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1、第二章第二章 矩矩 阵阵 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是逆矩阵的计算和矩阵方程的求解。1 1 矩阵的概念及其基本运算矩阵的概念及其基本运算 定义定义2.12.1 由mn个数aij(i=1,2,m,j=1,2,n)组成的m行n列的数表称为m行n列矩阵,简称mn矩阵,记为:组成矩阵的这mn个数称为矩阵A A的元素,aij称为矩阵A A的第i行第j列元素,矩阵A A也简记为(aij)或(aij)mn或A A mn。元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素为复数的矩阵称为复矩阵复矩阵，本课除特殊
2、说明外都讨论实矩阵。下面介绍矩阵的基本关系及运算 一、相等一、相等 设有两个矩阵A A=(aij)mn,B B=(bij)st,如果m=s,n=t,aij=bij(i=1,2,m,j=1,2,n),则称矩阵A A与B B相等,记为A A=B B.两个矩阵相等,是指两个矩阵完全一样,即阶数相同而且对应的元素完全相等.二、加法二、加法 设A A=(aij)mn,B B=(bij)mn,则矩阵C=(cij)mn(其中cij=aij+bij,i=1,2,m,j=1,2,n)称为A A与B B的和记作A+A+B B.即 注意:只有两个矩阵阶数相同时才能相加.例例1 1 设 则 元素全为零的矩阵称为零矩阵
3、,记为0.注意:阶数不同的零矩阵是不同的.设A A=(aij)mn,称矩阵(aij)mn为A A的负矩阵,记 A A.矩阵加法满足下列运算规律(设A A、B B、C C是同阶矩阵):()交换律：A+B=B+A A+B=B+A 定义两个矩阵的减法为:B BA A=B B+(A A).()结合律:(A+A+B B)+C C=A A+(B B+C C)()A+A+0 0=A A ()A A+(A A)=0 0 三、数乘法三、数乘法 设k为数,A A=(aij)mn为矩阵,则矩阵(kcij)mn(其中cij 称为k与B B的乘积记作kA A或A Ak.即 数乘矩阵满足下列运算规律(设A A、B B是同
4、阶矩阵)（）1A=AA=A （）数的分配律：(k+l)A=A=kA A+lA A （）矩阵的分配律：k(A A+B B)=kA A+kB B.（）结合律：(kl)A A=k(l A A)四、乘法四、乘法 设矩阵A A=(aij)mn,B B=(bij)np,则矩阵C C=(cij)mp(其中cij=aikbkj,i=1,2,m,j=1,2,p)称为A A与B B的乘积,记作C C=ABAB.即其中注意:矩阵A,BA,B能够乘积的条件是矩阵A A的列数等于矩阵B B的行数,且乘积矩阵与A A行数相同,与B B列数相同.解解 例例2 2 设求AB.注意:这里BA无意义.例例3 3 设矩阵 解解 可
5、见，若C=AB,则乘积矩阵C C的第i行第j列元素cij就是A A的第i行和B B的第j列的乘积。求ABAB和BA.BA.例例4 4 求矩阵求ABAB和BABA。解解 由例题可见，即使ABAB与BABA都是2阶方阵,但它们还是可以不相等。所以，在一般情况下ABABBABA。另外，虽然AO，BO，但是BA=O。从而，由AB=O，不能推出A A和B B中有一个是零矩阵的结论。而若AO，由AX=AY也不能得到X=Y的结论。矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)：（）结合律：(AB)AB)C C=A(A(BC);BC);（）数的结合律：k(ABAB)=(kA A)B B=A A(kB B);（
6、）分配律：A A(B B+C C)=A AB B+AC;AC;(B+B+C C)A A=BA BA+CA;CA;五五 矩阵的转置矩阵的转置 设矩阵A A=(aij)mn,则矩阵B B=(bij)nm(其中bij=aji,i=1,2,n,j=1,2,m)称为A A的转置,记作B B=A AT T,或A,即 矩阵的转置满足下列运算规律(设运算都是可行的)：（）(AT)T=A ；（）(A+B)T=AT+BT；（）(kA)T=kAT ；（）(AB)T=BTAT ；行数和列数相等的矩阵称为方阵.nn阶矩阵称为n阶方阵.和行列式相同,主对角线以外的元素全是零的方阵也称为对角矩阵.即 对角矩阵也常记为:A
