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1、一一、选择题选择题（本大题共本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .）1.已知集合2|12 ,|lg2Ax xBx yxx，则RAC B （）A3, 1B3, 1C1,1D1,1【答案】C【解析】试题分析：3,1 , 12,AB ，故1,1RAC B .考点：绝对值不等式，一元二次不等式，集合交并补2.设复数2zi，则复数1zz的共轭复数为（）A1 3i B1 3i C1 3iD1 3i【答案】B【解析】试题分析：11 3zzi ，其共轭复数为
2、1 3i .考点：复数概念及运算3.函数 2sin0,2fxx的部分图象如图所示，則 17012ff的值为（）A23B23C312D312【答案】A【解析】试题分析：由图可知,2T ， 2sin 2f xx，2sin0,633f ，故 2sin 23f xx， 1702312ff.考点：三角函数图象与性质4.执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（）A5B15C23D31【答案】D【解析】考点：算法与程序框图5.已知数列 na为等差数列，满足32013OAa OBaOC ，其中, ,A B C在一条直线上，O为直线AB外一点，记数列 na的前n项和为nS，则2015S的值为（）A20152B2
3、015C2016D2013【答案】A【解析】试题分析：依题意有320131aa，故3201320152015201522aaS.考点：数列求和，向量运算6.设a、b、c为ABC的三边长, 若222cab，且3sincos2AA，则B的大小为（）A12B6C4D512【答案】D【解析】考点：解三角形7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A2 2B6C3D2 3【答案】C来源:ZXXK【解析】试 题 分 析 ： 由 三 视 图 可 知 ， 这 是 一 个 三 棱 锥 ， 画 出 直 观 图 如 下 图 所 示 ， 故 最 长
4、 的 棱 长 为2221223AB .考点：三视图8. 已知数列 na的前n项和为nS， 满足211122,3nnnSnSnn nNa，则数列 na的通项na （）A41nB21nC3nD2n【答案】A【解析】试题分析：当1n 时，221 32 34,7aa ，故 A 选项正确.考点：数列求通项9.若点,P a b在函数23lnyxx 的图象上，点,Q c d在函数2yx的图象上，则22acbd的最小值为（）A2B2C2 2D8【答案】D【解析】考点：函数图象与性质10.已知函数 31xxf xexe，若实数a满足， 20.5loglog21fafaf，则实数a的取值范围是（）A1,2,2B1
5、,2,2C1,22D1,22【答案】C【解析】试 题 分 析 ： fxf x故 函 数 为 偶 函 数 ， 20.52loglog2log21fafafaf， 即 2log1faf，故21log1a ，解得1,22a.考点：函数奇偶性与单调性11.已知数列 na满足211nnnnaaaanN，且52a，若函数 2sin22cos2xf xx，记nnyf a，则数列 ny的前9项和为（）A0B9C9D1【答案】C【解析】考点：数列求和【思路点晴】由211nnnnaaaanN可知数列 na为等差数列，另外还知道52a，没有其它特殊的要求，故不妨设2na，也就是假设na为常熟列，每一项都是2，然后将
6、2na代入nf a也就可以求出ny每一项都是1，故前9项和为9.在选择填空题中，小题小做不要小题大做，往往可以节约很多的时间.12.已知函数 yf x是定义域为R的偶函数，当0 x ，时， 5sin01421114xxxf xx，若关于x的方程 255660f xaf xaaR有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A01a或54a B01a或54a C01a或54a D514a或0a 【答案】C【解析】考点：分段函数，函数单调性与奇偶性【思路点晴】 本题考查分段函数， 函数单调性与奇偶性， 首先我们按照奇偶性画出函数 f x的图象， f x的图象分成两段，第一段是三角函数，第二段是
7、指数函数.然后处理第二个已知条件， 255660f xaf xaaR，这是一个可以因式分解的类似二次函数的表达式，我们将它因式分解，也就可以求出6,5tta，接着我们就可以在 f x的图象上画出这两条直线，两条直线和起来有六个交点.第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分）二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分 ）13.如图，正方形ABCD中，,M N分别是,BC CD的中点，若ACAMBN ，则【答案】85【解析】试题分析：设正方形边长为2，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，2,2 ,2,1 ,1,2ACAM
