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1、第五章无穷级数第一节常数项级数第五章无穷级数第一节常数项级数1 1第1页，共53页，编辑于2022年，星期三一一 常数项级数的概念及基本性质常数项级数的概念及基本性质1 常数项级数的概念常数项级数的概念 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正边形边形,这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A.设设 a0 表示表示即即内接正三角形面积内接正三角形面积,ak 表示边数表示边数增加时增加的面积增加时增加的面积,则圆内接正则圆内接正第2页，共53页，编辑于2022年，星期三引例引例2.小球从小球从 1 米高处自由落下米高处自由落下,每
2、次跳起的高度减每次跳起的高度减少一半少一半,问小球是否会在某时刻停止运动问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理说明道理.由自由落体运动方程由自由落体运动方程知知则小球运动的总时间为则小球运动的总时间为设设 tk 表示第表示第 k 次小球落地的时间次小球落地的时间,第第 k 次小球跳起的次小球跳起的高度为高度为米，米，因此因此第3页，共53页，编辑于2022年，星期三定义定义：给定一个数列给定一个数列将各项依将各项依即即称上式为称上式为无穷级数无穷级数，其中第其中第 n 项项叫做级数的叫做级数的一般项一般项,级数的前级数的前 n 项和项和称为称为级数的部分和级数的部分和.次相加次相加,简记为简记
3、为收敛收敛,则称无穷级数则称无穷级数并称并称 S 为级数的为级数的和和,记作记作第4页，共53页，编辑于2022年，星期三当级数收敛时当级数收敛时,称差值称差值为级数的为级数的余项余项.则称无穷级数则称无穷级数发散发散.显然显然第5页，共53页，编辑于2022年，星期三例例1.讨论等比级数讨论等比级数(又称几何级数又称几何级数)(q 称为公比称为公比)的敛散性的敛散性.解解:1)若若从而从而因此级数收敛因此级数收敛,从而从而则部分和则部分和因此级数发散因此级数发散.其和为其和为第6页，共53页，编辑于2022年，星期三2).若若因此级数发散因此级数发散;因此因此n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数
4、从而从而综合综合 1)、2)可知可知,时时,等比级数收敛等比级数收敛;时时,等比级数发散等比级数发散.则则级数成为级数成为不存在不存在,因此级数发散因此级数发散.此时此时第7页，共53页，编辑于2022年，星期三如果级数如果级数是发散的。是发散的。解解例例2.说明调和级数说明调和级数:是收敛的，是收敛的，则则但但所以，所以，级数级数是发散的是发散的第8页，共53页，编辑于2022年，星期三例例3.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:解解:(1)所以级数所以级数(1)发散发散;技巧技巧:利用利用“拆项相消拆项相消”求和求和第9页，共53页，编辑于2022年，星期三(2)所以级数所以级数(2
5、)收敛收敛,其和为其和为 1.技巧技巧:利用利用“拆项相消拆项相消”求和求和第10页，共53页，编辑于2022年，星期三 例例4.判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解:故原级数收敛故原级数收敛,其和为其和为第11页，共53页，编辑于2022年，星期三2 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 性质性质1 若级数若级数收敛于收敛于 S,则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数也收敛也收敛,证证:令令则则这说明这说明收敛收敛,其和为其和为 c S.说明说明:级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性不变.即即其和为其和为 c S.即即第12页，共53页，编辑于202
6、2年，星期三性质性质2 设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛,其和为其和为证证:令令则则这说明级数这说明级数也收敛也收敛,其和为其和为即即第13页，共53页，编辑于2022年，星期三说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散,则则必发散必发散.但若二级数都发散但若二级数都发散,不一定发散不一定发散.例如例如,(1)性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证用反证法可证)第14页，共53页，编辑于2022年，星期三例例5判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和解解（1）因为因为
7、均收敛，均收敛，所以所以收敛，收敛，且且（2）因为因为收敛，收敛，发散，发散，发散。发散。第15页，共53页，编辑于2022年，星期三性质性质3.在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级不会影响级数的敛散性数的敛散性.证证:将级数将级数的前的前 k 项去掉项去掉,的部分和为的部分和为数敛散性相同数敛散性相同.当级数收敛时当级数收敛时,其和的关系为其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同极限状况相同,故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数第16页，共53页，编辑于2022年，星期三性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原
