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1、n阶矩阵可对角化的条件重庆师范大学涉外商贸学院 数学与应用数学 2017级 王珊指导教师 常文龙摘 要：矩阵是一个重要的代数原理也是对代数的研究的核心。同时它也是高等代数里面的一个基本概念。对角矩阵在理论研究以及对矩阵的相关性质的概括中来说非常重要。本文是关于矩阵可对角化问题的初步研究。首先介绍对角矩阵的定义，矩阵有着如有它的特征值、它的特征向量还有它的矩阵可以进行对角化等概念。在对n阶的矩阵进行对角化的时候，要对它的条件进行归纳还有总结，从而得到其可以对角化的相关条件和常用方法，如最小多项式的方法，辅之典型例题来加深对定理的认识。后面给出了两种判断n阶矩阵是否可对角化的步骤，一种是通过求解矩
2、阵的特征根对应的基础解析所含解向量的个数是否等于特征根的重数来进行判断。另一种则是对矩阵进行一系列的相似变换后化为对角矩阵。后者为矩阵对角化问题中求得特征值、特征向量,求可逆矩阵,使其对角化,提供了简便,快捷的方法。关键词：对角矩阵,矩阵对角化,特征值,特征向量Abstract:MatrixisanimportantbasicconceptinHigherAlgebraandamainresearchobjectofalgebra.Asaspecialkindofmatrix,diagonalmatrixisofgreatsignificanceintheoreticalresearchand
3、matrixpropertygeneralization.Thispaperisapreliminarystudyonthediagonalizationofn-ordermatrices.Firstly,thedefinitionofdiagonalmatrix,matrixeigenvalue,eigenvectorandtheconceptofdiagonalizationofmatrixareintroduced.Then,theconditionsofdiagonalizationofn-ordermatrixaresummarized,andthecommonsufficienta
4、ndnecessaryconditionsofdiagonalizationofmatrixandtheminimumpolynomialmethodareobtained,supplementedbytypicalexamplestodeepentheunderstandingofthetheorem.Twostepstojudgewhetherann-ordermatrixcanbediagonalizedaregiven.Oneistodeterminewhetherthenumberofsolutionvectorscontainedinthebasicanalysiscorrespo
5、ndingtotheeigenvalueofthematrixisequaltothemultiplicityoftheeigenvalue.Theotheristotransformthematrixintodiagonalmatrixafteraseriesofsimilartransformations.Thelatterprovidesasimpleandquickmethodforfindingtheeigenvaluesandeigenvectors,findingtheinvertiblematrixanddiagonalizingit.Key words：Diagonal ma
6、trix, Matrix diagonalization, Eigenvalue, Eigenvector 矩阵作为一个重要的概念，其在高等代数里的地位是不能低估的。与此同时，它也是一种用来研究许多数学分支的重要的工具。作为一种特殊的矩阵，对角矩阵的形状可以说的上简单，所以研究很方便。研究矩阵的对角化和其理论含义也是有意义的。将矩阵对角化，就是给出了一个矩阵更简单的相似的等价矩阵。他们拥有很多一样的性质，如特征根。这时根据他们相同的性质，我们可以看成他们之间没有区别，此时若是需要研究一个可以对角化的矩阵，就只需要研究它的另一个标准化的矩阵。对角矩阵作为最简单的一种矩阵类型研究起来非常方便。矩阵
7、的一个非常重要的特点就是线性代数中的矩阵是否能进行相应的对角化，。矩阵对角化现象及其理论是在高等代数和线性代数中最重要的核心内容。人们从这项研究中得出了许多有用的发现和结论。比如一些充分和必要条件：是否有个线性无关的特征向量是一个n阶方阵A能够进行对角化的充分必要条件；方阵可以对角化的必须满足它的最小多项式没有重根等，除此之外还有其他的充分条件。本课题旨在于前人研究的基础上，由查阅相关资料和重要的参考文献等，给出对应的证明过程来总结和归纳对角化的条件。1.准备知识1.1对角矩阵定义1我们把一个除了对角线之外的数字全为0的矩阵称作对角矩阵，对角线上的数字不做特别规定。其形状为,简记为1.2矩阵的