8、BN ，故2222，解得628,555.考点：向量运算14.如果直线12:220,:840lxylxy与x轴正半轴，y轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数0,0zabxy ab的最大值为8，则ab的最小值为【答案】4考点：两条直线的位置关系，基本不等式15.已知定义在实数集R上的函数 f x满足 14f，且 f x的导函数 3fx ,则不等式ln3ln1fxx的解集为来源:【答案】0,e【解析】试题分析：构造函数 3 ,11,30F xf xx FFxfx，故函数 F x单调递减，ln3ln1fxx，即 ln3ln1,ln1 ,1,0,fxxFxFlnxxe.考点：函数导数与不
9、等式【思路点晴】本题主要考查函数导数与不等式，构造函数法求解不等式.通过阅读题目，可以知道，这是一个定义在R上的函数，有的时候题目还会增加奇偶性.另外给了一个含有导数的式子 3fx ，像这样的题目我们一般考虑构造函数来做，即构造 3F xf xx，利用导数可以知道它是单调递减的，这样我们就可以将要求解的不等式利用单调性求解出来.16.函数 2sin 2,cos 223(0)36f xxg xmxmm,对任意10,4x,存在20,4x,使得 12g xf x成立, 则实数m的取值范围是【答案】41,3来源:【解析】考点：三角恒等变换，恒成立问题【思路点晴】本题考查三角恒等变换，恒成立问题等知识点
10、.题目的关键语句在于“对任意10,4x,存在20,4x,使得 12g xf x成立,”也就是说， g x的函数值，都有 f x的函数值和它相对应，由此可知 g x的值域是 f x值域的子集.接下来利用三角函数求最值的方法，求出 ,f xg x的值域，进而求得m的取值范围.三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .）17.（本小题满分 12 分）已知函数 1cos sincos2,64fxxxxxR.（1）求 f x单调递增区间；（2）求 f x在,6 4 的最大值和最
11、小值.来源:Zxxk.Com【答案】 （1）5,1212kkkZ； （2）最大值和最小值分别 为33,42.【解析】试题解析： 1131cos sincos2coscossincos264224fxxxxxxxx2131333cossin coscos2sin2cos2sin 22244423xxxxxxx.（1）由222232kxk，解得 5,1212kxkfx的单调递增区间为5,1212kkkZ.（2）由64x得 21332,1sin 2,3363224xxf x ,因此, f x在,6 4 上的最大值和最小值分别为33,42.考点：三角恒等变换，三角函数图象与性质18.（本小题满分 12
12、 分）已知数列 na的前n项和为nS，向量1,1 ,21,2nnaSb,满足条件a b.（1）求数列 na的通项公式；（2）设函数 12xfx,数列 na满足条件1111,1nnbf bfb.求数列 nb的通项公式；设nnnbca数列 nc的前n项和为nT.【答案】 （1）2nna ； （2）nbn；222nnnT.【解析】试题解析：（1） 因为11,21,222nnnna bSS.当2n时,12nnnnaSS. 当1n 时,112aS, 满足上式, 所以2nna .（2） 11111111111,2122212nnnnxbnbbbnf xf bfb ,11nnbb,即11nnbb,又 11,
13、nbb 是以1为首项,1公差的等差数列.nbn.121121,.22222nnnnnnnbnnncTa,两边同乘12得,2311121.,22222nnnnnT以上两式相减得1231111111112112222.,1,21222222222212nnnnnnnnnnnnTTT .考点：数列的基本概念，数列求和19.（本小题满分 12 分）在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且3 cos23cosaCbcA.（1）求角A的大小；（2）求25cos2sin22CB的取值范围.【答案】 （1）6A； （ 2）32, 312.【解析】试题解析：（ 1 ） 由 正 弦 定 理 可 得 ，
14、3sincos2sincos3sincosACBACA, 从 而 可 得3sin2sincos , 3sin2sincosACBABBA,又B为三角形的内角, 所以sin0B ,于是3cos2A ,又A为三角形的内角, 因此6A.（2）255cos2sinsincos1sincos1226CBBCBB 5533sincoscossinsin1sincos13sin166226BBBBBB ,由6A可知,520,6663BB ,从而1sin,162B ,因此323sin1, 3162B ,故25cos2sin22CB的取值范围为32, 312.考点：解三角形，三角恒等变换20.（本小题满分 12
