第1章线性代数精选文档.ppt

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1、第1章线性代数本讲稿第一页，共一百零一页第一章第一章 行行 列列 式式 1.1 介绍性实例介绍性实例1949年夏，哈佛大学教授列昂惕夫根据美国劳动统计年夏，哈佛大学教授列昂惕夫根据美国劳动统计局提供的局提供的25万条信息，把美国经济分解为万条信息，把美国经济分解为500个部门个部门例如煤炭工业、汽车工业、交通系统等。对每个部门，例如煤炭工业、汽车工业、交通系统等。对每个部门，他写出了一个描述该部门的产出如何分配给其他经济他写出了一个描述该部门的产出如何分配给其他经济部门的线性方程。由于当时最大的计算机部门的线性方程。由于当时最大的计算机Mark还不能处理所还不能处理所得到的包含得到的包含500

2、个未知数的个未知数的500个方程的方程组，列昂惕夫只好把个方程的方程组，列昂惕夫只好把把问题简化为包含把问题简化为包含42个未知数的个未知数的42 个方程的方程组。尽管如此，个方程的方程组。尽管如此，Mark还是运行了还是运行了56 个小时，才得到最后的答案。个小时，才得到最后的答案。经济学的线性模型：经济学的线性模型：本讲稿第二页，共一百零一页列昂惕夫获得了列昂惕夫获得了1973年诺贝尔经济学奖，他打开了研究经济数学年诺贝尔经济学奖，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。模型的新时代的大门。1949年在哈佛的工作标志着应用计算机分年在哈佛的工作标志着应用计算机分析大规模数学模型的开始。从那

3、以后，许多其他领域中的研究者析大规模数学模型的开始。从那以后，许多其他领域中的研究者应用计算机来分析数学模型。由于所涉及的数据数量庞大，这些应用计算机来分析数学模型。由于所涉及的数据数量庞大，这些模型通常是线性的，即它们是用线性方程组来描述的。模型通常是线性的，即它们是用线性方程组来描述的。线性代数在应用中的重要性随着计算机功能的增大而迅速增加今线性代数在应用中的重要性随着计算机功能的增大而迅速增加今天，线性代数对许多科学技术和工商经济领域中的学生的重要性天，线性代数对许多科学技术和工商经济领域中的学生的重要性可以说超过了大学其他数学课程。可以说超过了大学其他数学课程。本讲稿第三页，共一百零一

4、页1.21.2行列式的概念行列式的概念一、一、二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组本讲稿第四页，共一百零一页方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.我们自然希望我们自然希望n元线性方程组像二元一次方程组那样有个元线性方程组像二元一次方程组那样有个简单易记的公式，因此我们需要引入行列式的概念。简单易记的公式，因此我们需要引入行列式的概念。本讲稿第五页，共一百零一页 为了给出为了给出 n n 阶行列式的定义，我们先来研究二阶、阶行列式的定义，我们先来研究二阶、三阶行列式，从而发现规律三阶行列式，从而发现规律。定义定义定义定义

5、1.11.11.11.1即即本讲稿第六页，共一百零一页本讲稿第七页，共一百零一页主对角线副对角线对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算例例例例1 1解解本讲稿第八页，共一百零一页定义定义定义定义1.21.2叫叫三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式，记作，记作D.且定义且定义D本讲稿第九页，共一百零一页(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标本讲稿第十页，共一百零一页(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以

6、负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式本讲稿第十一页，共一百零一页例例 解解按对角线法则，有按对角线法则，有本讲稿第十二页，共一百零一页若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式方程组的解为方程组的解为本讲稿第十三页，共一百零一页本讲稿第十四页，共一百零一页本讲稿第十五页，共一百零一页本讲稿第十六页，共一百零一页则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.本讲稿第十七页，共一百零一页例例例例3 3 3 3解解本讲稿第十八页，共一百零一页 如果三

7、元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组本讲稿第十九页，共一百零一页三元线性方程组的解为三元线性方程组的解为:克莱姆法则克莱姆法则参见教材参见教材91页页.记：记：本讲稿第二十页，共一百零一页例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式本讲稿第二十一页，共一百零一页同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:本讲稿第二十二页，共一百零一页1 1）三阶行列式的每一项都是三个不同行不同列的元素的乘积三阶行列式的每一项都是三个不同行不同列的元素的乘积.2 2）每一项的三个元素

8、的行标成自然排列每一项的三个元素的行标成自然排列1 1，2 2，3 3时，列标都是时，列标都是1 1，2 2，3 3的某一排列，的某一排列，3)3)带正号的三项列标排列是带正号的三项列标排列是123123，231231，312.312.这样的排列共有这样的排列共有3!3!种，故三阶行种，故三阶行带负号的三项的列标排列带负号的三项的列标排列132132，213213，321.321.二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数列式共有列式共有6 6项项；本讲稿第二十三页，共一百零一页把把1,2,n这这n个数或个数或n个个不同的元素排成一列，不同的元素排成一列，叫做一个叫做一个n级排列。级排列。定义定

