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1、高等数学课件常数项级数第一节现在学习的是第1页，共22页常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 四、柯西收敛准则四、柯西收敛准则 第一节 第十一章 现在学习的是第2页，共22页一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积 A.设 a0 表示即内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正现在学习的是第3页，共22页引例引例2.小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球
2、是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为(s)设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,现在学习的是第4页，共22页定义定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作现在学习的是第5页，共22页当级数收敛时,称差值为级数的余项余项.则称无穷级数发散发散.显然现在学习的是第6页，共22页例例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q 称为公比)的敛散性.解解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为现在学习的是第7页，共22页
3、2).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.现在学习的是第8页，共22页例例2.判别下列级数的敛散性:解解:(1)所以级数(1)发散;技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和现在学习的是第9页，共22页(2)所以级数(2)收敛,其和为 1.技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和现在学习的是第10页，共22页 例例3.判别级数的敛散性.解解:故原级数收敛,其和为现在学习的是第11页，共22页二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1.若级数收敛于 S,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛,证
4、证:令则这说明收敛,其和为 c S.说明说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为 c S.现在学习的是第12页，共22页性质性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证证:令则这说明级数也收敛,其和为现在学习的是第13页，共22页说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)现在学习的是第14页，共22页性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数的敛散性.证证:将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况
5、.极限状况相同,故新旧两级所得新级数现在学习的是第15页，共22页性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反用反证法可法可证例如现在学习的是第16页，共22页例例4.判断级数的敛散性:解解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.现在学习的是第17页，共22页三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数则必有证证:可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.现在学习的是第18页，共22页注意注意:并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上事实上,假设调和级数收敛于 S,则但矛盾!所以假设不真.参见教材P103另一证法现在学习的是第19页，共22页例例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.现在学习的是第20页，共22页因进行拆项相消进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)现在学习的是第21页，共22页这说明原级数收敛,其和为 3.(3)现在学习的是第22页，共22页