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1、第3章第1页EXIT第第第第3 3 3 3章章章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 第3章第2页EXIT 控控制制系系统统的的数数学学模模型型建建立立之之后后，就就可可以以分分析析控控制制系系统统的的性性能能。在在经经典典控控制制理理论论中中，常常采采用用时时城城分分析析法法、根根轨迹法或频率响应法轨迹法或频率响应法来分析并综合线性定常系统的性能。来分析并综合线性定常系统的性能。时时域域分分析析法法是是一一种种直直接接在在时时间间域域中中对对系系统统进进行行分分析析的的方方法法，具具有有直直观观、准准确确的的优优点点，并并且且可可以以提提供供系
2、系统统时时间间响应的全部信息。响应的全部信息。解解表达式表达式曲曲 线线系统性能系统性能稳定性稳定性快速性快速性稳态精度稳态精度分析分析拉氏变换拉氏变换微方微方第3章第3页EXIT3.1 3.1 典型输入信号和时域分析法典型输入信号和时域分析法3.2 3.2 一阶系统的动态响应一阶系统的动态响应 3.3 3.3 二阶系统的动态响应二阶系统的动态响应3.4 3.4 高阶系统分析高阶系统分析 3.5 3.5 稳定性和代数稳定判据稳定性和代数稳定判据3.6 3.6 稳态误差分析与计算稳态误差分析与计算第3章第4页EXIT3.1 3.1 3.1 3.1 典型输入信号和时域分析法典型输入信号和时域分析法
3、典型输入信号和时域分析法典型输入信号和时域分析法第3章第5页EXIT3.1.1 典型输入信号典型输入信号 时间响应表现系统动态性能。不仅取决于系统本身时间响应表现系统动态性能。不仅取决于系统本身特性（微方），还与输入信号形式有关。特性（微方），还与输入信号形式有关。系统工作时，外加输入信号是随机的，无法确定它系统工作时，外加输入信号是随机的，无法确定它在某一瞬间的形式。在某一瞬间的形式。系统分析和设计时，对各种系统性能进行比较要预系统分析和设计时，对各种系统性能进行比较要预先规定一些具有特殊形式的实验信号作为输入，然后比先规定一些具有特殊形式的实验信号作为输入，然后比较系统的响应。较系统的响应
4、。第3章第6页EXIT典型信号的选取原则典型信号的选取原则输入的形式应反映系统在工作中所响应的实际输入；输入的形式应反映系统在工作中所响应的实际输入；输输入入信信号号在在形形式式上上应应尽尽可可能能简简单单，以以便便于于对对系系统统响响应应的分析；的分析；应应选选取取能能使使系系统统工工作作在在最最不不利利情情况况下下的的输输入入信信号号作作为为典型输入信号。典型输入信号。常用的典型实验信号常用的典型实验信号 阶跃阶跃、斜坡、抛物线、脉冲、斜坡、抛物线、脉冲 正弦（频率分析法）正弦（频率分析法）第3章第7页EXIT1.阶跃函数阶跃函数 阶跃函数的拉普拉斯变换为阶跃函数的拉普拉斯变换为第3章第8
5、页EXIT2.斜坡函数斜坡函数 斜坡函数的拉普拉斯变换为斜坡函数的拉普拉斯变换为第3章第9页EXIT3.抛物线函数抛物线函数 抛物线函数的拉普拉斯变换为抛物线函数的拉普拉斯变换为第3章第10页EXIT4.脉冲函数脉冲函数 理想脉冲函数理想脉冲函数的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为 其其中中脉脉冲冲宽宽度度为为h，脉脉冲冲面面积积等等于于A，若若对对脉脉冲冲的的宽宽度度h取取趋趋于于零零的极限，的极限，则则有有 当当A=1（h 0）时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作 。第3章第11页EXIT5.正弦函数正弦函数 正弦函数正弦函数的拉普拉斯变换为的拉普拉
