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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页6.5 可对角化的矩阵可对角化的矩阵授课题目：授课题目：6.5 可对角化的矩阵可对角化的矩阵授课时数：授课时数：6学时学时教学目标：教学目标：掌握矩阵对角化的定义与方法掌握矩阵对角化的定义与方法教学重点：教学重点：矩阵对角化的方法矩阵对角化的方法教学难点：教学难点：矩阵对角化的方法矩阵对角化的方法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义1设设A是数域是数域F上一个上一个n阶矩阵，如果存在阶矩阵，如果存在F上的一个可逆矩阵上的一个可逆矩阵T，使，使T-1AT是对角矩阵，是对角矩阵，就说就说A可以对角化可以对角化由矩阵与线性变换的对应
2、关系，类似地有：由矩阵与线性变换的对应关系，类似地有：定义定义2设设是数域是数域F上上n(n1)维线性空间维线性空间V的的一个线性变换一个线性变换,如果存在如果存在V的一个基的一个基,使得使得关于关于这个基的矩阵是对角形，就说这个基的矩阵是对角形，就说可以对角化可以对角化一一.矩阵的可对角化与线性变换的可对角化矩阵的可对角化与线性变换的可对角化返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根据定义和定理根据定义和定理6.3.4知：知：n维线性空间的基取定维线性空间的基取定后，后，V的线性变换的线性变换可以对角化当且仅当它关于可以对角化当且仅当它关于这个基的矩阵这个基的矩阵A可以对角化可以对角
3、化定理定理6.5.1设设是数域是数域F上上n维线性空间维线性空间V的线性的线性变换变换可对角化的充分必要条件是：可对角化的充分必要条件是：有有n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量二二.线性变换可对角化的充要条件和充分条件线性变换可对角化的充要条件和充分条件1.线性变换可对角化的充要条件之一线性变换可对角化的充要条件之一返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.5.2设数域设数域F上线性空间上线性空间V有一个线性变有一个线性变换换,1,2,m分别是分别是的属于互不相同的的属于互不相同的特征根特征根1,2,m的特征向量的特征向量,那么那么,向量向量1,2,m线性无关线性无关
4、证对证对m使用数学归纳法使用数学归纳法当当m1,10,1线性无关线性无关.假设定理对于假设定理对于m-1(m1)个向量结论成立个向量结论成立现设现设1,2,m是是的两两不同的特征根的两两不同的特征根,2.线性变换可对角化的两个充分条件线性变换可对角化的两个充分条件返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页i是属于是属于i的特征向量，即的特征向量，即(i)=ii,i=1,2,m (1)若若 a11+a22+am-1m-1+amm,aiF (2)用用m乘乘(2)式两端，得式两端，得a1m1+a2m2+am-1mm-1+ammm =0 (3)对（对（2）式两端的向量用线性变换）式两端的向量用线
5、性变换去作用，得去作用，得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页a111+a222+am-1m-1m-1+ammm =0 (4)用（用（4）式减去（）式减去（3）式得）式得a1(1-m)1+a2(2-m)2+am-1(m-1-m)m-1=0但但1,2,m-1由归纳假设是线性无关的，由归纳假设是线性无关的，所以所以Ai(i-m)=0，i=1,2,m-1.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页而而1,2,m两两不同两两不同,i-m0,i=1,2,m-1.只有只有a1=a2=am-1=0.代入代入(2)式式,由由m0 又有又有 am0.这就证明这就证明了向量了向量1,2,m是线性
6、无关的是线性无关的.由上面两个定理可以得出以下推论由上面两个定理可以得出以下推论推论推论1设设是属于是属于F上上n维线性空间维线性空间V的一个线的一个线性变换如果性变换如果的特征多项式的特征多项式f(x)在在F内有内有n个个不同的根，那么不同的根，那么可对角化可对角化返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证若若f(x)在在F中有互不相同的中有互不相同的n个特征根个特征根1,2,n,对对每个每个i,选选取一个特征向量取一个特征向量i,i=1,2,n.1,2,n 线线性无关性无关,构成构成V的的一个基一个基.在在这这个基下的矩个基下的矩阵阵是是对对角矩角矩阵阵所以，所以，可可对对角化角