8、级收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和数的和.证证:设收敛级数设收敛级数若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 为原级数部分和为原级数部分和序列序列 的一个子序列的一个子序列,推论推论:若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散,则原级数必发散则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但但发散发散.因此必有因此必有例如，例如，用反证法可证用反证法可证例如例如第17页，共53页，编辑于2022年，星期三例例6.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:解解:考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数发散发散
9、,从而原级数发散从而原级数发散.第18页，共53页，编辑于2022年，星期三设收敛级数设收敛级数则必有则必有证证:可见可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.性质性质5.收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件注意注意:并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数调和级数虽然虽然但此级数发散但此级数发散.第19页，共53页，编辑于2022年，星期三例例7.说明下列级数是发散的说明下列级数是发散的解解（1）所以原级数是发散的所以原级数是发散的（2）所以原级数是发散的所以原级数是发散的（3）级数是发散级数是发散第20页，共53页，编辑于2022年
10、，星期三（4）故故从而从而这说明级数这说明级数(1)发散发散.第21页，共53页，编辑于2022年，星期三二二 正项级数及其判敛法正项级数及其判敛法若若基本定理基本定理 收敛的充要条件是收敛的充要条件是部分和部分和有界有界.若若收敛收敛,部分和数列部分和数列有界有界,故故从而从而又已知又已知故有界故有界.则称则称为为正项级数正项级数.单调递增单调递增,收敛收敛,也收敛也收敛.证证:“”“”正项级数正项级数序列序列第22页，共53页，编辑于2022年，星期三都有都有定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设设且存在且存在对一切对一切有有(1)若级数若级数则级数则级数(2)若级数若级数则级数则级数证证:
11、设对一切设对一切则有则有收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.分别表示级数分别表示级数是两个正项级数是两个正项级数,(常数常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨故不妨部分和部分和,则有则有第23页，共53页，编辑于2022年，星期三(1)若级数若级数则有则有因此对一切因此对一切有有由定理由定理 1 可知可知,则有则有(2)若级数若级数因此因此这说明级数这说明级数也发散也发散.也收敛也收敛.发散发散,收敛收敛,级数级数第24页，共53页，编辑于2022年，星期三例例8.8.讨论讨论p-级数级数的收敛性的收敛性解解:1)若若因为对
12、一切因为对一切而调和级数而调和级数由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数发散发散.发散发散,第25页，共53页，编辑于2022年，星期三因为当因为当故故考虑级数考虑级数的部分和的部分和故级数故级数时时,2)若若p 级数收敛级数收敛.收敛收敛,由比较审敛法知由比较审敛法知第26页，共53页，编辑于2022年，星期三重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,p-级数级数,调和级数调和级数.例例9.9.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 解解(1)而而 发散发散,所以所以 原级数发散原级数发散第27页，共53页，编辑于2022年，星期三(2)收敛，收敛，所以所以收敛收敛.(3)收敛，
13、收敛，所以所以收敛收敛.(4)所以所以 原级数收敛原级数收敛收敛收敛第28页，共53页，编辑于2022年，星期三例例10.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解解(1)当当时，时，则级数则级数发散，发散，所以级数所以级数发散发散.第29页，共53页，编辑于2022年，星期三(2)时，时，对于级数对于级数由于由于则收敛，则收敛，所以级数所以级数收敛收敛.第30页，共53页，编辑于2022年，星期三定理定理3.(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散;(2)当当 l=0(3)当当 l=证证:据极限定义据极限定义,设两正项级数设两正项级数满
