矩阵的可对角化及其应用 .doc

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1、附件： 分类号O15 商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用作者单位 数学与计算科学系 指导老师 刘晓民 作者姓名 陈毕 专业班级 数学与应用数学专业07级1班 提交时间 二0一一年五月 矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系2007级1班）指导老师 刘晓民 摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂利用特征值求行列式的值由特征值

2、和特征向量反求矩阵判断矩阵是否相似向量空间线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换Matrix diagonolization and its applicationChen Bi(Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science) Advisor:Lecturer Liu Xiao MinAbstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matr

3、ix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discus

4、sed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear

5、transformation, etc. Key words: The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation 引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化的判定条件以及如何应用可对角化的相关性质将矩阵化为对角形，同时也总结了它在相关方面的运用。预备知识：定义1：如下形式的nn矩阵= 称为对角矩阵简记为=diag(

6、,) 定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和P都有，则称为V的一个线性变换定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量，

7、由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间。 定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X使得B=AX，则称A相似于B，记为AB，并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。主要结论：1.1A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量。 证明：必要性设在基下具有对角矩阵，这就是说，因此就是的n个线性无关的特征向量。反过来，如果有n个线性无关的特征向量，那么就取为基，显然在这组基下的矩阵是对角矩阵。推论1.1.1如果在n维线性空间V中，线性变换的特征多项式在数域P中有n个不同的根，即有n个不同的特征值，那么在某

8、组基下的矩阵是对角形的。推论1.1.2在复数域上的线性空间中，如果线性变换的特征多项式没有重根，那么在某组基下的矩阵是对角形的。 例：已知在一组基下的矩阵为，试问A是否可对角化？若能，写出相应的基变换的过渡矩阵T。 解：由于所以特征值为。当时，解方程组，求得它的基础解系是，因此对应的的的特征向量为。当时，解方程组，求得它的基础解系是，因此对应的特征向量为。综上可知的特征值为7，-2对应的特征向量为，又，即过渡矩阵T=且有2.1.A可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n. 证明：必要性 设所对应的矩阵可对角化，即存在V的一组基，使在这组基下的矩阵为。互不相同，显然，对于任一向量，则这里，于是。下

9、证就是的一组基，显然只需证每个与特征根相应的特征向量都可由线性表出，先将分解，即，如果，那么是的属于特征根的特征向量，并且不能全为零。设其中只有，是中的k个元素，那么，这显然矛盾，故即。同理可证与相应的一组基向量是的一组基，与相对应的一组基向量是V的一组基，故V=，即V的维数等于各特征子空间的维数之和。 充分性 取的一组基且在这组基下的矩阵为，则为V的一组基，从而在此基下的矩阵为，故可对角化，即所对应的矩阵可对角化。 例设A=，试判断A是否可对角化？若能，则求出可逆矩阵T使A成对角形。 解：A的特征多项式得（二重），（二重）是A的两个互异的特征根，又有特征矩阵。秩均为2，易得， 令。则为A的属

10、于0的所有线性无关的特征向量，为A的属于2的所有线性无关的特征向量。令T= ，则有3.1.A可对角化当且仅当A的所有重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数。 证明：若所对应的矩阵可对角化，则有V=，这里是的所有互不相同的特征根，取每个的一组基，合起来就是V的一组基，那么在这组基下的矩阵显然是对角形。A=。于是的特征多项式为，显然的根都在F内，且每个特征根的重数恰是的维数，必要性得证。 反之，若设是的特征多项式的全部根，它们的重数分别设为，那么，取每个V的一组基，合起来凑成一个含有n个向量的向量组，从而是V的一组基，故在这组基下的矩阵为对角阵。 例：判断矩阵A=是否可对角化，若可以，求

11、可逆矩阵T使为对角阵。 解：设,且故A的特征值为（二重），其中，又中的零行数=2=的重数，的零行数=1=的重数，故A可对角化，由可得是A属于2的线性无关的特征向量，由可得是A属于-4的线性无关的特征向量，令T=，则.4.1.A可对角化当且仅当A的初等因子是一次的。 定理4：复数域上每一个阶矩阵都与一个若尔当标准形相似。这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的。它称为的若尔当标准形。由相似是一个等价关系知，与相似的矩阵都有相同的若尔当标准形。从这个意义上讲，我们可以把级方阵划分为以若当标准形为代表元素的等价类。等价类中的每个元素是相似的。由若尔当标准形的构造知，它包含对角形矩阵

12、为它的特殊情况。那么当它满足什么条件时，一个若尔当标准形是一个对角矩阵，也就是可对角化的条件。由于每个初等因子对应一个若当块，例如初等因子为，那它对应的若当块为， 而若当形矩阵是由这样的若当块组成的。例：， 所以如果每一个若当块都是1阶，那么，这个若当形矩阵J就成了对角阵，那么与之对应的初等因子都是一次的。推论4.1.1：n级方阵可对角化的充要条件它的不变因子无重根推论4.1.2：n级方阵可对角化的充要条件它的最小多项式无重根这三个充要条件充分利用了不变因子，初等因子及最小多项式之间的关系，但在具体的解题过程中很少直接去求不变因子和初等因子，一般情况下是通过求最小多项式来解题的。例：由最小多项

