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1、2.2 等差数列等差数列 、 观察与思考观察与思考 ：下面的几个数列：下面的几个数列： , 105 , 104 , 103 , 102 , 101 , 12- , 9- , 6- , 3- , 0 , 3 10, , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 、问题：、问题： 从第从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？, ,1 ,1 1 , 1 , 1 , 1分析：分析：后一项与前一项的差的后一项与前一项的差的特点是：特点是： 、归纳：这些数列、归纳：这些数列 是常数是常数1是常数是常数-3 是常数是常数 1/10, 3- , 3- , 3-
2、, 3- , 3- , 101 , 101 , 101 , 101 从第从第2项起它们的后一项与前项起它们的后一项与前 一项的差都是同一个常数。一项的差都是同一个常数。这个常数叫等差数列的公差，通常用字母这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。表示。等差数列的首项用字母等差数列的首项用字母 a1 表示。表示。 一、等差数列的定义：一、等差数列的定义：例例 1： 观察下列数列是否是等差数列：观察下列数列是否是等差数列： , 16 , 11 , 7 , 4 , 2 , 1 :4 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 :3 , 7 , 5 , 3 , 1 , 2- , 3- :2 ,
3、12 , ,10 8 , 6 , 4 , 2 , 1 : 1 一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列从第从第2项起项起，每一项与它的前一项的，每一项与它的前一项的差等于差等于同一个常数同一个常数，那麽这个数列就叫做，那麽这个数列就叫做等差数列等差数列。解析：(1)、该数列的第2项与第一项的差是1，其余的后一 项与 前一项的差都是2。不符合等差数的定义 要求从第2项 起后项与前项的差是同一个常数。 所以, 它不是等差数列。 （2）、不是。理由同（1） （3）、是。 它符合等差数列的定义。 （4）、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是 ： 1，2 ， 3 ，4 ，5 ，是常数，但不是同一常数。
4、 所以不是。 1、等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是二、等差数列的通项公式： , a , , a , a , a , a , an54321等差数列 an 的首项是 a1 , 公差是d ，如： 那麽，则由定义得： a2-a1=d (1) a3-a2=d (2) a4-a3=d (3) a5-a4=d (4) 、 an-a n-1=d分析：如果把左边由（1）式到最后一个式子，共_个式子相加，则有： n-1 等号左边为：an-a1 , 等号右边为：(n-1)d所以： an-a1=(n-1)d ,即 an=a1+(n-1)d 当n =1时，上式两边都等于 a
5、1 。 nN*，公式成立。 等差数列的通项公式是等差数列的通项公式是:an = a1+(n-1)d三、通项公式的应用： 例 2：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它 的通项公式。 （2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，的第20项。 （3）、 -401是不是等差数列 5 ， -9 ，-13 ， 的项 ？如果是，是第几项？等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个 量 。 分析：知道a1 , d ，求an 。代入通项公式。 a1=3 , d=2 an=a1+(n-1)d =3
6、+(n-1) 2 =2n-1 解：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2， 求它 的通项公式。（2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，的第20项。分析： 根据a1=10，d= -2，先求出通项公式an ，再求出a20解： a1=10, d=8-10= -2 ， n=20 由an=a1+(n-1)d 得 a20 =a1+(n-1)d =10+(20-1)(-2) = -28解： a1= -5, d= -9-(-5)= -4 an= -5+(n-1) (-4) = -4n-1 -401= -4n-1 n=100 -401是该数列的第100项。 分析：根据a1= -5，d= -
7、4，先求出通项公式an ，再把 401代入，然后看是否存在正整数n 。 （3）、 -401是不是等差数列 5 ， -9 ，-13 ， 的项 ？如果是，是第几项？ 解： 由题意可得 a1+5d=12 (1) a1+17d=36 (2) d = 2 a1 =2 an = 2+(n-1) 2 = 2n 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。考必考的思想方法，应熟悉并掌握。 例3： 在等差数列an中 ， 已知a6=12 ，a18=36 ,求首
8、项a1 ，公差 d 及通项an 。 分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。* 1、 等差数列的概念。必须从第必须从第2项起后项减去前项起后项减去前项，并且差是项，并且差是 同同 一常数。一常数。 像例1中（1）、（2）小题只能说它们从第2项起、 从第3项起是等差数列，而它们本身不是。 2、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。四、小结：这节课
9、主要讲了以下两个问题：1、（1）、求等差数列 3 ，7 ， 11 ，的第4项和第10项。 （2）、100是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，的项？ 如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。 （3）、 -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，的项？ 如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。2、在等差数列an中， （1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。 （2）、已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 。解： （1）、 a1=3 ， d=7-3= 4 an=3+4（n-1） = 4n-1 a4=44-1=15 ， a10=410 1=39 （2）、 a1=2 ， d
10、=9-2=7 an=2+7（n-1) = 7n-5 100=7n-5 n =15 100是该数列的第15项。 （3）、 a1=0 ， d= -3.5 -0 = -3.5 an=0-3.5（n-1） = -3.5n+3.5 -20= -3.5n+3.5无正整数解 -20不是该数列的项。解： （1）由题意得 a1+3d= 10 a1+6d=19 解得： d=3 , a1=1 。 （2）由题意得 a1+2d= 9 a1+8d=3 解得： d= -1 , a1=11 。 an=11-1（n-1）=12-n a12= 12-12 =0 1、已知等差数列第m项是am ，公差是 d ，求an 。 2、已知等差数列 a1，a2 ， a3 ， a4 ， a5 , d是公差 那麽 (1)、 a1 ， a3 ， a5 ， a7 ，是什麽数列？ (2)、 a1 ， a4 ， a7 ， a10 ，是什麽数列？(1)、练习：P117 1 、2(2)、作业：P118 1 、 2