6、斯变换为第3章第12页EXIT3.1.2 动态过程与稳态过程动态过程与稳态过程 1.动动态态过过程程：又又称称为为过过渡渡过过程程或或瞬瞬态态过过程程，是是指指系系统统在在典典型型输输入入信信号号作作用用下下，系系统统输输出出量量从从初初始始状状态态到到接接近近最最终终状状态态的的响响应应过过程程。动动态态过过程程表表现现为为衰衰减减、发发散散或或等等幅幅振振荡荡形形式式。一一个个实实际际运运行行的的控控制制系系统统，其其动动态态过过程程必必须须是是衰衰减减的的，换换句句话话说说，系系统统必必须须是是稳稳定定的的。动动态态过过程程的的其其他信息用动态性能描述。他信息用动态性能描述。2.稳稳态态
7、过过程程：是是系系统统在在典典型型输输入入信信号号作作用用下下，当当时时间间t趋趋于于无无穷穷时时，系系统统输输出出量量的的表表现现方方式式。稳稳态态过过程程又又称称稳稳态态响响应应，表表征征系系统统输输出出量量最最终终复复现现输输入入量量的的程程度度，用用稳稳态态误误差来描述。差来描述。第3章第13页EXIT3.1.3 时域性能指标时域性能指标 1.动态性能指标动态性能指标 描描述述稳稳定定系系统统在在单单位位阶阶跃跃函函数数作作用用下下，动动态态过过程程随随t衰减的变化状态的指标，称为衰减的变化状态的指标，称为动态性能指标动态性能指标。c(t)t00.05c()cmaxc()trtpts第
8、3章第14页EXIT（1）上升时间）上升时间tr 响响应应曲曲线线从从零零时时刻刻到到首首次次到到达达稳稳态态值值的的时时间间，或或：响响应应曲曲线线从从稳稳态态值值的的10%上上升升到到90%所所需需时时间间（无无超超调调系系统统）反映响应曲线上升趋势表示响应速度指标。反映响应曲线上升趋势表示响应速度指标。（2）峰值时间）峰值时间tp 响应曲线从响应曲线从0到达第一个峰值所需的时间。到达第一个峰值所需的时间。（3）调整时间（调节时间）调整时间（调节时间）ts 在在响响应应曲曲线线从从0到到达达且且不不再再超超过过稳稳态态值值的的5%或或2%误误差差范范围围所所需需的的最最少少时时间间。（允允
9、许许误误差差=0.05或或=0.02）第3章第15页EXIT（4）最大超调量最大超调量%指指在在系系统统响响应应过过程程中中，输输出出量量的的最最大大值值超超过过稳稳态态值值的的百百分比分比（5）振荡次数）振荡次数N：在调节时间在调节时间ts内，内，c(t)偏离偏离c()的振荡次数。的振荡次数。注注：以以上上各各种种性性能能指指标标中中，上上升升时时间间、峰峰值值时时间间和和调调节节时时间间都都表表示示动动态态过过程程进进行行的的快快慢慢程程度度，是是快快速速性性指指标标。超超调调量量反反映映动动态态过过程程振振荡荡激激烈烈程程度度，是是平平稳稳性性指指标标，也也称称相相对对稳稳定定性性能能。
10、超超调调量量和和调调节节时时间间是是反反映映系系统统动动态态性性能能好好坏坏的的两两个个最最主要指标。主要指标。第3章第16页EXIT2.稳态性能指标稳态性能指标 稳稳态态误误差差是是描描述述系系统统稳稳态态性性能能的的一一种种性性能能指指标标，是是当当时时间间趋趋于于无无穷穷时时，系系统统单单位位阶阶跃跃响响应应的的稳稳态态值值与与输输入入量量之之差差，即即具有单调上升的阶跃响应具有单调上升的阶跃响应 无无超超调调量量，只只取取调调节节时时间间ts作为动态性能指标作为动态性能指标 第3章第17页EXIT3.2 3.2 3.2 3.2 一阶系统的动态响应一阶系统的动态响应一阶系统的动态响应一阶
