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1、2.3 2.3 行列式按一行或一列行列式按一行或一列展开及行列式的计算展开及行列式的计算一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则三、小结三、小结1 1例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式2在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如34引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行
2、列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如5证证 当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,6即有即有又又从而从而再证一般情形再证一般情形,此时此时7得得8得得910中的余子式中的余子式11故得故得于是有于是有12定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则1314推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等
3、于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证15同理同理相同相同16关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质17定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵性质性质证明证明则则称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.18故故同理可得同理可得 分块对角阵的行列式分块对角阵的行列式19例例1用降阶法计算用降阶法计算2021例例2 计算行列式计算行列式解解2223例例3计算计算解解24252627评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然式的某行（列）化成只
4、含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用28 证证用用数学归纳法数学归纳法例例4证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式2930 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式31注：对于此类型行列式，可直接用公式计算。注：对于此类型行列式，可直接用公式计算。利用范德蒙行列式计算利用范
5、德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。32例例5计算计算解解33上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知34评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如行列式不完全相同，需
6、要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式35例例6 6 计算计算n n阶三对角行列式阶三对角行列式解解:将将 按第按第1 1行展开，得行展开，得用递推法计算用递推法计算36即即37同理：同理：当当 时，可得时，可得当当 时，由时，由(1)得得38例例7计算计算解解394041由此递推，得由此递推，得如此继续下去，可得如此继续下去，可得4243评注评注44求求第一行各元素的代数余子式之和第一行各元素的代数余子式之和45解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成爪型行列式爪型行列式46用数学归纳法用数学归纳法例例9证明证明47证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法4849评注评注50 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结51