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1、二.行列式的计算1.行列式的性质行列式的性质性质性质性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.（行列互换，行列（行列互换，行列式不变）式不变）行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立对行成立的对列也同样成立.性质性质性质性质2 2 对换行列式的两行（列）对换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号性质性质3 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性性性性质质质质4 4 4 4 行行列列式式的的某某一一行行（列列）中中所所有有的的元
2、元素素都都乘乘以以同同一一数数k，等等于于用用数数k乘乘此此行行列列式式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面提到行列式符号的外面性质性质5 5行列式某一行（列）元素全为零，则此行列式为零行列式某一行（列）元素全为零，则此行列式为零性质性质6行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式零行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式零性质性质7 7若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.如如性质性质8 8把行列式的某一列（行）的若干倍加到另一列把行列式的某一列（行）的
3、若干倍加到另一列(行行)上去，上去，行列式不变行列式不变即，施行消法变换，行列式不变即，施行消法变换，行列式不变性质性质9 9（乘积定理）（乘积定理）设设A，B是是n阶行列式，则阶行列式，则|AB|=|A|B|计算行列式常用方法：利用运算计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为把行列式化为上三角上三角形行列式形行列式，从而算得行列式的值，从而算得行列式的值2.行列式的计算例例 计算计算n阶行列式阶行列式解解将第将第2,3,n列列都加到第一列得都加到第一列得例例证明证明证明思考题思考题解解3.行列式按任何列（行）展开定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数行列式等于它的任一行
4、（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即余子式乘积之和，即推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即素的代数余子式乘积之和等于零，即综合可得结论:例例 结论结论 范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成由1.1.行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行成立的
5、对列也同样成立.2.2.计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)(1)利用定义利用定义;(2);(2)利用性质把行利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值.（3 3）还可以根据行列式的具体特征，采用其他方法还可以根据行列式的具体特征，采用其他方法小结（1）利用范德蒙行列式计算）利用范德蒙行列式计算例例计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。结
6、果。常用方法介绍：解解（等式右端行列式为（等式右端行列式为n阶范德蒙行列式）阶范德蒙行列式）由范德蒙行列式的结论可得评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式2用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例 计算计算解解提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得评注评注本题利用
7、行列式的性质，采用本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选化零时一般尽量选含有含有的行（列的行（列）及及含零较多含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为化为1 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的化为三角形行列式之目的3用
8、数学归纳法用数学归纳法例证明例证明证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法评注评注计算行列式的方法比较灵活多样，除了上述计算行列式的方法比较灵活多样，除了上述方法外，还有诸如：方法外，还有诸如：降阶法，递推法，加边法降阶法，递推法，加边法等等等；同一行列式也可以有多种计算方法；有的行等；同一行列式也可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法用的几种方法小结小结