11、系统的动态响应 第3章第18页EXIT传递函数传递函数T=1/K，时间常数时间常数 “秒秒”，表征系统惯性表征系统惯性结构图结构图3.2.1 一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型R(s)C(s)R(s)C(s)-第3章第19页EXIT1.单位阶跃响应单位阶跃响应第3章第20页EXIT1/T1.00.20.40.60.80.630.870.950.980.99T2T3T4T5Tc(t)t特点：特点：按指数规律上升按指数规律上升 t t=0=0处切线斜率为处切线斜率为1/1/T 参数未知，可由一阶系统单位阶跃响应实验参数未知，可由一阶系统单位阶跃响应实验曲线确定曲线确定T第3章第21页EXIT调整
12、时间调整时间ts理论上：瞬态结束进入稳态理论上：瞬态结束进入稳态 t工程上：与系统要求精度有关工程上：与系统要求精度有关 ts=4T (误差范围误差范围2%)ts=3T (误差范围误差范围5%）ts大小作为评价系统响应快慢的指标：调整系统参数大小作为评价系统响应快慢的指标：调整系统参数T提高系统快速性提高系统快速性 注：注：ts只反映系统特性，与输入、输出无关。只反映系统特性，与输入、输出无关。1/T1.00.20.40.60.80.630.870.950.980.99T2T3T4T5Tc(t)t第3章第22页EXIT2.单位斜坡响应单位斜坡响应第3章第23页EXIT3.单位抛物线响应单位抛物
13、线响应当当时时间间t时时，系系统统输输出出信信号号与与输输入入信信号号之之差差将将趋趋于于无无穷穷大大。说说明明对对于于一一阶阶系系统统是是不不能能跟跟踪踪单单位位抛抛物物线线函数输入信号的。函数输入信号的。第3章第24页EXIT4.单位脉冲响应单位脉冲响应第3章第25页EXITr(t)c(t)（t）1（t）t 1.一阶系统对典型输入信号的响应及一阶系统对典型输入信号的响应及响应之间关系响应之间关系3.2.1 一阶系统的重要性质一阶系统的重要性质第3章第26页EXIT一一阶阶系系统统只只有有一一个个特特征征参参数数T，即即其其时时间间常常数数。在在一一定定的的输入信号作用下，其时间响应输入信号
14、作用下，其时间响应c(t)由其时间常数惟一确定。由其时间常数惟一确定。从从表表可可以以看看出出：系系统统对对输输入入信信号号导导数数的的响响应应等等于于系系统统对对该该输输入入信信号号响响应应的的导导数数；系系统统对对输输入入信信号号积积分分的的响响应应等等于于系系统统对对该该输输入入信信号号响响应应的的积积分分。这这一一重重要要特特性性适适用用于于任任何何阶次的线性定常系统阶次的线性定常系统线性定常系统的重要特性。线性定常系统的重要特性。利利用用这这一一特特点点，在在测测试试系系统统时时，可可以以用用一一种种信信号号输输入入推推断断出出几几种种相相应应信信号号的的响响应应结结果果，带带来来很
15、很大大方方便便。而而线线性性时时变系统和非线性系统都不具备这种特性。变系统和非线性系统都不具备这种特性。2.结论结论第3章第27页EXIT3.3 3.3 3.3 3.3 二阶系统的动态响应二阶系统的动态响应二阶系统的动态响应二阶系统的动态响应第3章第28页EXIT 凡凡是是由由二二阶阶微微分分方方程程描描述述的的系系统统，称称为为二二阶阶系系统统。在在控控制制工工程程中中的的许许多多系系统统都都是是二二阶阶系系统统，如如电电学学系系统统、力力学学系系统统等等。即即使使是是高高阶阶系系统统，在在简简化化系系统统分分析析的的情情况况下下有有许许多多也也可可以以近近似似成成二二阶阶系系统统。因因此此
