线性代数第1章.ppt

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1、线性代数线性代数 授课教师：周世军授课教师：周世军安徽工业大学经济学院安徽工业大学经济学院E-mail:教材及参考书教材及参考书教材：教材：教材：教材：赵树嫄赵树嫄赵树嫄赵树嫄 线性代数线性代数线性代数线性代数（第四版）中国人民大学出版社，（第四版）中国人民大学出版社，（第四版）中国人民大学出版社，（第四版）中国人民大学出版社，20082008参考书：参考书：参考书：参考书：同济大学数学教研室编同济大学数学教研室编同济大学数学教研室编同济大学数学教研室编线性代数线性代数线性代数线性代数（第三版）（第三版）（第三版）（第三版）线性代数线性代数线性代数线性代数简介简介简介简介 线性代数是研究有限维

2、空间中线性关系的理论和方法的数学。线性代数是研究有限维空间中线性关系的理论和方法的数学。线性代数是研究有限维空间中线性关系的理论和方法的数学。线性代数是研究有限维空间中线性关系的理论和方法的数学。线性代数是代数的一个分支，由于线性代数是代数的一个分支，由于线性代数是代数的一个分支，由于线性代数是代数的一个分支，由于费马和笛卡儿费马和笛卡儿费马和笛卡儿费马和笛卡儿的工作而起的工作而起的工作而起的工作而起源于十七世纪。源于十七世纪。源于十七世纪。源于十七世纪。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，历史上线性代数的第一个问题是关于解线

3、性方程组的问题，历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论矩阵论矩阵论矩阵论(英国英国英国英国数学家凯莱数学家凯莱数学家凯莱数学家凯莱A.Cayley,1821-1895)A.Cayley,1821-1895)A.Cayley,1821-1895)A.Cayley,1821-1895)和和和和行列式理论行列式理论行列式理论行列式理论(瑞士数学家瑞士数学家瑞士数学家瑞士数学家克莱姆克莱姆克莱姆克莱姆、法国数学家范德蒙及柯西

4、等人法国数学家范德蒙及柯西等人法国数学家范德蒙及柯西等人法国数学家范德蒙及柯西等人)的创立与发展，这的创立与发展，这的创立与发展，这的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。由于线性问题的广泛存在于技术科学的各个领域。某些非线由于线性问题的广泛存在于技术科学的各个领域。某些非线由于线性问题的广泛存在于技术科学的各个领域。某些非线由于线性问题的广泛存在于技术科学的各个领域。某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，也常性问题在一定条件下可以转化为线性问题，也常

5、性问题在一定条件下可以转化为线性问题，也常性问题在一定条件下可以转化为线性问题，也常“离散化离散化离散化离散化”为有限维问题来处理，因此线性代数的理论与方法已经渗透为有限维问题来处理，因此线性代数的理论与方法已经渗透为有限维问题来处理，因此线性代数的理论与方法已经渗透为有限维问题来处理，因此线性代数的理论与方法已经渗透到现代科学、技术、经济、管理的各个领域，提供描述、处到现代科学、技术、经济、管理的各个领域，提供描述、处到现代科学、技术、经济、管理的各个领域，提供描述、处到现代科学、技术、经济、管理的各个领域，提供描述、处理问题的思想和方法。理问题的思想和方法。理问题的思想和方法。理问题的思想

6、和方法。第一章：行列式第一章：行列式1.1.1 1.1.1 二阶行列式二阶行列式二阶行列式二阶行列式对于二元一次方程组对于二元一次方程组对于二元一次方程组对于二元一次方程组 定义二阶行列式则当时上述二元一次方程组有唯一解时上述二元一次方程组有唯一解时上述二元一次方程组有唯一解时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程并且通过带入消元法方程并且通过带入消元法方程并且通过带入消元法方程组的解为组的解为组的解为组的解为1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 即可用二阶行列式表示为即可用二阶行列式表示为即可用二阶行列式表示为即可用二阶行列式表示为,例例1 解二元一次方程组解二元一次方程组解

