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1、2 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件一、相似矩阵及其性质一、相似矩阵及其性质二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件1一、相似矩阵及其性质一、相似矩阵及其性质定义定义3.3 设设A,B均为均为n阶方阵阶方阵,若若 可逆矩阵可逆矩阵P,使得使得 P 1AP=B,(3.8)则称则称A与与B相似相似,记作记作A B.性质性质3.1 基本性质基本性质1)反身性反身性;定理定理3.5 若若A B,则则1)|A|=|B|;2)R(A)=R(B);3)A 1 B 1,A,B均可逆均可逆.2)对称性对称性;3)传递性传递性.22 相似矩阵可对角化的条件相似矩阵可对角化的条件若若推论推论 3.2定理定理
2、3.6 若若A B,则则A与与B的特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而A与与B的特征值亦相同的特征值亦相同.证明证明 A B 可逆阵可逆阵P,使得使得P 1AP=B,则则l l1,l l2,l ln 是是A的的n个特征值个特征值.推论推论3.3 若若A B,则则Am Bm,m ZZ.32 相似矩阵可对角化的条件相似矩阵可对角化的条件定理定理3.7 A与对角矩阵相似与对角矩阵相似 A有有n个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量.证明证明 “”设设 可逆阵可逆阵P,使使 P 1AP=L L 为对角阵为对角阵.将将P按列分块按列分块:P=(p1,p2,pn),因而有因而有于是有于是有 Api=
3、l li pi,i=1,2,n.二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件42 相似矩阵可对角化的条件相似矩阵可对角化的条件“”设设p1,p2,pn为为A的的n个线性无关的特征向个线性无关的特征向量量,则有则有Api=l li pi,i=1,2,n.即即即即AP=PL L.又又P可逆可逆,则有则有 P 1AP=L L 为对角阵为对角阵.52 相似矩阵可对角化的条件相似矩阵可对角化的条件推论推论3.4 若若An的的n个特征值互不相等，则个特征值互不相等，则A与对角阵相似与对角阵相似注注1 A可对角化可对角化,但但A未必有未必有n个相异的特征值个相异的特征值,如如aE 可对角化可对角化,但其只有
4、一个但其只有一个n重特征值重特征值.注注2 若若A的特征方程有重根的特征方程有重根,此时不一定有此时不一定有n个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量,从而从而A不一定可对角化不一定可对角化,但若能但若能找到找到n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,则则A仍可对角化仍可对角化.定理定理3.8 设设l li为为An的的 ni重特征值重特征值,i=1,2,m,n1+n2+nm=n,则则 An L L(对角矩阵对角矩阵)R(l liE A)=n ni .证明证明“”An L L 可逆阵可逆阵P使使P 1AP=L L,62 相似矩阵可对角化的条件相似矩阵可对角化的条件即即 即即pij,i=1,m
5、,j=1,ni 是方程组是方程组的解的解.72 相似矩阵可对角化的条件相似矩阵可对角化的条件则则“”的基础解系有的基础解系有ni个线性无关的向量个线性无关的向量矛盾矛盾 因因A L L,由定理由定理3.7知知A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,若若 82 相似矩阵可对角化的条件相似矩阵可对角化的条件A能否对角化能否对角化?若能对角化若能对角化,则求出可逆矩阵则求出可逆矩阵P,使使P 1AP为对角阵为对角阵.例例3.3 设设 解解故故A的全部特征值为的全部特征值为l l1=l l2=1,l l3=2,92 相似矩阵可对角化的条件相似矩阵可对角化的条件将将l l1=l l2=1代入方
6、程组代入方程组(l lE A)x=0,解之得基础解系解之得基础解系 x x1=(2,1,0)T,x x2=(0,0,1)T.将将l l3=2 代入方程组代入方程组(l lE A)x=0,其基础解系为其基础解系为x x3=(0 1,1,1)T.由于由于x x1,x x2,x x3线性无关线性无关,则则A可对角化可对角化.令令故故注注 若令若令即即P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要对应的列向量和对角矩阵中特征值的位置要对应.102 相似矩阵可对角化的条件相似矩阵可对角化的条件例例3.4 x,y为何值时为何值时,解解与对角矩阵相似与对角矩阵相似?则则l l1=1,l l2=l l3=1.x+y=0.由定理由定理4.8知知,(l l2E A)x=0 的的基础解系中有基础解系中有2个向量个向量,因而因而R(l l2E A)=1.则有则有112 相似矩阵可对角化的条件相似矩阵可对角化的条件