16、，二二阶阶系系统统的的性性能能分分析析在在自自动动控制系统分析中有非常重要的地位。控制系统分析中有非常重要的地位。第3章第29页EXIT二阶系统及其响应都可以用二阶系统及其响应都可以用n（或（或T）和）和这这两个参数加以描述。两个参数加以描述。3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型第3章第30页EXIT设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉普拉斯变换式为的拉普拉斯变换式为3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应典型二阶系统的单位阶跃响应闭环特征方程闭环特征方程其特征根即为闭环传递函数的极点为其特征根即为闭环传递函数的极点为
17、闭环极点的性质决定了二阶系统在单位阶跃闭环极点的性质决定了二阶系统在单位阶跃信号下响应的不同性质。信号下响应的不同性质。第3章第31页EXIT1.1.当当=0=0时时，系系统统有有一一对对共共轭轭纯纯虚虚根根，系系统统单单位位阶跃响应作阶跃响应作等幅振荡等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。，称为无阻尼或零阻尼状态。无阻尼等幅振荡无阻尼等幅振荡c(t)t02第3章第32页EXIT2.当当01时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。阻尼状态。c(t)0t第3章第35页EXIT二阶系统在单位阶跃函数作用下二阶系统在单位阶跃函数作用下响应曲线响应曲线
18、第3章第36页EXIT（1）上升时间）上升时间tr 当t=tr时，c(tr)=1上升时间上升时间tr是是c(t)第一次达到稳态时间第一次达到稳态时间3.3.2 典型二阶系统动态性能指标典型二阶系统动态性能指标1.欠阻尼二阶系统的动态性能指标欠阻尼二阶系统的动态性能指标 第3章第37页EXIT（2）峰值时间）峰值时间tP tP处有极值，故该处导数值为处有极值，故该处导数值为0第3章第38页EXIT（3）超调量）超调量%上式表明上式表明，超调量，超调量仅是阻尼比仅是阻尼比的函数，与自然频率的函数，与自然频率n无关。无关。第3章第39页EXIT（4）调整时间）调整时间ts 在设计系统时在设计系统时,
19、通常由要求的最大超调量决定，通常由要求的最大超调量决定，而调节时间则由无阻尼振荡频率而调节时间则由无阻尼振荡频率n来决定。来决定。第3章第40页EXIT（5）振荡次数）振荡次数N 其中其中第3章第41页EXIT 上上面面求求得得的的tr、tp、ts、%和和N与与二二阶阶系系统统特特征征参参数数之之间间的的关关系系是是分分析析二二阶阶系系统统动动态态性性能能的的基基础础。若若已已知知 和和n的的值值或或复复平平面面上上特特征征方方程程根根的的位位置置，则则可可以以计计算算出出各各个个性性能能指指标标。另另一一方方面面，也也可可以以根根据据对对系系统统的的动动态态性性能能要求，由性能指标确定二阶系
20、统的特征参数要求，由性能指标确定二阶系统的特征参数和和n。从平稳性看，从平稳性看，越大越好，越大越好，%通通常常为为了了获获得得良良好好的的平平稳稳性性和和快快速速性性，阻阻尼尼比比取取在在0.40.8之之间间，相相应应的超调量的超调量25%2.5%。最佳阻尼比最佳阻尼比0.707。第3章第42页EXIT2.过阻尼二阶系统的动态性能指标过阻尼二阶系统的动态性能指标 阶阶跃跃响响应应是是从从0到到1的的单单调调上上升升过过程程，超超调调量量为为0。用用ts即可描述系统的动态性能。即可描述系统的动态性能。第3章第43页EXIT例例3.2 一一位位置置随随动动系系统统，K4。求求该该系系统统的的阻阻