7、解,1.1.2 1.1.2 三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式定义三阶行列式为则三元一次方程组则三元一次方程组则三元一次方程组则三元一次方程组当当当当时方程组的解可用三阶行列式表示为时方程组的解可用三阶行列式表示为时方程组的解可用三阶行列式表示为时方程组的解可用三阶行列式表示为 例例例例2 2 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式 解解 1.2 逆序与对换逆序与对换 1.2.1 1.2.1 排列与逆序排列与逆序排列与逆序排列与逆序 自然数自然数自然数自然数组组组组成的有序数成的有序数成的有序数成的有序数组组组组称称称称为为为为一个一个一个一个元排列元排列元排列元排列,记为记为记为记为

8、.规规规规定按从小到大的定按从小到大的定按从小到大的定按从小到大的顺顺顺顺序排列的叫做序排列的叫做序排列的叫做序排列的叫做标标标标准排列（自然排列）准排列（自然排列）准排列（自然排列）准排列（自然排列）.为标为标为标为标准排列准排列准排列准排列.即排列即排列即排列即排列 定定定定义义义义1 1 在一个排列中在一个排列中在一个排列中在一个排列中,如果一如果一如果一如果一对对对对数的前后位置与大小数的前后位置与大小数的前后位置与大小数的前后位置与大小顺顺顺顺序相反序相反序相反序相反,即前面的数大于后面的数即前面的数大于后面的数即前面的数大于后面的数即前面的数大于后面的数,那么它那么它那么它那么它们

9、们们们就称就称就称就称为为为为一个逆序一个逆序一个逆序一个逆序,一个排列一个排列一个排列一个排列中逆序的中逆序的中逆序的中逆序的总总总总数就称数就称数就称数就称为这为这为这为这个排列的逆序数个排列的逆序数个排列的逆序数个排列的逆序数.排列排列排列排列的逆序数的逆序数的逆序数的逆序数记为记为记为记为 计计计计算排列逆序数的方法算排列逆序数的方法算排列逆序数的方法算排列逆序数的方法:对对对对于排列于排列于排列于排列,其逆序数其逆序数其逆序数其逆序数为为为为每个元素的逆序数之和每个元素的逆序数之和每个元素的逆序数之和每个元素的逆序数之和.中元素中元素中元素中元素，如果比，如果比，如果比，如果比大且排

10、在大且排在大且排在大且排在前面的元素有前面的元素有前面的元素有前面的元素有个，就个，就个，就个，就说说说说的逆序数的逆序数的逆序数的逆序数为为为为 ,全体元素的逆序数之和全体元素的逆序数之和全体元素的逆序数之和全体元素的逆序数之和为为为为 即对于排列即对于排列即对于排列即对于排列即即即即 例例例例3 3 求排列求排列求排列求排列 536214 536214 的逆序数的逆序数的逆序数的逆序数.解：解：解：解：在排列在排列在排列在排列536214536214中中中中定义定义定义定义2 2：逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排

11、列,逆序数为奇数的逆序数为奇数的逆序数为奇数的逆序数为奇数的排列称为奇排列排列称为奇排列排列称为奇排列排列称为奇排列.1.2.2 1.2.2 对换对换对换对换 定义定义定义定义3 3：把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动就得到另一个排列就得到另一个排列就得到另一个排列就得到另一个排列,这样一个变换称为一个对换这样一个变换称为一个对换这样一个变换称为一个对换这样一个变换称为一个对换.对换改变排列对换改变排列对换改变排列对换改变排列的的的的奇偶性奇偶性奇偶性奇

12、偶性.将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换,将一个偶排将一个偶排将一个偶排将一个偶排列列列列变成标准排列需要偶数次对换变成标准排列需要偶数次对换变成标准排列需要偶数次对换变成标准排列需要偶数次对换.n阶行列式的定义阶行列式的定义定定定定义义义义4 4 由由由由个数个数个数个数组组组组成数表成数表成数表成数表从中从中从中从中选选选选取取取取处处处处在不同行不同列的在不同行不同列的在不同行不同列的在不同行不同列的个元素相乘个元素相乘个元素相乘个元素相乘,其中其中其中其中为为为为的一的

