求数列求数列1，3，7，13，21，的一个通项公式。的一个通项公式。解出答案来解出答案来例例3 在数列在数列an中，中，a1=1，an+1=2an+2x3n，求通项求通项an。解出答案来解出答案来注意：注意：最后一个式子出现最后一个
4、式子出现 an-1，必须验证，必须验证 n=1，此时，此时 a1=1，适合，适合 上式，故上式，故 an=n2-n+1。解：解：a2-a1=3-1=2a3-a2=7-3=4a4-a3=13-7=6an-an-1=2(n-1)an-a1=21+2+3+(n-1)=n2-nan=n2-n+1返回返回解：解：an+1=2an+2x3nan=2an-1+2x3n-1，以上以上(n-1)个式子相加有个式子相加有 an=2x3n-5x2n-1，当当 n=1时，时，a1=2x31-5x20=1，适合上式，适合上式，an=2x3n-5x2n-1。返回返回三、三、逐商求积法逐商求积法若数列若数列an满足满足 (
5、nN)，其中数，其中数 列列f(n)前前 n项积可求，则通项项积可求，则通项 an可用逐可用逐项作商后求积得到。项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。适用于积为特殊数列的数列。例例4 求数列求数列1，2，8，64，1024，的通项公式的通项公式an。解略解略例例5 在数列在数列an中，中，a1=2，求求an。解略解略 推广：推广：an+1=f(n)an型一般用累乘法。型一般用累乘法。四、四、利用利用Sn与与an的关系的关系利用利用an=可解决许多可解决许多已知已知an与与Sn的关系题目中的的关系题目中的an。S1=a1(n=1)，SnSn-1(n2)例例6 设设an是正数组成的数列，其前
6、是正数组成的数列，其前 n 项和为项和为Sn，并且对于所有自然数，并且对于所有自然数 n，an与与2的等差中项等于的等差中项等于Sn与与2的等比中项，的等比中项，求数列的通项求数列的通项an(1994年高考题年高考题)。解出答案来解出答案来例例7 已知数列已知数列 an 满足满足 a1=1，Sn=n2an(n2)，求通项公式，求通项公式 an。解出答案来解出答案来解：解：由题意可知由题意可知an+1=Sn+1-Sn(n1)(an+1+an)(an+1-an-4)=0由题意知由题意知 an+1+an0，an+1-an=4即数列即数列 an 是等差数列，其中是等差数列，其中 a1=2，d=4an=
7、4n-2返回返回解：解：an=an=n2an-(n-1)2an-1(n2)以上以上(n-1)个式子相乘有个式子相乘有 又当又当n=1时，时，a1=1，符合题意。，符合题意。故该数列通项公式：故该数列通项公式：1 (n=1)SnSn-1 (n2)返回返回五、五、归纳法归纳法对于一些由递推关系给出的数列，可以对于一些由递推关系给出的数列，可以通过先研究前通过先研究前 n项的结构与项数项的结构与项数 n的内的内在联系，用不完全归纳法对在联系，用不完全归纳法对 an 作出猜想，作出猜想，然后，再用数学归纳法给予证明，这个然后，再用数学归纳法给予证明，这个方法也是求数列通项的一种基本方法。方法也是求数列
8、通项的一种基本方法。例例8 在正数数列在正数数列an中，中，a1=1且且求求 an。解出答案来解出答案来解：解：解得，解得，a1=1然后用数学归纳法证明猜想结论的正确性。然后用数学归纳法证明猜想结论的正确性。(略略)返回返回六、六、构造等差、等比数列法构造等差、等比数列法对于一些递推关系较复杂的数列，可通对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形来将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。处理。例例9 已知数列已知数列an满足满足 a0=
9、4，a1=1，且，且 an=解出答案来解出答案来解：所以数列an-an-1(n2)是以首项为a2-a1=3/2，公比为q=-1/2的等比数列，继续当当 n=0，1时，有时，有a0=4，a1=1，符合上式，符合上式，该数列通项公式为：该数列通项公式为：返回返回例例10 各项非各项非0的数列的数列an，首项，首项 a1=1，且，且2Sn2=2anSn-an(n2)，试，试求数列的通项求数列的通项 an。解出答案来解出答案来解：解：2Sn2=2Snan-an，an=Sn-Sn-1(n2)2Sn2=2Sn2-2SnSn-1-Sn+Sn-1又a1=S1=1不适合上式，数列通项公式为：an=返回附：其他例子附：其他例子例11 a1=3，an+1=2an+1，求 an。例12 已知 a1=3，a2=7，an=3an-1-2an-2，求 an。例13 已知 a1=3，a2=3，且 an+2=an+1-an，求 an。