21、尼尼比比、自自然然振振荡荡角角频频率率和和单单位位阶阶跃跃响响应应；系系统统的的峰峰值值时时间间、调调节节时时间间和和超超调调量量；若若要要求求阻阻尼尼比比等等于于0.707，应应怎怎样样改改变变系系统统放放大大系系数数K值。值。C(s)R(s)_ 解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为和标准式比较得：和标准式比较得：第3章第44页EXIT第3章第45页EXIT 从上可以看出，从上可以看出，降低开环放大系数降低开环放大系数K值能使阻尼比值能使阻尼比增大、超调量下降，可改善系统动态性能。但在以后增大、超调量下降，可改善系统动态性能。但在以后的系统稳态误差分析中可知，降低开环放大系数将使的
22、系统稳态误差分析中可知，降低开环放大系数将使系统的稳态误差增大。系统的稳态误差增大。要求要求=0.707时时:第3章第46页EXIT 在在改改善善二二阶阶系系统统性性能能的的方方法法中中，比比例例-微微分分控控制制和和速速度度反馈是常用的两种方法。反馈是常用的两种方法。1.比例比例-微分控制微分控制具有反馈的随动控制系统具有反馈的随动控制系统3.3.4 二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善1第3章第47页EXIT参照式（参照式（3.21）有）有 第3章第48页EXIT 由上式可见由上式可见，引入比例，引入比例-微分控制后，系统的无阻微分控制后，系统的无阻尼振荡角频率尼振荡角频率n不变，但系统的
23、等效阻尼比加大了不变，但系统的等效阻尼比加大了（d）。）。同同时时，引引入入比比例例-微微分分控控制制后后，系系统统闭闭环环传传递递函函数数出出现现附附加加零零点点（-1/Td）。闭闭环环零零点点存存在在，将将会会使使系系统统响响应应速速度度加加快快，削削弱弱“阻阻尼尼”的的作作用用。因因此此适适当当选选择择微微分分时时间间常常数数Td，可可使使系系统统的的调调节节时时间间缩缩短短，超超调调量量减减小小，抑抑制制了了振振荡荡，改改善善了了系系统统的的动动态态性能。性能。第3章第49页EXIT2.输出量的速度反馈控制输出量的速度反馈控制 在在原原典典型型二二阶阶系系统统的的反反馈馈通通路路中中增
24、增加加输输出出信信号号的的速速度度分分量量反反馈馈信信号号，结结构构图图如如下下图图所所示示。e(t)为为误误差差信信号号，Kf为输出量的速度反馈系数。为输出量的速度反馈系数。速度反馈速度反馈控制系统控制系统C(s)R(s)_ Kf s_E(s)第3章第50页EXIT系统的开环传递函数成为系统的开环传递函数成为 闭环传递函数为闭环传递函数为第3章第51页EXIT 由由上上式式可可见见，引引入入速速度度反反馈馈控控制制后后，增增加加了了附附加加项项，同同样样使使系系统统的的无无阻阻尼尼振振荡荡角角频频率率n不不变变、等等效效阻阻尼尼比比增增大大（d），因因而而使使系系统统的的调调节节时时间间缩缩
25、短短，超超调调量量减减小小，系系统统的的平平稳稳性性得得到到改改善善。但系统没有附加闭环零点的影响。但系统没有附加闭环零点的影响。第3章第52页EXIT3.4 3.4 高阶系统分析高阶系统分析高阶系统分析高阶系统分析 第3章第53页EXIT 凡凡是是由由三三阶阶和和三三阶阶以以上上微微分分方方程程描描述述的的系系统统，称称为为高高阶阶系统。系统。在控制工程中的绝大多数系统都是高阶系统。在控制工程中的绝大多数系统都是高阶系统。对对于于高高阶阶系系统统来来说说，其其动动态态性性能能指指标标的的确确定定是是比比较较复复杂杂的的。工工程程上上常常采采用用闭闭环环主主导导极极点点的的概概念念对对高高阶阶