13、一的一的一 个全排列个全排列个全排列个全排列,并冠以符号并冠以符号并冠以符号并冠以符号,则则则则为为为为阶阶阶阶行列式行列式行列式行列式,记记记记作作作作称和称和称和称和或简记为或简记为或简记为或简记为 ,其中其中其中其中表示表示表示表示处处处处在第在第在第在第行行行行,第第第第列位置的元素列位置的元素列位置的元素列位置的元素.例例例例4 4 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式其中未写出部分全为零其中未写出部分全为零其中未写出部分全为零其中未写出部分全为零.解解解解 在行列式的展开式中共有在行列式的展开式中共有在行列式的展开式中共有在行列式的展开式中共有个乘个乘个乘个乘积积积积 ,显然如

14、果显然如果显然如果显然如果 则则则则必必必必为为为为零零零零,从而从而从而从而这这这这个个个个项项项项也必也必也必也必为为为为零零零零,因此只因此只因此只因此只须须须须考考考考虑虑虑虑的的的的项项项项.同理只同理只同理只同理只须须须须考考考考虑虑虑虑 ,也即行列式的展开式也即行列式的展开式也即行列式的展开式也即行列式的展开式中只有中只有中只有中只有 (其他的项乘积均为零其他的项乘积均为零其他的项乘积均为零其他的项乘积均为零),),而而而而 ,因而其符号为正因而其符号为正因而其符号为正因而其符号为正.因此因此因此因此 定义定义定义定义5 5 对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为对角线以上（下

15、）的元素全为零的行列式称为对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为下（上）三角行列式下（上）三角行列式下（上）三角行列式下（上）三角行列式.由例由例由例由例4 4还可得出关于上、下三角行列式的如下结论还可得出关于上、下三角行列式的如下结论还可得出关于上、下三角行列式的如下结论还可得出关于上、下三角行列式的如下结论:例例例例5 5 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式解解 在行列式的展开式中共有在行列式的展开式中共有个乘个乘积积,显然如果显然如果 则则必必为为零零,从而从而这这个个项项也必也必为为零零,因此只因此只须须考考虑虑 的项的项.同理只须考虑同

16、理只须考虑,也即行列式的展也即行列式的展开式中只有开式中只有(其他的项乘积均为零其他的项乘积均为零),而而因而其符号因而其符号因而其符号因而其符号为为为为，因此由例由例由例由例5 5还可得出下三角行列式的如下结论：还可得出下三角行列式的如下结论：还可得出下三角行列式的如下结论：还可得出下三角行列式的如下结论：以上各种形式是计算行列式的常用形式以上各种形式是计算行列式的常用形式以上各种形式是计算行列式的常用形式以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式应该对这几种形式应该对这几种形式应该对这几种形式加以注意并加强对它们的理解和应用加以注意并加强对它们的理解和应用加以注意并加强对它们的理

17、解和应用加以注意并加强对它们的理解和应用.1.3 行列式的性质行列式的性质 行列式的行列式的行列式的行列式的计计计计算是一个重要的算是一个重要的算是一个重要的算是一个重要的问题问题问题问题,也是一个很麻也是一个很麻也是一个很麻也是一个很麻烦烦烦烦的的的的问题问题问题问题.对对对对于于于于阶阶阶阶行列式行列式行列式行列式,当当当当很大很大很大很大时时时时直接从行列式的定直接从行列式的定直接从行列式的定直接从行列式的定义进义进义进义进行行列式的行行列式的行行列式的行行列式的计计计计算算算算几乎是不可能的几乎是不可能的几乎是不可能的几乎是不可能的.为此有必要对行列式的性质进行研究为此有必要对行列式的

18、性质进行研究为此有必要对行列式的性质进行研究为此有必要对行列式的性质进行研究,从而简从而简从而简从而简化行列式的计算化行列式的计算化行列式的计算化行列式的计算.记记记记 称行列式称行列式称行列式称行列式为为为为行列式行列式行列式行列式的的的的转转转转置行列式置行列式置行列式置行列式.性质性质性质性质1 1 行列式与其转置行列式相等行列式与其转置行列式相等行列式与其转置行列式相等行列式与其转置行列式相等,即即即即性质性质性质性质2 2 互换行列式的两行互换行列式的两行互换行列式的两行互换行列式的两行(列列列列)元素元素元素元素,则行列式变号则行列式变号则行列式变号则行列式变号.推论推论推论推论1