7、化返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页如果数域如果数域F是复数域是复数域C，推论，推论1可改为以下推论可改为以下推论推论推论2设设是复数域是复数域C上上n维线性空间维线性空间V的一个的一个线性变换如果线性变换如果的特征多项式没有重根，那的特征多项式没有重根，那么么可对角化可对角化这个推论的矩阵说法是：设这个推论的矩阵说法是：设A是数域是数域F上的一个上的一个n阶矩阵如果阶矩阵如果A的特征多项式的特征多项式fA(x)在在F内有内有n个单根，那么个单根，那么A可以对角化可以对角化推论推论1给出了线性变换可对角化的一个充分非必给出了线性变换可对角化的一个充分非必返回返回返回返回后页后页后
8、页后页前页前页前页前页定理定理6.5.3如果如果1,2,s 是线性变换是线性变换的的 s个不同的特征根，而个不同的特征根，而 ,是是的属于特征的属于特征根根i 的线性无关的的线性无关的特征特征向量向量,i=1,2,s.那么那么,向量组向量组 ,线性无关线性无关要条件对没有要条件对没有n个不同特征根的线性变换，要个不同特征根的线性变换，要判断它能否对角化，还需作进一步的讨论判断它能否对角化，还需作进一步的讨论3.线性变换可对角化的充要条件之二线性变换可对角化的充要条件之二返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即即1+2+s0，(5)因此因此,i=0或者或者i是是的属于的属于i的特征向量
9、的特征向量如果如果1,2,s不全不全为为0,不妨不妨设设1,2,t(ts)均不是零向量均不是零向量,而其余的而其余的j全是零向量全是零向量.由（由（5）式有）式有1+2+t0,证证设设 k11+k21a21+=0.其中其中i=ki1i1+i=1,2,s.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即即1+2+t 线线性相关性相关.这这与定理与定理6.5.2的的结结论论矛盾矛盾所以每个所以每个i0,i1,2,s.即即ki1i1+i=1,2,s.=0.由假由假设设i1,线线性无关，推出性无关，推出ki1=0,i=1,2,s.因此，向量因此，向量组组 ,线线性无关性无关 返回返回返回返回后页后页
10、后页后页前页前页前页前页再来再来讨论线讨论线性性变换变换的特征子空的特征子空间间的的维维数与所属特数与所属特征根的重数的关系征根的重数的关系定理定理6.5.4设设是数域是数域F上上n维线维线性空性空间间V的一个的一个线线性性变换变换.0是是的一个特征根，的一个特征根，其中其中0的重数指的是它作的重数指的是它作为为f(x)的根的重数的根的重数特征根特征根0的特征子空的特征子空间间.那么那么dim0的重数，的重数，是是的属于的属于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页将它扩充成将它扩充成V的基的基:1,2,s,s+1,n证设证设,1,2,s是是的基的基是是的特征子空间，可设的特征子空间，
11、可设由于由于(1)=01,(2)=02,(s)=0s,(s+1)=a1,s+11+a2,s+12+an,s+1 n (n)=a1n1+a2n2+annn.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是,在基在基1,2,s,s+1,n下的下的矩矩阵阵是是f(x)=fA(x)=|xI-A|=(x-0)sh(x)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中h(x)是是A中右下角小中右下角小块块矩矩阵阵的特征多的特征多项项式式这样这样，0在在f(x)中的重数不小中的重数不小于于s，即，即dimV00的重数的重数现现在，我在，我们们可以来可以来证证明下面的定理了明下面的定理了 返回
12、返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.5.5设设是数域是数域F上上n维线性空间维线性空间V的一个的一个线性变换线性变换,可对角化的充分必要条件是：可对角化的充分必要条件是：1）的特征多项式的根都在的特征多项式的根都在F内；内；2）的每个特征根的每个特征根,dimV0的重数的重数证充分性设证充分性设的所以不同的特征根的所以不同的特征根1,2,t,在特征多项式在特征多项式f(x)的重数分别是的重数分别是r1,r2,rt.由条件由条件1)有有 r1+r2+rt=n返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页线线性无关，构成性无关，构成V的一个基，故的一个基，故可可对对角化角化必