8、特征值、特征向量的概念 定义2 若是一个n阶矩阵，对于存在数与n维非零向量，有成立，就称数为方阵A的一个特征值，非零向量称为方阵A的关于特征值的一个特征向量。若将关系式改写为该齐次线性方程组是由n个未知数n个方程组成的.它有非零解的充要条件是。该关系式是一个以为变量的一个一元n次方程，这就是方阵A的一个特征方程。是的n次多项式，记成,我们把它称为方阵A的特征多项式。可以得知，A的特征值即这个方程的解。在复数范围内特征方程始终有解，它的个数就是方程的次数，如果是重根则按重的次数计算.从而，在复数范围内n阶矩阵有n个特征值。在此给出求解方阵的特征值和特征向量的方法：(1)根据=0求出来的个特征值，
9、设是的各不相同的特征值,它们的重数为则。(2)求解齐次线性方程组,其基础解系()就是所对应特征值的线性无关的特征向量。由上可以看出，矩阵的特征值、特征向量与矩阵能否对角化密切相关，下面将介绍矩阵对角化的概念。1.3 n阶矩阵可对角化的概念定义3 矩阵是数域P上的一个级方阵，若有一个n级可逆矩阵X属于P,可以让变成对角形的矩阵，就可以说矩阵能够进行对角化。任何一个方阵的每个特征值都有与之对应的特征向量，他们都满足，则这个方程可以写成 我们定义矩阵,，则上式可写成,若矩阵是可逆阵，则有 2.矩阵能够进行对角化的条件高等代数中一个极其重要的内容就是矩阵能够进行对角化，同样的，这也是实际工程中一个应用
10、十分广泛的手段。本节将用实例或者证明，介绍一些常用的矩阵对角化条件和方法。2.1利用特征值，特征向量判断矩阵是否可对角化定理1 数域上的一个阶方阵能够进行对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量。定理2 若有，则能够进行对角化的充要条件就是：(1)的特征根属于数域 (2)的不同特征根,都有，并且是的重数值得一提的是， (2) 也可描述为以下这样：齐次线性方程组的基础解系中包含的向量的个数就等于特征根的重数(就是代数重数等于几何重数)。 (2)还可改述为这样：令有，就是线性无关的的互异特征根的特征向量总数为。条件(1)，(2)也等价为:的每个不同特征值的特征子空间的维数之和为。例1 给出的一个方
11、阵A，其阶数为3，它的的3个特征值为1，1，2。对应的特征向量分别是,求解出矩阵A。分析 知道了n阶矩阵A的特征值和特征向量，反向求解矩阵A，若A能够进行矩阵对角化，就可以通过最简单的计算来完成.实际上来说，当有由A的n个线性无关的特征向量组成的可逆矩阵P，且n阶矩阵A能够进行对角化时，有，那么就是由A的所有特征值组成的对角矩阵，则即为所求。 解 取，由知矩阵A有3个线性无关的特征向量，由定理1可得，则2.2最小多项式法一般来说，如果有一个阶矩阵，在有关对角化时优先思考它是否具备个线性无关的特征向量，这样的情况就显得十分复杂。矩阵的另外一个能够对角化的充分必要条件可以用最小多项式的方法给出来，
12、同时做到更加简便的要求。第一，先提出一个公认的结论：阶矩阵是它的特征多项式的一个根,就是：.因而对任何一个矩阵来说至少会有一个非零的多项式使，凡是具有这个性质的多项式，我们都将其称为的零化多项式，显然的零化多项式不只一个，类似的任意乘上一个倍数式，他们都是的不同的零化多项式。现在做出如下的定义，把的最小多项式认为是一个在阶矩阵的零化多项式中, 次数最低同时它的首项系数是1的多项式，记为.如下是零化多项式和最小多项式之间的关系：（1） 是阶矩阵的一个零化多项式， 的一个最小多项式即为，则，特别的；（2） 为 阶矩阵，是中所有元素的最大公因式，则有；（3） 阶复矩阵相似于它的一个对角矩阵的充要条件
13、即的最小多项式没有重根。证明过程 必要性 通过相似于对角矩阵,特征矩阵的因子里面一定会有一个一次式,多有最后的一项不变因子也必须是不同的一次因式的乘积，这说明了最小多项式不会存在重根。充分性 由于不会存在重根,通过| ,的所有的不变因子都不可能存在重根，特征矩阵是复数域上的一个矩阵,它的初等因子必然是一次式，所以一定相似于对角矩阵。例2 设，则与对角矩阵相似。分析 从题目所给的信息中，可以知道的零点，又因A的最小多项式整除A的零化多项式，即，可知A的最小多项式没有重根， 通过上面的叙述我们知道，一个矩阵A它的最小项不存在重根就是它能够进行对角化的充分必要条件。因此，矩阵A是能够进行对角化的操作
14、的。证明 因，知是的一个根，有，又由于的最小多项式，同时， 不存在重根，有没有重根，因此由（3）可以得知：相似于对角矩阵。 3.判定矩阵A能不能对角化的方法 3.1常规方法首先：我们要先求解出所有是A的特征根来，其次：要是说的特征根都在数域内(否则不能够进行对角化), 那么就有对每个特征根, 一次求出来它对应的齐次线性方程组的基础解系， 最后：要是对所有的特征根,的基础解系内所包含的解向量个数都是的重数(否则不能够进行对角化), 就有能够对角化,用全部基础解系里头的向量，把它们当成列，形成一个阶可逆的矩阵P, 同时是一个对角阵, 的全部特征根就是它的对角线上的元素。例3 对矩阵能不能进行对角化