7、A=diag(a11,a22,ann)对角线元素全是1的对角矩阵称为单位矩阵,记为E E(或I).n阶单位矩阵也记为E En(或In),即 单位矩阵具有性质：AmnEn=Amn,EmAmn=Amn n阶单位矩阵也可表示为:E En=(ij)n,其中 A0=E,A1=A，A2=A1 A1，,Ak+1=AkA1 矩阵的幂满足以下运算规律(设A A与B B是同阶方阵,k和l是非负整数)设A为方阵,定义A的幂为:（）AB=BA时有:(AB)k=AkBk （）(Ak)l=Akl （）Ak Al=Ak+l 注意:(AB)k=AkBk时,不一定有AB=BA.如 有(AB)k=AkBk(k=0,1,2,),但
8、AB BA.方阵的行列式满足以下运算规律(设A A与B B是n阶方阵,k是常数)（）det(AB)=detAdetB （）det(kA)=kndetA （）det(AT)=detA 设A=A=(aij)n是n阶方阵,则n阶行列式|aij|n称为A A的行列式,记为detA(或|A|),即detA=|A|=|aij|n.称满足条件A=AT的矩阵A为对称矩阵.显然对称矩阵是方阵.设A=(aij)n,则A是对称矩阵aij=aji,即对称矩阵的元素以主对角线为轴对称。作作 业业习题习题A A 第第4848页页1、2、3、4、5、142 2 逆逆 矩矩 阵阵 数的除法运算是乘法运算的逆运算,且有:1a=
9、a1=a ba=ba-1,aa-1=a-1a=1 对矩阵的乘法我们也有:AmnEn=Amn,EmAmn=Amn 所以,当A是n阶方阵时我们有:AnEn=EnAn=An 可见,对n阶方阵来说,n阶单位矩阵E En在乘法运算中的作用和1在数的乘法中的作用是一致的.由于矩阵乘法运算不满足交换律,定义矩阵除法是困难的,为对应矩阵乘法运算的逆运算引进逆矩阵的概念.定义定义2.2 2.2 对n阶方阵A A，如果存在n阶方阵B B，使 ABAB=BABA=E E则称方阵A A是可逆的，且称B B是A A的逆矩阵，记为B B=A A1。可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.显然单位矩阵E是可逆的,且E E-1=E
10、E,但零矩阵不可逆。若矩阵A,B,CA,B,C都是n阶方阵,且A A是可逆矩阵，则 由 BA=C BA=C 可得 CACA-1=B B 由 AB=C AB=C 可得 A A-1-1C C=B B可见,引进逆矩阵的概念就解决了矩阵乘法逆运算的问题.但由于矩阵乘法不满足交换律,所以CACA-1A A-1-1C C,若引入“左除”,“右除”的概念很乱,所以逆矩阵解决了这一问题.定理定理2.12.1 若矩阵A A可逆，则A A的逆矩阵是唯一的.证明 设B B，C C都是A A的逆矩阵，则有 B B=BEBE=B B(ACAC)=(BABA)C C=C C=ECEC 可逆矩阵满足以下运算规律(设A A与
11、B B是n阶可逆矩阵,k是常数)（）(A-1)-1=A （）(AT)-1=(A-1)T （）(kA)-1=1/k A-1（）(AB)-1=B-1A-1 .证明 仅证(),其它完全类似.(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AA-1=E.(B-1A-1)(AB)=B-1(A-1A)B=B-1B=E,所以()成立.对n阶方阵A,其行列式|A A|的各元素的代数余子式Aij也称为方阵A的代数余子式.称为方阵A的伴随矩阵,伴随矩阵也记为adj(A A)。例例5 5 证证 设A A=(aij)n，记AAAA*=(bij)n，则bij=ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=|A|ij(i,j
12、=1,2,n)故 AAAA*=|A A|E E，类似地 A A*A A=|A A|E E 由方阵A的代数余子式组成的如下形式的矩阵 证明:AAAA*=A=A*A=A=|A A|E E 定理定理2.22.2 矩阵A A可逆|A A|0。且|A A|0时有 证证 必要性:A A可逆,则A AA A-1=E E,所以|A A|A A-1|=|E E|=1，所以|A A|0。(而且|A A-1|等于|A A|的倒数)充分性:若|A A|0，则由例5有AAAA*=A=A*A=A=|A A|E E其中A A*为矩阵A A的伴随矩阵。于是有即A可逆,且 推论推论 若ABAB=E E(或BABA=E E)，则