26、系系统统进进行行近近似似分分析析，以以便便将将高高阶阶系系统统在在一一定定的的条条件件下下转转化化为为近近似似的的一一阶或二阶系统进行分析研究。阶或二阶系统进行分析研究。由由于于数数字字计计算算机机的的发发展展和和普普及及，特特别别是是已已经经出出现现一一些些求求解解高高阶阶微微分分方方程程的的软软件件，如如MATLAB等等，容容易易求求出出高高阶阶系统的输出解及绘制出相应的响应曲线。系统的输出解及绘制出相应的响应曲线。第3章第54页EXIT一、高阶系统的瞬态响应一、高阶系统的瞬态响应 高高阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应与与一一、二二阶阶系系统统的的形形式式相相同同，均均由由两两个个
27、分分量量组组成成。一一是是稳稳态态分分量量“A0”与与时时间间t无关；二是与时间无关；二是与时间 t 有关的动态分量。有关的动态分量。高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应 第3章第55页EXIT结论结论:（1）若若所所有有闭闭环环极极点点都都分分布布在在 s 的的左左半半平平面面，那那么么当当时时间间t趋趋于于无无穷穷大大时时，动动态态分分量量都都趋趋于于零零，系系统统的的稳稳态态输输出出量量为为“A0”，这这时时，高高阶阶系系统统是是稳稳定定的的；只只要要有有一一个个正正极极点点或或正正实实部部的的复复数数极极点点存存在在，那那么么当当 t 趋趋于于无无穷穷大大时时，该该极极点点对对
28、应应的的动动态态分分量量就就趋趋于于无无穷穷大大，系系统统输输出出也也就就为为无无穷穷大，这时系统是不稳定的。大，这时系统是不稳定的。（2）各各分分量量衰衰减减的的快快慢慢取取决决于于指指数数衰衰减减常常数数。若若闭闭环环极极点点位位于于s 的的左左半半平平面面且且远远离离虚虚轴轴越越远远，其其对对应应的的响响应应分分量衰减得越快；反之，则衰减越慢。量衰减得越快；反之，则衰减越慢。第3章第56页EXIT （3）各分量的幅值与闭环极点、零点在）各分量的幅值与闭环极点、零点在s平面中的位置有关：平面中的位置有关：若若某某极极点点的的位位置置离离原原点点很很远远，那那么么其其相相应应的的系系数数将将
29、很很小小。所所以以，远远离离原原点点的的极极点点，其其动动态态分分量量幅幅值值小小、衰衰减减快快，对对系系统统的的动动态态响应影响很小。响应影响很小。若若某某极极点点靠靠近近一一个个闭闭环环零零点点又又远远离离原原点点及及其其它它极极点点，则则相相应应项项的的幅幅值值较较小小，该该动动态态分分量量的的影影响响也也较较小小。工工程程上上常常把把处处于于这这种种情情况况的的闭闭环环零零点点、极极点点，称称之之为为偶偶极极子子，一一般般地地这这对对闭闭环环零零、极极点点之之间间的的距距离离要要比比它它们们本本身身的的模模值值小小一一个个数数量量级级。偶偶极极子子对对动态分量影响较小的现象，称之为动态
30、分量影响较小的现象，称之为零极点相消零极点相消。若若某某极极点点远远离离零零点点又又接接近近原原点点，则则相相应应的的幅幅值值就就较较大大。因因此此，离离原原点点很很近近并并且且附附近近又又没没有有闭闭环环零零点点的的极极点点，其其动动态态分分量量项项不不仅幅值大，而且衰减慢，对系统输出量的影响最大。仅幅值大，而且衰减慢，对系统输出量的影响最大。第3章第57页EXIT二、主导极点的概念二、主导极点的概念 在在高高阶阶系系统统中中，如如果果存存在在某某个个离离虚虚轴轴最最近近的的闭闭环环极极点点，而而其其它它闭闭环环极极点点与与虚虚轴轴的的距距离离比比起起这这个个极极点点与与虚虚轴轴的的距距离离