13、式的定义知，对于任一个零化多项式都满足 ，表示矩阵A的最小多项式。因此若无重根，则一定无重根。当然这只是一种方法。由此给出推论4.1.3：n级方阵可对角化的充分条件是它的零化多项式无重根。推论4.1.4：n级方阵可对角化充分条件特征多项式无重根 例：设复数域上的矩阵A=，求A的最小多项式，并判定A是否可对角化？ 解：，,由于中右上角的2阶子式，所以，故，可见即是A的最小多项式，利用有理多项式求有理根的方法知，从而，于是A的特征值为，由于无重根，故A在复数域上可对角化。5.1.A是实对称矩阵，则A可对角化。 定理5.1.1在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，即对于任意一个对称矩阵A

14、都可找到一个可逆矩阵C使AC成对角阵。 例：化二次型成标准型。 解：的矩阵为，取再取再取，正是对角矩阵，因此令，就有，作非退化线性替换X=CY，即得。二：求一组基，使线性变换再该基下的矩阵为对角矩阵的计算。第一步，取n维线性空间V的一组基，求线性变换在该基下的矩阵A。第二步，求n级可逆矩阵X，使为对角矩阵。第三步，由求出V的另一组基，则在该基下的矩阵为对角矩阵. 例：设是四维线性空间V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为A=1）求在基下的矩阵2）求一可逆矩阵T，使成对角形。解：因为=，而故在基下的矩阵为B=2）因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以，即特征值为，对应特征值0的线性无关的特征向量为

15、，对应特征值1的特征向量为，对应特征值的特征向量为3）由得，且三：可对角化矩阵的应用。1.求方阵的高次幂 例设V是数域P上的一个二维线性空间，是一组基，线性变换在下的矩阵A=，试计算。 解：首先计算在V的另一组基下的矩阵，这里，且在下的矩阵为显然，再利用上面得到的关系我们可以得到2.利用特征值求行列式的值。例：设n阶实对称矩阵=A满足，且A的秩为r，试求行列式的值。 解：设AX=X，X0，是对应特征值的特征向量，因为，则，从而有，因为X0，所以，即=1或0，又因为A是实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵，A的秩为r，故存在可逆矩阵P，使=B，其中是r阶单位矩阵，从而3由特征值与特征向量反求矩阵。

16、若矩阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使，其中B为对角矩阵，则 例 设3阶实对称矩阵A的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A。 解：因为A是实对称矩阵，所以A可以对角化，即A由三个线性无关的特征向量，设对应于的特征向量为，它应与特征向量正交，即，该齐次方程组的基础解系为，它们即是对应于的特征向量。取，则，于是4判断矩阵是否相似 例 下述矩阵是否相似 解：矩阵的特征值都是 (二重)，其中已是对角阵，所以只需判断是否可对角化，先考查，对于特征值解齐次线性方程组得其基础解系为，由于是的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故不可对角化或者说与不相似。 再考查，对于特征值，解齐次线性方程组得基础解系，对于特

17、征值解齐次线性方程组，得基础解系，对于特征值解齐次线性方程组，得基础解系，由于有三个线性无关的特征向量，所以可对角化，即与相似。 5求特殊矩阵的特征值 例 设A为n阶实对称矩阵，且，又， 求（1）A的全部特征值，（2）行列式的值 解：（1）设为A的任一特征值，为A的对应特征值的特征向量，所以，有，又因为，所以，所以，由此可得或0，因为A是实对称矩阵，所以A必能对角化即，且，故2的个数为A的秩数，即A的特征值为r个2及(n-r)个0 （2）因为由（1）可得AB，即存在可逆矩阵C，使得，故有,=6在向量空间中的应用 例 设是n使维列向量空间，A是n阶复矩阵，是任一复数，令，则若A相似于对角阵，有证

18、明：对任意，有和所以 又因为A相似于对角阵，有与的解空间相同，所以和，所以。7在现行变换中的应用 例 设为数域P上次数小于n多项式及零多项式的全体，则微分变换在的任何一组基下的矩阵不是对角形。 证明：取的一组基，则在这组基下的矩阵为，所以，若在某一组基下的矩阵B为对角矩阵，由知A可对角化，存在可逆矩阵T使得，所以，由的全为零知B=0，所以A=0，这不可能，所以微分变换在的任何一组基下的矩阵都不是对角阵参考文献:1北京大学教学系几何与代数教研室代教小姐尚等代数(第二版)M北京：高等教育出版社，19882胡显佑主编线性代数挚习指导天津：南开大学出版社，19973刘九兰，张乃一，曲问薄主编线性代数考

19、研必馕，天津：天牵大学出版社，200B。54谢国瑞主编线性代数及应用北京：高等教育出版社。19995张学元主编线性代数能力试题题解武汉：华中理工大学出版社，20006徐仲主编线性代数典型题分析解集西北工业大学出版社，1998，67樊辉，钱吉林主编，代数学辞典武汉；华中师范大学出艋社1994，128曹锡皓高等代数M北京：北京师范大学出版社，19879张远达线性代数原理M上海：上海科学出版社，198110张力宏高等代数M北京：人民教育出版社，200211刘学鹏特殊矩阵的特殊对角化方法研究J大学数学，2005，21(5)：112115.12彭海明对“矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨”的改进意见J数学通报，1993（2）：45-47 谢 辞在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师刘晓民副教授的悉心指导，在此表示衷心的感谢。刘老师严谨治学的态度使我受益匪浅.在论文写作的这段时间里,他时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,最后才能使得我顺利完成论文。同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友。