13、要性必要性设设可可对对角化，角化，V有一个由有一个由的特征向的特征向量量组组成的基适当排列基向量的次序不妨成的基适当排列基向量的次序不妨设设式（式（6）是重新排列后的）是重新排列后的V的一个基，的一个基，在在这这个个由条件由条件2）有）有i=1,2,t.的一个基，的一个基，i=1,2,t.可可设设i1,是是根据定理根据定理6.5.3，n个特征向量个特征向量为为,21,t1,11,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页基下的矩基下的矩阵为阵为对对角角线线上每个上每个i有有xi个个.于是于是的特征多的特征多项项式式为为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此1,2,t是它
14、的全部互异的特征根，是它的全部互异的特征根，均属于数域均属于数域F，且，且i的重数是的重数是ri,i=1,2,t又由于又由于i1,线线性无关，均是性无关，均是的向量，的向量，从而有从而有另一方面，由定理另一方面，由定理6.5.4，又有，又有所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由定理由定理6.5.4和定理和定理6.5.5可知，要把一个可可知，要把一个可对对角角化的化的线线性性变换变换对对角化，我角化，我们们只需只需对对的每个的每个特征根特征根i，求出，求出Vi的基，凑成空的基，凑成空间间V的由的由的特征向量的特征向量组组成的基，成的基，在在这样这样的一个基下的一个基下的矩的矩
15、阵阵就具有就具有对对角形式角形式4.线性变换对角化的方法和例子线性变换对角化的方法和例子返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1对对6.4中例中例4的的R上的三上的三维线维线性空性空间间V的的线线性性变换变换，由于，由于f(x)的根的根1，1，-2均在均在R内，且内，且dimV1=2=1的重数，的重数，dimV-2=1=-2的重数，所以的重数，所以可以可以对对角化角化特征子空特征子空间间V1的基是的基是-21+2,3，而特征子，而特征子空空间间V-2的基是的基是-1+2+3 令令1=-21+2,2=3,3=-1+2+3,1,2,3构成构成V的一个基，的一个基，在在这这个基下的个基
16、下的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(1,2,3)=(1,2,3)即即又因又因为为矩矩阵阵是是是由基是由基1，2，3到基到基1，2，3返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的的过过渡矩渡矩阵阵由定理由定理6.3.4有有注意注意:T正好是由方程正好是由方程组组(I-A)X=0与与(-2I-A)X=0的的基基础础解系中的向量作列向量拼成的矩解系中的向量作列向量拼成的矩阵阵返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.5.6设设A是数域是数域F上的一个上的一个n阶矩阵阶矩阵.A(在在F上上)可对角化的充分必要条件是：可对角化的充分必要条件是：1）A的特征根都在
17、的特征根都在F内；内；2）对于）对于A的每个特征根的每个特征根i,有秩有秩(iI-A)=n-ri,其中其中ri是是i的重数的重数三三.矩阵可对角化的充要条件，方法及应用矩阵可对角化的充要条件，方法及应用1.矩阵可对角化的充要条件矩阵可对角化的充要条件2.矩阵的对角化方法矩阵的对角化方法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页如果数域如果数域F上的上的n阶阶矩矩阵阵A可以可以对对角化，那么角化，那么对对A的每个特征根的每个特征根iF，i=1,2,n.齐齐次次线线性方程性方程组组(iI-A)X=0的基的基础础解系中的每个解向量都是解系中的每个解向量都是A的特征向量的特征向量设设A有有s个两
