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1、第三章第一节复数项级数第1页，本讲稿共18页3.1 复数项级数复数项级数3.2 幂级数幂级数3.3 解析函数的解析函数的Taylor展开展开3.4 解析延拓解析延拓3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类第三章第2页，本讲稿共18页3.1 复数项级数复数项级数本节主要内容：u 复数(复变)项级数定义u 级数收敛的判据u 收敛级数的一些性质第3页，本讲稿共18页第4页，本讲稿共18页(一)复数项级数1.复数项级数定义级数中每一项都可分为实部和虚部第5页，本讲稿共18页即一个复数项级数可以用两个实数项级数来表示。这样，实数项级数的许多性质都可以用到复数项级数中。第6页，
2、本讲稿共18页第7页，本讲稿共18页2.复数项级数收敛的柯西判据复数项级数(3.1.1)收敛的充分必要条件是，对于任一给定的正数 ，必有N存在，使得nN时，其中，p为任意正整数。第8页，本讲稿共18页3.复数项级数的绝对收敛如果复数项级数(3.1.1)各项的模(正实数)组成的级数收敛，就把复数项级数(3.1.1)叫做绝对收敛。第9页，本讲稿共18页u绝对收敛的复数项级数必是收敛的u绝对收敛的级数各项先后次序可以改变，其和并不因此改变。u两个绝对收敛的复数项级数之积仍然绝对收敛第10页，本讲稿共18页(二)复变项级数(函数项级数)1.复变项级数定义它的各项是z 的函数。第11页，本讲稿共18页2
3、.复变项级数收敛如果在某个区域B(或某根曲线 l)上所有的点，级数(3.1.6)都收敛，就叫做在B(或l)上收敛。第12页，本讲稿共18页举例说明：例如右边的级数在整个复数平面xy上都收敛，当然，当z沿着xy面上任意一曲线l 或在任意一个区域B内变化时，级数都收敛。第13页，本讲稿共18页3.复变项级数收敛的柯西判据及一致收敛复变项级数(3.1.6)在某个区域B(或某根曲线 l)上收敛的充分必要条件是，在B(或l)上各点z,对于任一给定的小正数 ，必有 存在，使得 时，式中p为任意正整数。如果N与z 无关，就把复变函数叫做在B(或l)上一致收敛。第14页，本讲稿共18页关于一致收敛的说明：级数
4、一致收敛是指：对于区域B或曲线l上的任意点zi，对应的级数都收敛。而且按照同一个函数收敛或者说收敛于同一个函数。第15页，本讲稿共18页幂级数 在收敛圆内部一致收敛于，即对于收敛圆内的任意点ti，对应的都收敛。而且按照同样的函数关系收敛或者说收敛级数于同一个函数例如：第16页，本讲稿共18页4.一致收敛复变项级数的重要性质u 如在B上一致收敛的复变项级数的每一项都是B上的连续函数，则级数的和也是B上的连续函数。即求极限和求和可以调换顺序。u在l 上一致收敛的复变项级数的每一项都是l 上的连续函数，则级数的和也是l 上的连续函数,而且级数可以沿l 逐项积分。第17页，本讲稿共18页收敛，则复变项级数在区域B(或曲线 l)上绝对且一致收敛。u 如果对于某个区域B(或某根曲线 l)所有的点z，复变项级数(3.1.6)的各项的模 而正的常数项级数第18页，本讲稿共18页