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1、第一章 行列式行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。1.11.1 二阶、三阶行列式，二阶、三阶行列式，全排列及其逆序数全排列及其逆序数1.21.2 n 阶行列式的定义阶行列式的定义1.31.3 行列式的性质（行列式的性质（1 1）1.41.4 行列式性质（行列式性质（2 2）1.51.5 克莱姆法则克莱姆法则第一节二、三阶行列式 全排列及其逆序数一、二阶行列式与三阶行列式注：该定义称之为对角线法则。1.全排列：全排列：把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）
2、。2.逆序：逆序：对于 n 个不同的元素，先规定各元素之间的一个标准次序（如 n 个不同的自然数，可规定由小到大）于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素构成了一个逆序。二、全排列与逆序数3.逆序数：逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为这个排列的逆序数。4.奇排列与偶排列：奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。5.计算排列逆序数的方法：计算排列逆序数的方法：不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序。设 p1 p2 pn为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,
3、n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有i个，就说 pi 这个元素的逆序数是 i，即：(p1 p2 pn)=1+2+n 就是这个排列的逆序数。例例1 1 求排列13(2n 1)24(2n)的逆序数。解：解：在该排列中，1(2n1)中每个奇数的逆序数全为0，2的逆序数为(n 1)，4的逆序数为(n 2),，(2n 2)的逆境序数为1，2n的逆序数为0，于是该排列的逆序数为例例2 2 在19构成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列解：解：由题可知，j、k 的取值范围为3，8 当 j=3、k=8时，经计算可知，排列127435689的逆序数为5，即为奇排列 当
4、 j=8、k=3时，经计算可知，排列127485639的逆序数为10，即为偶排列 j=8，k=3例例3 设排列 p1 p2 p3pn的逆序数为k，求pnp3 p2 p1的逆序数（p1 p2 p3pn是1 n的某一排列）解：解：排列p1 p2 p3pn与排列 pnp3 p2 p1的逆序数之和等于1 n 这 n 个数中任取两个数的组合数即：第二节n阶行列式的定义设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积，并冠以符号(-1)，得形如 的项，其中p1p2pn为自然数1、2、n的一个一、定义排列，为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有 n!个，因而形如(1)式的
5、项共有 n!项。所有这 n!项的代数和其中 p1 p2 pn是1 n 的任一排列，是排列p1 p2 pn的逆序数，即=(p1 p2 pn)。二、几个特殊的行列式1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。将相邻两元素对换，称为相邻对换。定理定理1 1:对换一个排列中的任意两个元素，排列改变奇偶性。证明：该定理的证明可分为两步来证。第一步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况。三、对换与排列奇偶性的关系由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。再证一般情况，设：把(1)作n+1次相邻对换得(2)，把(2)再作 n 次相邻对换可得(3)，即共作了 2n+1 次相
6、邻对换由(1)而得到(3)。由前可知，作一次相邻对换，排列的奇偶性改变一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性就改变了2n+1次，即由原来的奇排列就变成了偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。定理定理2 2：n 元排列共有 n!个，其中奇、偶排列的个数相等，各有 n!/2 个。定理定理3 3：任意一个 n 元排列都可以经过一些对换变成自然排列，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。四、行列式的等价定义五、关于等价定义的说明 这就表明，对换乘积项中两元素的位置，从而行标排列与列标排列同时做了相应的对换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性并不改变。定理定理4例例5 写出四阶行列式中含有因子
7、的项。例例6 若为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号，后一项带负号。第三节行列式的性质(1)在利用行列式性质(1)进行行列式计算时，基本的思路是把行列式化成三角行列式，当然在化的过程中也要兼顾其它性质的应用。第四节行列式的性质(2)在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行第 j 列划去后，留下来的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 余子式，记作 Mij；记 Aij=(-1)i+j Mij，Aij叫做元素 aij 的代数余子式。一、余子式与代数余子式二、k阶子式及其余子式和代数余子式 在n阶行列式D中任选k行k列，位于这k行k列的交叉点处的k2个元素按原来的位置组成的k阶行
8、列式M叫做D的一个k阶子式。在D中划去M所在的行与列，剩下的元素按原来的位置组成的n-k子式N叫做M的余子式。设M所在的行数与列数依次为i1i2ik，j1j2jk，M的余子式N乘以 叫做M的代数余子式。证明：证明：证明：证明：第五节克莱姆法则一、线性方程组二、克莱姆法则定理1：方程组(1)一定有解，且解是唯一的充要条件是线性方程组(1)的系数行列式D0。定理2：如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必等于零，即D=0。定理3：齐次方程组(2)只有零解，而没有非零解的充要条件是齐次线性方程组(2)的系数行列式D0。定理4：齐次方程组(2)有非零解的充要条件是齐次线性方程组(2)的系数行列式D=0。三、几个相关定理