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1、2.2-2 等差数列的性质及其应用等差数列的性质及其应用第第2课时课时数学主讲教师：王金辉 老河口市江山中学数学备课组预习要点：3、等差数列的判定与证明方法有哪些？2、等差数列有哪些性质？4、等差数列的设法与求解方法？1、等 差数列通项公式及其变式有哪些？通项公式通项公式:通项公式的推广通项公式的推广:(n-m)d问题1、问题2：等差数列有哪些性质？（1）d0,an是递增数列；d0,an是递减数列（3）an=am+(n-m)d (m,nN*)(4)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq（5）若m+n=2k,则am+an=2ak（6）数列an+b(,b是常数）是公差为d的等差数列（7）,an
2、是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1+an=a2+an-1=ai+an-i+1(8)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,组成公差为md的等差数列(9)若bn也为等差数列，则kan+bn(k为非零常数)也是等差数列.(10)an是等差数列，则a1,a3,a5,仍成等差数列（首项不一定选a1)(11)an是等差数列，则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,仍成等差数列。一、几点说明：一、几点说明：1、在在等差数列等差数列an中，若中，若m+n=p+q，则则 am+an=ap+aq注注:上面命题的逆命题上面命题的逆命题是不
3、一定成立是不一定成立的；的；上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有相同数目相同数目 的项，如的项，如a1+a2=a3？例例1 在在等差数列等差数列an中中(1)a6+a9+a12+a15=20，则，则a1+a20=；(2)a3+a11=10，则，则a6+a7+a8=；(3)已知已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求求 a4，a7及公差及公差d.二.等差中项问题:例例 1 已知已知:成等差数列成等差数列,求证求证:也成等差数列也成等差数列.等等差差中中项项 三个数成等差数列，可设这三个数为：三个数成等差数列，可设这三个数为：a、b b、c c成等差数列成等差数列,则则_
4、b与与a的等差中项是的等差中项是即即a、b的算术平均数的算术平均数.2b=a+ca,a+d,a+2d 或或 a-d,a,a+d例例2 已知已知a，b，c成等差数列，成等差数列，求证：求证：ab-c2，ca-b2，bc-a2也成也成等差数列；等差数列；三三.对称设法对称设法:例例2.已知已知5个数成等差数列个数成等差数列,它们的和为它们的和为5,平方和为平方和为 ,求这求这5个数个数.例例1.已知三个数成等差数列已知三个数成等差数列,其和为其和为15,其平方和为其平方和为83,求此三个数求此三个数.练习练习:三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为首尾二数的积为1
5、2，求此三数，求此三数.a-d,a,a+d练习提高 形成能力1、已知数列an满足a1=4,记 （1）求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式2、（1）在等差数列an中，a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列的通项公式（2）在等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7450,求a2+a8.（3）在等差数列an中,ap=q,aq=p,(pq)求ap+q.3、成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数。4、有两个等差数列2,6,10,190及2,8,14,200.由这两个等差数列的公共项按从小到的顺序组成的一个新数列,则新数列有多少项?5、已知数列an的前n项和Sn满足且an0,(1)求a1,a2;(2)求an通项公式。小结：小结：1.an为等差数列为等差数列 .，an=，更一般的，更一般的，an=，d=。2.a、b、c成等差数列成等差数列b为为a、c 的的 .an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+ba、b为常数为常数am+(n-m)d等差中项等差中项2b=a+c3.在等差数列 中