14、足满足(1)当当 0 l 时时,第31页，共53页，编辑于2022年，星期三由定理由定理 2 可知可知同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散;(3)当当l=时时,即即由定理由定理2可知可知,若若发散发散,(1)当当0 l 时时,(2)当当l=0时时,由定理由定理2 知知收敛收敛,若若第32页，共53页，编辑于2022年，星期三特别取特别取推论推论（极限判别法极限判别法）设设为正项级数，为正项级数，如果如果则级数则级数收敛；收敛；如果如果则级数则级数发散；发散；第33页，共53页，编辑于2022年，星期三例例11 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解解(1)根据比较审敛法的极限形式知根据比较
15、审敛法的极限形式知(2)根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知收敛收敛第34页，共53页，编辑于2022年，星期三(3)根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知(4)根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知第35页，共53页，编辑于2022年，星期三例例12 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解当当时时当当时，时，当当时时发散，发散，当当时，时，收敛收敛根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知第36页，共53页，编辑于2022年，星期三定理定理4.比值审敛法比值审敛法(Dalembert 判别法判别法)设设 为正项级数为正项级数,且且则则(1
16、)当当(2)当当证证:(1)收敛收敛,时时,级数收敛级数收敛;或或时时,级数发散级数发散.由比较审敛法可知由比较审敛法可知第37页，共53页，编辑于2022年，星期三因此因此所以级数发散所以级数发散.时时(2)当当说明说明:当当时时,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数级数但但级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.从而从而第38页，共53页，编辑于2022年，星期三注意注意(1)当当时比值审敛法失效时比值审敛法失效;条件是充分的条件是充分的,而非必要而非必要.(2)第39页，共53页，编辑于2022年，星期三(3)在判别收敛时，在判别收敛时，求极限过程不可缺，求极限过
17、程不可缺，而而事实上事实上第40页，共53页，编辑于2022年，星期三例例13 13 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性:(1)(2)(3)解解(1)所以所以收敛收敛.第41页，共53页，编辑于2022年，星期三比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法(2)所以所以发散发散第42页，共53页，编辑于2022年，星期三的敛散性的敛散性.解解:根据定理根据定理4可知可知:级数收敛级数收敛;级数发散级数发散;例例14.讨论级数讨论级数第43页，共53页，编辑于2022年，星期三对任意给定的正数对任意给定的正数 定理定理5.根值审敛法根值审敛法(Cauchy判别法判别法)设设
18、为正为正则则证明提示证明提示:即即分别利用上述不等式的左分别利用上述不等式的左,右部分右部分,可推出结论正确可推出结论正确.项级项级数数,且且第44页，共53页，编辑于2022年，星期三例例15.证明级数证明级数收敛于收敛于S,近似代替和近似代替和 S 时所产生的误差时所产生的误差.解解:由定理由定理5可知该级数收敛可知该级数收敛.令令则所求误差为则所求误差为并估计以部分和并估计以部分和 Sn第45页，共53页，编辑于2022年，星期三三三 任意项级数任意项级数则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数称为称为交错级数交错级数.定理定理6.(Leibnitz 判别法判别法)若交错级数满足
19、条件若交错级数满足条件:则级数则级数收敛收敛,且其和且其和 其余项满足其余项满足1 交错级数交错级数第46页，共53页，编辑于2022年，星期三证证:是单调递增有界数列是单调递增有界数列,又又故级数收敛于故级数收敛于S,且且故故第47页，共53页，编辑于2022年，星期三例例16 16 判别级数判别级数的收敛性的收敛性.解解(1)且且所以所以收敛收敛.(2)(2)原级数收敛原级数收敛.第48页，共53页，编辑于2022年，星期三2、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数对任意项级数若若若原级数收敛若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散,则称原级则称
20、原级收敛收敛,数数为条件收敛为条件收敛.均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛绝对收敛；则称原级则称原级数数条件收敛条件收敛.第49页，共53页，编辑于2022年，星期三证证:设设根据比较审敛法根据比较审敛法显然显然收敛收敛,收敛收敛也收敛也收敛且且收敛收敛,令令定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛.第50页，共53页，编辑于2022年，星期三例例17 判别下列级数敛散性，如果收敛指出是条件判别下列级数敛散性，如果收敛指出是条件收敛，还是绝对收敛。收敛，还是绝对收敛。解解(1)收敛收敛,所以所以收敛且绝对收敛。收敛且绝对收敛。第51页，共53页，编辑于2022年，星期三(2)所以所以发散，发散，而而且且条件收敛条件收敛第52页，共53页，编辑于2022年，星期三(3)发散发散.(4)所以所以发散，发散，令令而而所以所以收敛且条件收敛。收敛且条件收敛。第53页，共53页，编辑于2022年，星期三