15、进行判断。分析 将矩阵是否可以对角化这一问题与求它的特征值以及基础解析联系起来，通过判断基础解系所含解向量的个数是否等于对应的特征根的重数来确定矩阵A是否可以对角化，这是一种最基础的且必须掌握的方法。解 的特征多项式= = =解得的特征值是（2重），（1重），对于特征根-4，求出齐次线性方程组的一个基础解系，对于特征根2，求出齐次线性方程组的一个基础解系，因为基础解系里面解向量的个数就是它对应的特征根的重数，通过定理2有能够进行对角化。令,则得到3.2矩阵对角化方法的新探众所周知,对数域上一个阶矩阵是否存在一个可逆矩阵,使得为对角形的矩阵,若是有这样的一个矩阵，要先去求解它。通常情况下，都是先
16、求解出它的一个行列式，再利用行列式求出的特征值,由一系列线性方程组的相关知识和特征向量的相关理论来找到方法，它相比我们通常学的知识来说更加简单，可以省去不少的麻烦和计算步骤。相关知识：来看看，若有在数域上,对阶矩阵会有一个可逆的矩阵,让变为对角矩阵, 就可以在数域上对其对角化.如果可以对角化, 我们将矩阵A对角化,就是求出矩阵,将变为对角形矩阵.若矩阵A在数域上能够进行对角化, 就有在上的可逆矩阵,让变为对角形矩阵.所以的主对角线上的数字,就是的所有的特征值, 同时可表示： 其中为初等矩阵,i=1,2,.,s,于是,如果同样是一个初等矩阵, 通过矩阵之间种种的关系和性质，我们可以得到有 , 等
17、价于对分别进行了一次初等行变换和初等列变换.这时,我们就说我们已经对进行了一次相似的初等变换，即相似变换。轻而易举的,我们可以将经过多种步骤的相似变换化成.并且, （E在这里代表单位矩阵）可以有下列的初等变换, 就能将化成对角矩阵, 且可求得：,其中我们只对E进行一部分的初等列变换，当A无法对角化时, 就能变化化简A后求出它的特征值, 对它能不能对角化进行判断.同理地, 我们可以通过,做出相应的初等变换来将A化成对角矩阵B,且可求出T的值或由B求出A的特征值, 判断能否进行对角化：,通过初等行变换矩阵E，在经历相似的一系列变化后，就可以不用再行和列的交替变换，可以直接进行多次的行变换或者是列变
18、换，只要最后变换的矩阵与A差不多就行。例4判定可否对角化,若可以,则将其对角化.分析 简单而言,用代表i第行,代表第i列,代表数k乘上第j行后再和第i行相加,是k乘上第j列后再与第i列相加。我们通过初等变换该矩阵， 将A变形为B，求出T。由于此处不需要计算出行列式和解线性方程组可以有效得避免因数据过多而导致计算出现失误，大大提高计算的效率。解 由 由上可知,A可对角化,且取,有3.3 应用举例3.3.1 求方阵的高次幂例5设，求.分析 求方阵的高次幂（k为正整数），一般来说，对其直接求解是比较困难的。但如果矩阵可对角化，计算是有简单方法的。实际上，若有，其中，即有，则，而.故解：由，得的特征值
19、，.对于特征值解方程组，由，得，即，（，均为任意常数），则对应的特征向量为，.对于特征值，解方程组，由，得即，（为任意常数），则对应的特征向量为.令 ，则.3.3.2利用特征值求行列式的值例6 已知3阶矩阵的特征值为1，-1，2，设矩阵.试求：及.分析 对于已经确定的一个行列式，对行列式的恒等变形常常通过行列式的相关性质来进行，使新的行列式里面有尽可能多的0，将其化成一个三角的行列式，此时我们可以把答案写出来或按行（列）降低其阶数。解决行列式的办法不少，要视具体情况具体分析。计算不是非常具体的行列式时，要用行列式的性质和计算公式。该题中的A可以进行对角化，则可利用行列式的性质，较为简便得求解出
20、行列式。解：已知3阶矩阵有3个特征值，故存在可逆矩阵使得.于是，.4.结论凭借现代科学和技术的发展尤其是计算机技术的发展，它为研究矩阵理论提供了一个广泛的视角。因此，对科技运用领域内的工程和技术人员、从科学和工程学院毕业的毕业生和学生来说，学习和控制基本理论与方法至关重要，并具有重要的意义和应用价值。矩阵是数学的一个重要内容，是一个代数的中心研究课题，而矩阵的对角性也是矩阵理论的一个重要内容。本论文讨论了矩阵对角化的基本理论(在此基础上)，讨论了对角化的必要和充足条件，以便我们更容易理解并解决对角论问题。参考文献1 张禾瑞,郝炳新.高等代数M.北京:高等教育出版社,2007.2 王萼芳,石生明
21、.高等代数M.北京:高等教育出版社,2013.3 张枚.高等代数习题选编M.浙江:浙江科学技术出版社,1981.4 杨子胥.高等代数习题解M.山东:山东科学技术出版社,2001.5 张贤达.矩阵分析与应用M.北京:清华大学出版社，2004.6 张建航，李宗成.方阵的伴随矩阵性质探讨J.高师理科学刊,2007，01：11-14.7 王志武.方阵可对角化的一个充要条件J.山东农业大学学报,2008，04：3-5.8 郭亚梅最小多项式与矩阵的对角化J河南机电高等专科学校报,2006,No.4:1061089张正成. 可对角化矩阵的应用J. 科技资讯,2007,No.24:252253.10向人晶. 矩阵可对角化的简单判定J. 数学通报,2003,3,No.12:1315.第 13 页 共 13 页