9、义1.31.3n n个不同的元素的所有排列的总个数为个不同的元素的所有排列的总个数为n！在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.一一个排列中个排列中所有逆序的总数称为此排列的所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中，定义定义1.41.4 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不个不同的自然数，规定同的自然数，规定由由小小到到大大为为标准次序标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序本讲稿第二十四页，共一百零一页逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列

10、;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.例例5 (1)排列排列32514 中，中，3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.本讲稿第二十五页，共一百零一页(2)n级自然序排列级自然序排列（1 2 3 n)偶排列偶排列解解:（3)n3)n级倒序排列级倒序排列 (n nn n-1 2 1)-1 2 1)解解:方法方法分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即

11、为所求排列的逆序数即为所求排列的逆序数.本讲稿第二十六页，共一百零一页定义定义1.5在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，成作一次素不动，成作一次对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换例如例如定理定理1.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性本讲稿第二十七页，共一百零一页当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对

12、换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与(1)对换对换相邻相邻两个元素两个元素:(2)本讲稿第二十八页，共一百零一页次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.本讲稿第二十九页，共一百零一页奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.推论推论1.1证明证明 (1.1)由定理由定理1.11.1知对换的次数就是排列知对换的次数就是排列奇偶性的变化

13、次数奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),0),因此，知推论成立因此，知推论成立.排列各占一半排列各占一半，均为均为推论推论1.2在所有在所有n n级排列级排列中，奇排列、偶中，奇排列、偶本讲稿第三十页，共一百零一页故必有故必有奇排列奇排列偶排列偶排列所以所以前两个数对换前两个数对换个个个个偶排列偶排列奇排列奇排列所以所以前两个数对换前两个数对换个个个个(1.2)本讲稿第三十一页，共一百零一页三、三、n n 阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个

14、元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积本讲稿第三十二页，共一百零一页（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例例6列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列本讲稿第三十三页，共一百零一页定义定义1.6本讲稿第三十四页，共一百零一页说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代

15、数和项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号的符号本讲稿第三十五页，共一百零一页定理定理1.2行列式的另一定义：行列式的另一定义：本讲稿第三十六页，共一百零一页例例7 7 证明证明对角行列式对角行列式（其中未写出的元素都是零）（其中未写出的元素都是零）本讲稿第三十七页，共一百零一页例例8 证明证明本讲稿第三十八页，共一百零一页例例9 计算行列式的值计算行列式的值本讲稿第三十九页，共一百零一页例例10 证明证明下三角行列式下三角行列式本讲稿

16、第四十页，共一百零一页本讲稿第四十一页，共一百零一页1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质对于一个阶数较高的行列式，对于一个阶数较高的行列式，1.2.的定义式并不是一个有效的定义式并不是一个有效的求值方法。因为一个的求值方法。因为一个 n n阶行列式被归结为阶行列式被归结为 n n！项的代数和。例！项的代数和。例如如计计算算18阶阶行列式就要作行列式就要作18！次加法。我次加法。我们们即使用每即使用每 秒秒1亿次的计算机来承担，也要连续工作达亿次的计算机来承担，也要连续工作达8个月。个月。这说明为一般地解决行列式值的计算问题，必须了解行列式这说明为一般地解决行列式值的计算问题，必须了解行列式

17、性质和其他法则，发展有效的计算方法。性质和其他法则，发展有效的计算方法。本讲稿第四十二页，共一百零一页性质性质1.11.1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记本讲稿第四十三页，共一百零一页证明证明按定义按定义 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为本讲稿第四十四页，共一百零一页故故性质性质性质性质1.21.21.21.2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式的值变号行列式的值变号.证明证明证明证明 互换行列式的两行，则互换行列式的两行，则D的展开式中的每一项的展开式中的每一项都变号，因此行

18、列式的值号。都变号，因此行列式的值号。说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.本讲稿第四十五页，共一百零一页例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 本讲稿第四十六页，共一百零一页性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）

19、中所有元素的公因子行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面可以提到行列式符号的外面本讲稿第四十七页，共一百零一页推论推论1.6行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零行列式为零证明证明本讲稿第四十八页，共一百零一页性质性质1.51.5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如本讲稿第四十九页，共一百零一页性质性质1.把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列一数然后加到另一列

20、(行行)对应的元素上去，行列式不对应的元素上去，行列式不变变例如例如本讲稿第五十页，共一百零一页 上（下）三角行列式等于主对角线上元素上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积，因此计算行列式可以利用行列式的性的乘积，因此计算行列式可以利用行列式的性质，把行列式化成上三角行列式。质，把行列式化成上三角行列式。注注例例本讲稿第五十一页，共一百零一页解解本讲稿第五十二页，共一百零一页本讲稿第五十三页，共一百零一页本讲稿第五十四页，共一百零一页本讲稿第五十五页，共一百零一页本讲稿第五十六页，共一百零一页例例2本讲稿第五十七页，共一百零一页本讲稿第五十八页，共一百零一页本讲稿第五十九页，共一百零一页解