13、B B=A A-1。证证 因ABAB=E E，所以|A A|0，因而A A1存在，于是 B=EB=A-1AB=A-1的逆矩阵.例例6 6求方阵解解因为|A A|100，所以A可逆，又 A11=-1，A21=-5，A31=7，A12=5，A13=-1A22=5，A23=5A32=-5，A33=-3所以有例例7 7 设求解矩阵方程AXBAXB=C.C.A A-1AXBB AXBB-1 =A=A-1 CB CB-1 即 X X =A=A-1 CB CB-1 解解 由例6知A A可逆，而|B B|=-1 0，故B B也可逆。又因为 由AXBAXB=C C,得 所以有 矩阵在线性方程组求解中也有重要作用
14、.对方程组记矩阵则方程组可写成矩阵形式:AxAx=矩阵A A称为方程组的系数矩阵.如果矩阵|A A|0,则A可逆,于是方程组的解为即这就是第一章中Cramer法则的结论.3 3 分块矩阵分块矩阵 用若干条横线和纵线将矩阵A A分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为A A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。例如矩阵 将矩阵A A记为 也可将矩阵A A分成：矩阵具体如何分块,一般没有限制.但应突出特点,便于简化处理.灵活恰当的运用分块矩阵,可获得事半功倍的效果.分块矩阵的运算规则与一般矩阵的运算规则很类似，分别说明如下：(1)设有两个同阶矩阵A A，B B，采用相同的分块法：其中A Aij与
15、B Bij是同阶矩阵，则有 (2)设矩阵A A采用上述分块法，k是数，则有 (3)设有两个矩阵A A ml，B B ln，分块成：其中A Ai1,A Ai2,A Ait,的列数分别等于B B1j,B B2j,B Btj,的行数,(i=1,2,s,j=1,2,r).则有其中例例8 8 设求ABAB。解解 把A A、B B分块成 由于 (4)设 ,则 .(5)设A A为n阶方阵,若A A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵，即 则称A A为分块对角矩阵分块对角矩阵,分块对角矩阵具有性质:（a）|A|=|A1|A2|As|（b）例例9 9 设求A A1。解解
16、因为A A是分块对角矩阵,所以 例例10 10 设求A A1。解解 对A A进行分块,即 则有 .记 所以有 X X11 11+A+A1 1X X2121=E,X=E,X1212+A+A1 1X X2222=0,A=0,A2 2X X2121=0,A=0,A2 2X X2222=E=E解得所以有例例11 11 证明证明 设A A是mn矩阵,B B是nm矩阵.其中An,Bn都是n阶方阵.于是有所以有设ABAB=E E,BABA=E E,则A A是方阵,且可逆,A A-1=B B.如果mn,作分块 A An nB Bn n=E=En n,A,An nB Bm-nm-n=0,A=0,Am-nm-nB
17、 Bn n=0,A=0,Am-nm-nB Bm-nm-n=E=Em-nm-n 矛盾.故应有mn.同理可得nm.于是m=n.即A A,B B都是方阵,于是A可逆,且其逆矩阵为B B.作作 业业习题习题A A 第第4848页页7(1)(2)、8、10、11、12、16、17、18、19练习题练习题习题习题B B 第第5050页页4、5、64 4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在线性代数中有着极其广泛的应用。定义定义2.3 2.3 对矩阵作下列三种类型的变换分别称为第一,第二,第三种初等行初等行(列列)变换变换：1.互换矩阵的某两行(列);2.某行
18、(列)乘以非零常数;3.某行(列)的倍数加到另一行(列).矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换初等变换.当矩阵A A经过初等变换变为B B时,记为A AB B.若强调变换的具体做法,对行(row)的表示为:rirj 表示互换第i,j 两行 类似地,初等列(column)变换分别表示为 易见,各种初等变换都是可逆的,且逆变换也是同类型的初等变换。kri 表示第i行乘以k0 ri+krj 表示第j行的k倍加到第i行.cicj 表示互换第i,j 两列 kci 表示第i列乘以k0 ci+kcj 表示第j列的k倍加到第i列.例例12 12 设 解解对A做初等变换将其简化.定义定义2.4 2.4 对