19、 1 若行列式中某两行元素对应相等若行列式中某两行元素对应相等若行列式中某两行元素对应相等若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零则行列式的值为零则行列式的值为零则行列式的值为零.性性性性质质质质3 3 行列式某行元素都乘以数行列式某行元素都乘以数行列式某行元素都乘以数行列式某行元素都乘以数k k等于用等于用等于用等于用k k乘以行列式乘以行列式乘以行列式乘以行列式,即即即即推推推推论论论论2 2 由性由性由性由性质质质质3 3知若行列式中某行知若行列式中某行知若行列式中某行知若行列式中某行(列列列列)元素含有公因数元素含有公因数元素含有公因数元素含有公因数可以可以可以可以将数将数将数将

20、数提到行列式外提到行列式外提到行列式外提到行列式外.,则则则则推论推论推论推论3 3 若行列式的某两行若行列式的某两行若行列式的某两行若行列式的某两行(列列列列)元素对应成比例元素对应成比例元素对应成比例元素对应成比例,则此行列式的则此行列式的则此行列式的则此行列式的性质性质性质性质4 4 若行列式的某一行若行列式的某一行若行列式的某一行若行列式的某一行(列列列列)是两组数之和是两组数之和是两组数之和是两组数之和,则这个行列式可则这个行列式可则这个行列式可则这个行列式可值为零值为零值为零值为零.以写成两个行列式的和以写成两个行列式的和以写成两个行列式的和以写成两个行列式的和,即即即即此性质可以

21、推广到某一行元素为多组数之和的形式此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式.性性性性质质质质5 5 把行列式中某行把行列式中某行把行列式中某行把行列式中某行(列列列列)元素的元素的元素的元素的倍加到另外一行倍加到另外一行倍加到另外一行倍加到另外一行(列列列列)的的的的对应元素上去对应元素上去对应元素上去对应元素上去,行列式的值不变行列式的值不变行列式的值不变行列式的值不变.即即即即例例例例6 6 计计计计算行列式算行列式算行列式算行列式的的的的值值值值,其中其中其中其中解解解解 例例例例7 7 计计计计

22、算行列式算行列式算行列式算行列式的的的的值值值值,其中其中其中其中解法一解法一解法一解法一 分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第一行得一行得一行得一行得解法二解法二解法二解法二 利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得例例例例8 8 计计计计算行列式算行列式算行列式算行列式的的的的值值值值,其中其中其中其中解解解解

23、 例例例例9 9 计计计计算行列式算行列式算行列式算行列式的的的的值值值值,其中其中其中其中解解解解 把前一列乘以把前一列乘以把前一列乘以把前一列乘以加到后一列上去得加到后一列上去得加到后一列上去得加到后一列上去得再将第三列乘以再将第三列乘以再将第三列乘以再将第三列乘以加到第四列上去，第二列乘以加到第四列上去，第二列乘以加到第四列上去，第二列乘以加到第四列上去，第二列乘以加到加到加到加到第三列上去得第三列上去得第三列上去得第三列上去得由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的由于此时行列

24、式的第三列和第四列相等，因此由行列式的性质可得性质可得性质可得性质可得1.4 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开1.4.1 1.4.1 余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式定义定义定义定义6 6 在在在在 阶阶阶阶行列式行列式行列式行列式 中划去元素中划去元素中划去元素中划去元素 所在的第所在的第所在的第所在的第行和第行和第行和第行和第 列的元素列的元素列的元素列的元素,剩下的剩下的剩下的剩下的 个元素按原来的排法构成一个个元素按原来的排法构成一个个元素按原来的排法构成一个个元素按原来的排法构成一个 阶阶阶阶的行列式的行列式的行列式的行列式,称称称称为

