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1、为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能l观察各项的特点，关键是找出各项与项观察各项的特点，关键是找出各项与项数数n n的关系的关系l例例1 1：根据数列的前：根据数列的前4 4项，写出它的一个通项项，写出它的一个通项公式：公式：l9 9，9999，999999，99999999，解：（解：（1 1）变形为：）变形为：10101 11 1，10102 2 1 1，10103 3 1 1，10104 4 1 1，通项公
2、式为：通项公式为：1.观察法观察法为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能l当已知数列为等差或等比数当已知数列为等差或等比数l列时，可直接利用等差或等列时，可直接利用等差或等l比数列的通项公式，只需求比数列的通项公式，只需求l得首项及公差公比。得首项及公差公比。2.2.公式法公式法为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能典例讲解典例讲解2：l例例2：已知数列已知数列 是公差为是公差为d的等差的等差l数列，数列数列，数列 是公比为是公比为q的的(qR且且q1
3、)的等比数列，若函数的等比数列，若函数f(x)=(x1)2，且，且 =f(d1)，=f(d+1)，=f(q+1)，=f(q1)，l求数列求数列 和和 的通项公式；的通项公式；为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例2解答：解答：l解：解：a1=f(d1)=(d2)2，a3=f(d+1)=d2，la3a1=d 2(d2)2=2d，ld=2，an=a1+(n1)d=2(n1)；l又又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q1)=(q2)2=q4，由由qR，且，且q1，得，得q=2，lbn=b1qn1=4(2)n1为深入学习习近
4、平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3.S 3.S n n法法为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能（1 1）若）若f(n)f(n)为常数为常数,即：即：a an+1n+1-a-an n=d,=d,此时数列为此时数列为等差数列，则等差数列，则a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d一般地，对于型如一般地，对于型如an+1=an+f(n)的通项
5、公式，只的通项公式，只要要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。能进行求和，则宜采用此方法求解。4.4.叠加法叠加法(也称累加法）也称累加法）也可用横式来写也可用横式来写:为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 累加法累加法（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数时，用累加法的函数时，用累加法.方法如下：方法如下：由由 a an+1n+1=a=an n+f(n)+f(n)得：当得：当n1n1时，有时，有 a an n=a=an-1n-1+f(n-1)+f(n-1)a an-1 n-1=a=an-2n-2+f(n-
6、2)+f(n-2)a a3 3=a=a2 2 +f(2)+f(2)a a2 2 =a=a1 1 +f(1)+f(1)所以各式相加得所以各式相加得a an n-a-a1 1=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1).=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1).为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例5 已知数列已知数列an中中,a1=1,an=an-1+n,求求数列数列an的通项公式。的通项公式。解：an=an-1+n an-1=an-2+（n-1）a3=a2 +3 a2=a1 +2各式相加得，an=a1+n+
7、(n-1)+3+2 =1+n+(n-1)+3+2 =n(n+1)/2当n=1时，a1=(12)/2=1,故，an=n(n+1)/2为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例6已知数列已知数列an中中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列求数列an的通项公式。的通项公式。解：解：an-an-1=2n-1-(n-1)an-1-an-2=2n-2-(n-2)a3-a2=22-2a2-a1=21-1各式相加得，各式相加得，an=a1+(2n-1+2n-2+22+21)-(n-1)+(n-2)+2+1=1+(2n-2)+n(n
8、-1)/2=2n+n(n-1)/21当当n=1时，时，a1=2+0-1=1,故，故，an=2n+n(n-1)/2-1为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能已知已知,a,a1 1=a=a，an+1=an+f(n),其中其中f(n)f(n)可以是关于可以是关于n n的的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项求通项.若若f(n)f(n)是关于是关于n n的一次函数，累加后可转化为等的一次函数，累加后可转化为等差数列求和差数列求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的二次函数，累
9、加后可分组求和的二次函数，累加后可分组求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的指数函数，累加后可转化为等的指数函数，累加后可转化为等比数列求和比数列求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的分式函数，累加后可裂项求的分式函数，累加后可裂项求和。和。备备 注注：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能（1 1）当）当f(n)f(n)为常数为常数,即：即：（其中（其中q q是不为是不为0 0的数）的数）,此时此时,数列为等比数列，数列为等比数列，a an n=a=a1 1qqn-1n-1.5.5.叠乘法叠乘法对于型如：
10、对于型如：a an+1n+1=f(n)a=f(n)an n 类的通项公式，当类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方的值可以求得时，宜采用此方法。法。(也称累乘法、累积法）也称累乘法、累积法）为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能l（2）当）当f(n)为为n的函数时的函数时,用累乘法用累乘法.为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大
11、会精神,充分发挥中小学图书室育人功能典例分析：典例分析：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能说明：说明：l本题是关于本题是关于an和和an+1的二次齐次式，的二次齐次式，l可以通过因式分解（一般情况时用求根可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到公式）得到an与与an+1的更为明显的关系式的更为明显的关系式,从而求出从而求出.为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能（1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列 an 为等差数列为等差数列;（2 2）
12、若）若d=0d=0时，数列时，数列 an 为等比数列为等比数列;（3 3）若）若c c11且且d0d0时，数列时，数列aan n 为线性递推数列，为线性递推数列，6.6.辅助数列法辅助数列法这种方法类似于换元法这种方法类似于换元法,主要用于形如主要用于形如a an+1n+1=c=c a an n+d(c+d(c0,a0,a1 1=a)=a)的已知递推关系式求通项公式。的已知递推关系式求通项公式。（构造法或待定系数法）（构造法或待定系数法）为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能说明说明l其通项可通过构造辅助数列来求其通项可通
13、过构造辅助数列来求.l待定系数法待定系数法l 设设an+1+m=c(an+m),得得an+1=can+(c-1)m,l与题设与题设an+1=can+d,比较系数得比较系数得:(c-1)m=d,l所以有：所以有：m=d/(c-1)l因此数列因此数列 构成以构成以 为首项，以为首项，以c为公为公比的等比数列，比的等比数列，为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例8 8：已知数列：已知数列aan n 中，中，a a1
14、1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求数列的通项公式求数列的通项公式解：由解：由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3+3是以是以a a1 1+3+3为首项，以为首项，以2 2为公比为公比的等比数列，的等比数列，所以所以:a:an n+3=+3=（a a1 1+3+3）2 2n-1n-1故故a an n=6=622n-1n-1-3-3为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义
15、思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例.10.10 已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1,=1,a an+1n+1+3a+3an+1n+1a an n-a-an n=0,=0,求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能