19、单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。初等矩阵有如下三种类型 可见,可见,可见,定理定理2.3 2.3 对矩阵A作一次初等行(列)变换得到的矩阵等于对A左(右)乘上一个相应的初等矩阵。实际上,初等矩阵只有三种类型,我们分别对A作如下形式的分块我们有 例如,例12中有也就是 P1+2(-2)P2(-1/3)P2+1(-4)AP1+3(1)P2+3(-2)=B即 初等矩阵Pi,j,Pi(k),Pi+j(k)都是可逆矩阵,且 Pi,j-1=Pi,j,Pi(k)-1=Pi(1/k)(k0),Pi+j(k)-1=Pi+j(-k)定义定义2.5 2.5 若矩阵A可以经过有限次初等变换化为矩
20、阵B,则称矩阵A与矩阵B是等价的。矩阵的等价性具有下列三个性质 （）反身性:任何矩阵都与自身等价;（）传递性:若矩阵A A与B B等价,且B与C也等价,则A A与C C也等价.（）对称性:若矩阵A A与B B等价,则B B与A A也等价;推论推论 矩阵A A与B B等价的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,Pl和Q1,Q2,Qt,使得 A=PlP2P1BQ1Q2Qt 定理定理2.4 2.4 任意mn矩阵A都与形为 的矩阵等价。其中Er为r阶单位矩阵,0rminm,n,并且r是唯一的.(r就是矩阵A的秩,仅当A=0时,r=0,E0为数0.),该矩阵称为A A的等价标准形.推论推论 对任意
21、矩阵A A,都有初等矩阵P1,P2,Pl和Q1,Q2,Qt,使得 PlP2P1AQ1Q2Qt=定理定理2.52.5 矩阵A A可逆的充分必要条件是A A可表示为有限个初等矩阵的乘积.定理定理2.62.6 对任意mn矩阵A A,都有可逆矩阵P P,QQ使 下面给出利用初等变换求矩阵逆矩阵的方法.A A-1=P P1,P P2,P Pt 于是有 PAQPAQ=若A可逆,由定理2.5知,存在初等矩阵P P1,P P2,P Pt,使 P P1,P P2,P Pt A=EA=E,P P1,P P2,P Pt E=AE=A-1 所以有 P P1,P P2,P Pt(A EA E)=(E AE A-1)例例
22、1313解解 求矩阵 的逆矩阵.所以有:所以 P P1,P P2,P Pt(A BA B)=(E AE A-1-1B B)这说明可利用初等行变换求矩阵A A-1-1B.B.例例1414 求解矩阵方程AX=BAX=B,其中 由于A A-1=P P1,P P2,P Pt，而A A-1(A BA B)=(E AE A-1-1B B)解法一解法一 由AX=BAX=B可得X=AX=A-1B B,所以 解法二解法二 由AX=BAX=B可得X=AX=A-1B B,所以 X=X=由A A-1=P P1,P P2,P Pt 和 A A-1=也可得 P P1,P P2,P Pt=例例1515 求矩阵X X，使满足
23、XA=BXA=B,其中 解解 由XA=BXA=B可得X=BAX=BA-1,而(AT,BT)(E ,(AT)-1BT)=(E ,(BA-1)T)行变换 所以,也可以用行变换求BABA-1,如上例,由于5 5 分块矩阵的初等变换与初等分块矩阵分块矩阵的初等变换与初等分块矩阵 定义定义2.6 2.6 对分块矩阵作下列三种类型的变换分别称为分块矩阵的第一,第二,第三种初等行初等行(列列)变换变换：1.互换分块矩阵的某两个行(列)块;2.某个行(列)块左(右)乘一个可逆方阵;3.某个行(列)块左(右)乘一矩阵后加到另一行(列)块.分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为分块矩阵分块矩阵的初等变换的初等变换
24、.注:在第二,第三种初等变换中,作行变换一律是左乘,作列变换一律是右乘.单位矩阵可按如下形式分块:称为单位分块矩阵,其中每个Ei都是单位矩阵.定义定义2.72.7 对单位分块矩阵作一次分块矩阵的初等变换所得到的分块矩阵,称为初等分块矩阵.类似地,初等分块矩阵也有如下三种类型:第i个行块第j个行块第i个行块(其中C是可逆矩阵)第i个行块第j个行块 定理定理2.7 2.7 对分块矩阵A作一次分块矩阵的初等行(列)变换得到的矩阵等于对A左(右)乘上一个相应的初等分块矩阵。分块矩阵的初等变换和初等分块矩阵也有关系定理.也可以对分块矩阵作分块矩阵的初等行变换求逆.例例1616 求例10中矩阵 的逆矩阵.解解 由于作作 业业习题习题A A 第第4848页页7(3)(4)、20、21、22