25、为为为元素元素元素元素的余子式的余子式的余子式的余子式,记记记记作作作作 .对对对对冠以冠以冠以冠以符号符号符号符号后称后称后称后称为为为为元素元素元素元素 的代数余子式的代数余子式的代数余子式的代数余子式,记为记为记为记为 ,即即即即1.4.2 1.4.2 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开引理引理引理引理 设设设设是一个是一个是一个是一个阶阶阶阶行列式，如果其中第行列式，如果其中第行列式，如果其中第行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除行所有元素除行所有元素除 外都外都外都外都为为为为零，那么零，那么零，那么零，那么这这这这个行列式的个行

26、列式的个行列式的个行列式的值值值值等于等于等于等于乘以它的代数乘以它的代数乘以它的代数乘以它的代数，即，即，即，即余子式余子式余子式余子式定理定理定理定理1 1 行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘积之和积之和积之和积之和,即即即即 这个定理称为行列式按行这个定理称为行列式按行这个定理称为行列式按行这个定理称为行列式按行(列列列列)展开法则展开法则展开法则展开法则例例10 算行列式算行列式的的值值,其中其中解解 例例11 计计算行列式算行列式的的值

27、值，其中，其中解解 例例例例12 12 设设设设行列式行列式行列式行列式D D为为为为求求求求的的的的值值值值.解解解解 为为为为行列式行列式行列式行列式按第二行的展开式按第二行的展开式按第二行的展开式按第二行的展开式,因此因此因此因此的的的的值值值值等于行列式等于行列式等于行列式等于行列式.而而而而因此因此因此因此作为定理作为定理作为定理作为定理1 1的推论的推论的推论的推论,我们有我们有我们有我们有推推推推论论论论:n n阶阶阶阶行列式行列式行列式行列式D D的的的的的任意一行的任意一行的任意一行的任意一行(列列列列)的各元素与另一行的各元素与另一行的各元素与另一行的各元素与另一行(列列列

28、列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零对应元素的代数余子式乘积之和等于零对应元素的代数余子式乘积之和等于零对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即即即即或或或或 综合定理综合定理综合定理综合定理1 1及其推论，我们有关于代数余子式的下述性质：及其推论，我们有关于代数余子式的下述性质：及其推论，我们有关于代数余子式的下述性质：及其推论，我们有关于代数余子式的下述性质：或或或或思考题思考题:证明证明(其中其中 )三对角行列式三对角行列式:1.5 克莱姆法则克莱姆法则1.5.1 1.5.1 克莱姆（克莱姆（克莱姆（克莱姆（CramerCramer）法则）法则）法则）法则 现在我们来应用行列式解决线性方

29、程组的问题现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只在这里只在这里只在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形考虑方程个数与未知量个数相等的情形考虑方程个数与未知量个数相等的情形考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理定理定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组的系数构成的行列式的系数构成的行列式的系数构成的行列式的系数构成的行列式那么那么那么那么线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组(1)(1)有解有解有解有解,并且解是惟一的并且解是惟一的并且解是惟一的并且解是惟一的,解

30、可以由下式给出解可以由下式给出解可以由下式给出解可以由下式给出其中其中其中其中是行列式是行列式是行列式是行列式D D中第中第中第中第j j列换成方程组的常数项列换成方程组的常数项列换成方程组的常数项列换成方程组的常数项而得到的行列式而得到的行列式而得到的行列式而得到的行列式.此定理称为克莱姆法则此定理称为克莱姆法则此定理称为克莱姆法则此定理称为克莱姆法则,克莱姆法则主要解决方程个数克莱姆法则主要解决方程个数克莱姆法则主要解决方程个数克莱姆法则主要解决方程个数与未知量个数相等的方程组的求解问题，而这类方程组又与未知量个数相等的方程组的求解问题，而这类方程组又与未知量个数相等的方程组的求解问题，而