18、两不同的特征根就求得个两两不同的特征根就求得s个基个基础础解系：解系：这这s个基个基础础解系中共含解系中共含n个特征向量个特征向量.它它们们是是线线性性无关的无关的.把把这这n个特征向量个特征向量Tij作作为为列列,按照按照1,2,n的相的相应顺应顺序拼成一个可逆矩序拼成一个可逆矩阵阵T,于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上面上面讨论讨论了当了当A可可对对角化角化时时,如何求可逆矩如何求可逆矩阵阵T的的问题问题.下面把判断下面把判断A是否可是否可对对角化及可角化及可对对角化角化时时如如何何计计算算T(T-1AT为对为对角
19、形角形)的方法及步的方法及步骤归纳骤归纳如下如下:1)求矩求矩阵阵A的全部特征根的全部特征根.如果如果这这些根不全在些根不全在F内内,那么那么A在在F上不能上不能对对角化角化.2)如果如果A的特征根都在的特征根都在F内内,那么那么对对A的每个特征根的每个特征根,求出求出齐齐次次线线性方程性方程组组返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的一个基的一个基础础解系解系3)如果每个特征根如果每个特征根的重数与的重数与齐齐次次线线性方程性方程组组(I-A)X=0基基础础解系所含解向量的个数相等，解系所含解向量的个数相等，那么那么A可可对对角化把角化把这这些解向量作些解向量作为为列拼成一列拼成一
20、个个n阶阶可逆矩可逆矩阵阵T,T-1AT就是就是对对角形矩角形矩阵阵返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2判断下列矩判断下列矩阵阵A能否与能否与对对角矩角矩阵阵相似相似若能若能,求出可逆矩求出可逆矩阵阵T,使使T-1AT是是对对角形矩角形矩阵阵（2）（1）返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解(1)fA(x)=|xI-A|=(x+1)2.在在这这里里-1是是A的二重特征根的二重特征根,而秩而秩(-1I-A)2-2A在任何数域上都不能在任何数域上都不能对对角化角化解解(2)A 的特征根的特征根为为1,i,-i.A在在R上不能上不能对对角化角化,在在C上可上可对对角化
21、角化.以以齐齐次次线线性方程性方程组组(1I-A)X=0,(iI-A)X=0和和(-iI-A)X=0的基的基础础解系的解向量解系的解向量为为列拼成的矩列拼成的矩阵阵返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则则有有例例3计计算算3.矩阵对角化的应用矩阵对角化的应用返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 解令解令A,A有特征根有特征根-1，-1，5对对特征根特征根-1,解方程解方程组组(-1I-A)X0,解得基解得基础础解解系系对对特征根特征根5,解方程解方程组组(5I-A)X=0,得基得基础础解系解系，返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页用上面三列拼成矩用上面三列拼
22、成矩阵阵T=则则有有T-1AT=于是有于是有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页习题习题6.51.设设与与分分别别是是线线性性变换变换的属于特征根的属于特征根1与与2的特征向量的特征向量,而且而且12.证证明明,+不可能不可能是是的特征向量的特征向量2.设设上三角形矩上三角形矩阵阵返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3.设设是数域是数域F上三上三维线维线性空性空间间V的一个的一个线线性性变变换换，且，且在基在基1,2,3下的矩下的矩阵为阵为1）求）求的每个特征子空的每个特征子空间间的一个基；的一个基；的的对对角元素角元素1
23、1,22,nn各不相同各不相同证证明，明，A可以可以对对角化角化A返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页4.在下列矩在下列矩阵阵中，那些可以在中，那些可以在实实数域上数域上对对角化？角化？那些可以在复数域上那些可以在复数域上对对角化？角化？对应对应可可对对角化的，角化的，求出相求出相应应的的过过渡矩渡矩阵阵T，并，并验验算算T-1AT：2）能否能否对对角化？若能，求出相角化？若能，求出相应应的基和的基和过过渡渡矩矩阵阵T，并，并验验算算T-1AT.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页5.设设A,求求Ak(k为为正整数正整数).6.设设AMn(F),若若Am0，m是某个自然数，则称是某个自然数，则称A为幂零矩阵，证明：若为幂零矩阵，证明：若A0是幂零矩阵，则是幂零矩阵，则A不能对角化不能对角化.