15、 分）已知曲线 2lnf xaxbxx在点 1,1f处的切线是21yx.（1）求实数, a b的值；（2）若 21f xkxk恒成立, 求实数k的最大值.【答案】 （1）1ab； （2）1.【解析】试题分析： （1）根据题意列方程组 112ffx，解得1ab； （2）对 21f xkxk分离参数，得2ln1xxkx恒成立.利用导数求得右边函数的最小值为1，故k的最大值为1.试题解析：考点：函数导数与不等式【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存
16、在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理21.（本小题满分 12 分）设函数 ln1f xx.（1）已知函数 2131424F xfxxx,求 F x的极值；（2）已知函数 2210G xf xaxaxa a,若存在实数2,3m,使得当0,xm时,函数 G x的最大值为 G m,求实数a的取值范围.【答案】 （1）极大值为0，极小值为3ln24； （2）1 ln2,.【解析】（1）由已知条件得, 2135ln424F xxxx,且函数定义域为0,所以 212113322222xxxxFxxxx
17、x,令 0Fx ,得1x 或2x , ,F xFx随x的变化如下表:x0,111,222, Fx00 F x03ln24当1x 时,函数 F x取得极大值 10F;当2x 时,函数 F x取得极小值 32ln24F.来源:学,科,网（2）由条件, 得 2ln211G xxaxaxa,且定义域为0, 1221221xaxGxaxaxx,当0a 时, 令 0Gx 有1x 或12xa.当12a 时, 函数 G x在0,上单调递增, 显然符合题意.当112a, 即102a时, 函数 G x在0,1和1,2a上单调递增, 在11,2a上单调递减. 此时由题意, 知只需 21GG,解得1 ln2a ,又1
18、1 ln22,所以实数a的取值范围是11 ln2,2.考点：函数导数与不等式【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果
19、多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. .解答时请解答时请写清题号写清题号. .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图, 过圆O外点P作圆的切线PC,切点为C,割线PAB、割线PEF分别交圆O于A与B、E与F.已知PB的垂直平分线DE与圆O相切.（1）求证:DEBF；（2）若2 3,1PCDE,求PB的长.【答案】 （1）证明见解析； （2）2 5.【解析】试题解析：（1）证明: 连接,BEDE圆O相切,BEDBFE , 又DE为PB的垂直平分线,BEDPEDPEDBFEDEBF .（2）由（1）知DEBF且D为PB的中点,E为PF
20、的中点, 且90 ,.FBPEDPBEPEEFPC 为圆O的切线,22,2 32,6PCPE PFPEPEPE,22222222 5PBBDBEDEPEDE.考点：几何证明选讲23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合,若曲线C的极坐标系方程为6cos2sin,直线l的参数方程为12(22xttyt 为参数).（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程;（2）设点1,2Q直线l与曲线C交于,A B两点, 求QA QB的值.【答案】 （1）22620 xyxy，30 xy； （2）5.【解析】试题解析：（1）
21、由6cos2sin,得2226 cos2 sin ,62xyxy,即曲线C的直角坐标方程为22620 xyxy.由1222xtyt ,消去参数t,得直线l的普通方程30 xy.（2）由（1）知直线l的参数方程为转化为212222xtyt ,代入曲线C的直角坐标方程为22620 xyxy得23 250tt,由韦达定理, 得1 25t t ,则1 25QA QBt t.考点：坐标系与参数方程24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 32f xaxx.（1）若2a ,解不等式 3f x ；（2）若存在实数a, 使得不等式 12 2f xax 成立,求实数a的取值范围.【答案】 （1）37|42xx； （2）5,2.【解析】试题分析： （1）2a ， 2323f xxx，零用零点分段法去绝对值后可求得解集为37|42xx； （2）先用分析法分析， 12 2f xax 等价于33 21axxa ，即3361xaxa ，由基本不等式知 33633661xaxxaxaa ，解得5,2a .试题解析：（1）不等式 3f x 化为2323xx,则2,2323xxx 或2232323xxx ,或233223xxx,解得3742x,所以不等式 3f x 的解集为37|42xx.考点：不等式选讲