31、这类方程组又与未知量个数相等的方程组的求解问题，而这类方程组又是非常特殊、非常重要的方程组是非常特殊、非常重要的方程组是非常特殊、非常重要的方程组是非常特殊、非常重要的方程组.例例例例17171717解方程组解方程组解方程组解方程组解解解解 方程组的系数行列式方程组的系数行列式方程组的系数行列式方程组的系数行列式由克莱姆法则得由克莱姆法则得由克莱姆法则得由克莱姆法则得所以方程所以方程所以方程所以方程组组组组的唯一解的唯一解的唯一解的唯一解为为为为.定理定理定理定理3 3 如果如果如果如果齐次齐次齐次齐次线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组的系数构成的行列式的系数构成的行列式的系数构成的行列

32、式的系数构成的行列式那么它只有零解那么它只有零解那么它只有零解那么它只有零解.1.5.2 1.5.2 克莱姆法则的推论克莱姆法则的推论克莱姆法则的推论克莱姆法则的推论定理定理定理定理4 4 若非若非若非若非齐齐齐齐次次次次线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组无解或有多个解，无解或有多个解，无解或有多个解，无解或有多个解，则则则则其系数其系数其系数其系数行列式行列式行列式行列式D=0D=0.推推推推论论论论 :如果如果如果如果齐齐齐齐次次次次线线线线性方程性方程性方程性方程组组组组有非零解有非零解有非零解有非零解,则则则则它的系数行列式它的系数行列式它的系数行列式它的系数行列式D=0D=0.

33、例例例例18 18 为何值时为何值时为何值时为何值时,方程组方程组方程组方程组 有非零解有非零解有非零解有非零解.解解解解 由以上推论知由以上推论知由以上推论知由以上推论知,当齐次线性方程组有非零解时它的系数当齐次线性方程组有非零解时它的系数当齐次线性方程组有非零解时它的系数当齐次线性方程组有非零解时它的系数行列式行列式行列式行列式,即即即即所以所以所以所以.不不不不难验证难验证难验证难验证,当当当当时时时时方程方程方程方程组组组组确有非零解确有非零解确有非零解确有非零解.费马和笛卡儿简介费马和笛卡儿简介1.1.1.1.费马（费马（费马（费马（Pierre Simon de Fermat Pi

34、erre Simon de Fermat Pierre Simon de Fermat Pierre Simon de Fermat 法国数学家法国数学家法国数学家法国数学家1601-16651601-16651601-16651601-1665）费马最初学习法律，最后以图卢兹议会的议员终其一生。他博览群书，费马最初学习法律，最后以图卢兹议会的议员终其一生。他博览群书，费马最初学习法律，最后以图卢兹议会的议员终其一生。他博览群书，费马最初学习法律，最后以图卢兹议会的议员终其一生。他博览群书，精通多国文字和多门自然科学，成果累累。在精通多国文字和多门自然科学，成果累累。在精通多国文字和多门自然科

35、学，成果累累。在精通多国文字和多门自然科学，成果累累。在“数论数论数论数论”、“解析几何解析几何解析几何解析几何”、“概率论概率论概率论概率论”等方面都有重大贡献，被誉为等方面都有重大贡献，被誉为等方面都有重大贡献，被誉为等方面都有重大贡献，被誉为“业余数学家之王业余数学家之王业余数学家之王业余数学家之王”。费马特。费马特。费马特。费马特别爱好别爱好别爱好别爱好“数论数论数论数论”，他证明或提出许多命题，最有名的是，他证明或提出许多命题，最有名的是，他证明或提出许多命题，最有名的是，他证明或提出许多命题，最有名的是“费马大定理费马大定理费马大定理费马大定理”。2.2.2.2.笛卡儿（笛卡儿（笛

36、卡儿（笛卡儿（Descartes,RenDescartes,RenDescartes,RenDescartes,Ren）1596159615961596年年年年3 3 3 3月月月月31313131日生于法国都兰城。笛卡儿是伟日生于法国都兰城。笛卡儿是伟日生于法国都兰城。笛卡儿是伟日生于法国都兰城。笛卡儿是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人。是西大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人。是西大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人。是西大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人。是西方近代资产阶级哲学奠基人之一。被誉为方近代资产阶级哲学奠基人之一。被誉为方近代资产阶级哲学奠基人之一。被誉为方近代资产阶级哲学奠基人之一。被誉为“近代科学的始祖近代科学的始祖近代科学的始祖近代科学的始祖”。