21、解例例3 计算计算 这个行列式的特点是各行这个行列式的特点是各行4 4个数之和都是个数之和都是6 6，今把第今把第2 2，3 3，4 4列同时加到第一列，提出公列同时加到第一列，提出公因子因子6 6，然后各行减去第一行，然后各行减去第一行.本讲稿第六十页，共一百零一页本讲稿第六十一页，共一百零一页 (行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列利用性质把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值式化为三角形行列式，

22、从而算得行列式的值小结小结行列式的行列式的6个性质个性质本讲稿第六十二页，共一百零一页1.4 n n阶阶行列式的展开法则行列式的展开法则在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如定义定义1.71.7本讲稿第六十三页，共一百零一页本讲稿第六十四页，共一百零一页例如例如本讲稿第六十五页，共一百零一页引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为

23、零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如证明证明证明略证明略本讲稿第六十六页，共一百零一页证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而在证一般情形在证一般情形,此时此时本讲稿第六十七页，共一百零一页得得本讲稿第六十八页，共一百零一页得得本讲稿第六十九页，共一百零一页本讲稿第七十页，共一百零一页中的余子式中的余子式本讲稿第七十一页，共一百零一页故得故得于是有于是有本讲稿第七十二页，共一百零一页定理：定理：行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则 行列式等于它行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的任一

24、行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即之和，即证证本讲稿第七十三页，共一百零一页本讲稿第七十四页，共一百零一页例例1本讲稿第七十五页，共一百零一页本讲稿第七十六页，共一百零一页定理定理1.4 1.4 行列式任一行（列）的元素与另一行行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即即证证本讲稿第七十七页，共一百零一页同理同理相同相同本讲稿第七十八页，共一百零一页关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质本讲稿第七十九页，共一百零一页练习练习 计算行列式计算行列式解解本讲稿第八十页，共一百零一页本讲稿第八十一

25、页，共一百零一页思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和本讲稿第八十二页，共一百零一页.用定义计算用定义计算:例例(略略)1.5 行列式的计算行列式的计算2 2利用性质化为三角形行列式计算利用性质化为三角形行列式计算本讲稿第八十三页，共一百零一页 解 例例1对于每行元素的和相等时对于每行元素的和相等时,常用方法常用方法把后面每列都加到第一列上去把后面每列都加到第一列上去本讲稿第八十四页，共一百零一页本讲稿第八十五页，共一百零一页 例2 计算（课本例18）解 本讲稿第八十六页，共一百零一页评注评注:此题中的行列式称为箭形行列式此题中的行列式称为箭形行列式,可用符号

26、记为可用符号记为|,其其他的箭形行列式有他的箭形行列式有|,|,|,它们均可以用类似的方法化为某种三它们均可以用类似的方法化为某种三角行列式角行列式.有些行列式可以稍作变换化为箭形行列式，如有些行列式可以稍作变换化为箭形行列式，如练习练习该行列式处主对角线上元素不同外该行列式处主对角线上元素不同外,每一列上的元素都相同每一列上的元素都相同所以可以用相减的方法化为箭形行列式所以可以用相减的方法化为箭形行列式.本讲稿第八十七页，共一百零一页本讲稿第八十八页，共一百零一页例例3 3(课本例课本例20)20)3 3.用展开法则计算用展开法则计算本讲稿第八十九页，共一百零一页本讲稿第九十页，共一百零一页

27、本讲稿第九十一页，共一百零一页例例4计算计算n n阶行列式阶行列式解解:按第一列展开，得：按第一列展开，得：4.4.用递推法计算用递推法计算本讲稿第九十二页，共一百零一页这里的第一个这里的第一个n n1 1阶行列式与阶行列式与 有相同的形式，有相同的形式，把它们记作把它们记作 ；第二个；第二个n n1 1阶行列式阶行列式 等于等于 。所以所以 这个式子对于任何这个式子对于任何 都成立，因此有都成立，因此有但但 ,所以所以 本讲稿第九十三页，共一百零一页评注评注本讲稿第九十四页，共一百零一页5.5.用加边法计算用加边法计算:在原行列式中增加一行一列在原行列式中增加一行一列,且保持行列式的值不变且

28、保持行列式的值不变.例例5 5（课本例（课本例1919）本讲稿第九十五页，共一百零一页 证证用数学归纳法用数学归纳法例例6(课本例课本例21)证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式6.6.一个特殊行列式一个特殊行列式:本讲稿第九十六页，共一百零一页将前一行乘以将前一行乘以 加到后一行上加到后一行上（从后往前）从后往前）本讲稿第九十七页，共一百零一页 n-1阶范德蒙德行列式本讲稿第九十八页，共一百零一页若已知一元若已知一元n次方程式次方程式有有n+1个不同的根，证明个不同的根，证明例例7.7.一个应用一个应用:本讲稿第九十九页，共一百零一页解解当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.本讲稿第一百页，共一百零一页练习练习解解本讲稿第一百零一页，共一百零一页