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1、2.2 等差数列等差数列(2)知识回顾知识回顾等差数列等差数列 定义公差通项几何意义等差中项如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起项起， 每一项与每一项与它前一项的它前一项的差差 等于同一个常数等于同一个常数. . . . .【说明说明】AAA数列数列 an 为等差数列为等差数列an+1-an=d或或an+1=an+dd =an+1-an公差公差d是是 唯一唯一 的常数。的常数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点等差数列各项对应的点都在同一条直线上都在同一条直线上.若若a、 A 、 b成等差数列，则成等差数列，则A叫做叫做a与与b的等差中项。的等差中项。2abAan=am+(n-
2、m)dnmaadnm知识加深知识加深在在等差数列等差数列an中中 (1) 若若a59=70，a80=112，求，求a101； (2) 若若ap=q，aq=p (pq)，求，求ap+q； (3) 若若a12=20，a42=140， 求求a10， a27 上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，如的项，如a1+a2=a3 成立吗？成立吗？【说明说明】 3.更一般的情形，更一般的情形，an= ，d= 等差数列的性质等差数列的性质1. an为等差数列为等差数列 2. a、b、c成等差数列成等差数列 an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1)
3、dan= kn + b（k、b为常数）为常数）am+(n - m) dmnaamnb为为a、c 的等差中项的等差中项AA2cab 2b= a+c4.在在等差数列等差数列an中，由中，由 m+n=p+q am+an=ap+aq注意：注意： 例例1 .在在等差数列等差数列an中中(1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20例题分析例题分析(2）已知已知 a3+a11=10，求求 a6+a7+a8(3) 已知已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9
4、+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=1523分析：分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又又 a4a7=187 ， 解解 、 得得a4= 17a7= 11 a4= 11a7= 17 或或d= _2或或2, 从而从而a14= _3或或31例例2.2.已知数列的通项公式为已知数列的通项公式为an n= =pnpn+ +q q, ,其中其中p p、q q是常数，且是常数，且p p00，那么这个数列是否为等差数那么这个数列是否为等差数列？如果是
5、，其首项与公差是什么？列？如果是，其首项与公差是什么？解：取数列解：取数列 an 中的任意相邻两项中的任意相邻两项an-1 an(n2)， an - - an-1=(=( pn+ +q )-)- p( (n- -1) ) + + q = =pn+ +q-(-(pn- -p+ +q)= =p它是一个与它是一个与n无关的常数，所以无关的常数，所以 an n 是等差数列，是等差数列，且公差是且公差是p. .在通项公式中令在通项公式中令n1 1，得，得a1 1pq，所以这个等差所以这个等差数列的首项是数列的首项是pq，公差是公差是p. . 通项公式可以表示为通项公式可以表示为： anpnq（其中其中p
6、、q是常数）是常数） 例例3.3.已知三个数成等差数列，其和已知三个数成等差数列，其和1515，其平方和，其平方和为为8383，求此三个数，求此三个数. . 则 ( (x- -d)+)+x+(+(x+ +d)=)=15 ( (x- -d) )2 2+ +x2 2+(+(x+ +d) )2 2= =83所求三个数分别为所求三个数分别为3 3，5 5，7 7或或7 7，5 5，3.3.解得解得x5 5，d d2.2.解：设此三个数分别为解：设此三个数分别为x- -d d，x，x+ +d d，例例4 4等差数列等差数列aan n 中已知中已知a a10 102323， （1 1）若）若a a2525
7、2222，问此数列从第几，问此数列从第几项开始为负？项开始为负？ （2 2）若数列从第）若数列从第17 17项起各项均为负，项起各项均为负，求公差求公差d d的取值范围。的取值范围。 【探究探究】设设aan n 是首项为是首项为m m公差为公差为d d的等差的等差 数列，从中选取数列的第数列，从中选取数列的第4k-14k-1项，（项，（kNkN+ +） 构成一个新的数列构成一个新的数列 bn bn ，你能求出，你能求出 bn bn 的通项公式的通项公式吗？吗？ 1.已知已知a、b、c的倒数成等差数列，如果的倒数成等差数列，如果a、b、c互不相等，则互不相等，则 为为 （ ）abbc caaba
8、cbcA. B. C. D.C 2.已知等差数列已知等差数列an的公差的公差d1，且，且a1+a2+a3+a98=137 ,那么那么a2+a4+a6+a98的值的值等于等于 （ ）A.97 B.95 C.93 D.91C 巩固练习1.1.定义：定义：a an n-a-an-1n-1=d=d（d d为常数）为常数）（n2n2）3.3.等差数列的变形公式：等差数列的变形公式： a an n=a=am m+ +（nmnm）dd2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式 a an n =a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d 课课 时时 小小 结结4.数列an为等差数列，则得 an=pn+q (p
9、、q是常数) ， 反之亦然。作业作业P40P40习题习题2.22.2B B组组1 1、2 2及补充及补充补充作业补充作业1 1. .等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a -5-5， -3-3a +2 2，则则 a 等于（等于（ ) ) A . -. -1 1 B . . 1 1 C . .-2 -2 D. 22.三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为，首尾二数的积为12 ，求此三数，求此三数.3. 在在等差数列等差数列an中中, a1=83，a4=98，则这个数列有则这个数列有 多少项在多少项在300到到500之间？之间？ 4.4.已知数列已知数列an 的通项公式为的通项公式为)(219*Nnnan问数列从第几项开始小于问数列从第几项开始小于0 0？