31、（实实部部长长度度）大大5倍倍以以上上，且且其其附附近近不不存存在在闭闭环环零零点点，则则可可以以认认为为系系统统的的动动态态响响应应主主要要由由这这个个极极点点决决定定。称称这这个个对对动动态态响响应应起起主主导导作作用用的的闭闭环环极极点点为为主主导导极极点点。对对应应地地，其其它它的极点称为普通极点或非主导极点。的极点称为普通极点或非主导极点。在在高高阶阶稳稳定定系系统统中中，主主导导极极点点往往往往是是一一对对共共轭轭复复数数极极点点，因为这可以得到系统最小的调节时间和较高的精度。因为这可以得到系统最小的调节时间和较高的精度。第3章第58页EXIT三、利用主导极点的概念分析高阶系统三、
32、利用主导极点的概念分析高阶系统 因因此此，在在对对高高阶阶系系统统性性能能进进行行分分析析时时，如如果果能能找找到到一一对对共共轭轭复复数数主主导导极极点点，那那么么高高阶阶系系统统就就可可以以近近似似地地当当作作二二阶阶系系统统来来分分析析，并并用用二二阶阶系系统统的的性性能能指指标标公公式式来来估估计计系系统统的的性性能能；如如果果能能找找到到一一个个主主导导极极点点，那那么么高高阶阶系系统统可可以以按按一阶系统来分析一阶系统来分析。同同样样，在在设设计计一一个个高高阶阶系系统统时时，也也常常常常利利用用主主导导极极点点来来选选择择系系统统参参数数，使使系系统统具具有有一一对对共共轭轭主主
33、导导极极点点，以以利利于于近似地用二阶系统的性能指标来定性系统。近似地用二阶系统的性能指标来定性系统。第3章第59页EXIT 若若高高阶阶系系统统不不满满足足应应用用闭闭环环主主导导极极点点的的条条件件，则则高高阶阶系系统统不不能能近近似似为为二二阶阶系系统统。这这时时高高阶阶系系统统的的过过渡渡过过程必须具体求解，其研究方法同一阶、二阶系统。程必须具体求解，其研究方法同一阶、二阶系统。有有时时，对对于于不不大大符符合合存存在在闭闭环环主主导导极极点点条条件件的的高高阶阶系系统统，可可设设法法使使其其符符合合条条件件。例例如如，在在某某些些不不希希望望的的闭闭环环极极点点附附近近引引入入闭闭环
34、环零零点点，人人为为地地构构成成偶偶极极子子，产产生生零零极极点点相相消消。另另外外，在在许许多多实实际际应应用用中中，比比主主导导极极点点距距离离虚虚轴轴远远23倍倍的的闭闭环环零零、极极点点，在在某某些些条条件件下下也可考虑为略去之列。也可考虑为略去之列。第3章第60页EXIT3.5 3.5 3.5 3.5 稳定性和代数稳定判据稳定性和代数稳定判据稳定性和代数稳定判据稳定性和代数稳定判据第3章第61页EXIT 稳稳定定性性是是控控制制系系统统的的重重要要性性能能，是是系系统统能能够够正常工作的正常工作的首要条件首要条件。分分析析系系统统的的稳稳定定性性，并并提提出出保保证证系系统统稳稳定定
35、的的条件，是设计控制系统的基本任务之一。条件，是设计控制系统的基本任务之一。本本节节主主要要研研究究线线性性定定常常系系统统稳稳定定的的概概念念、控控制制系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件和和稳稳定定性性的的代代数数判判定定方方法。法。第3章第62页EXIT3.5.1 稳定的概念稳定的概念 系系统统稳稳定定性性：如如果果控控制制系系统统在在初初始始条条件件影影响响下下，其其响响应应过过程程随随时时间间的的推推移移而而逐逐渐渐衰衰减减并并趋趋于于零零，则则这这样样的的系系统统具具有有渐渐近近稳稳定定性性，简简称称具具有有稳稳定定性性。反反之之，在在初初始始条条件件影影响响下下，若若控控制制系系
36、统统的的响响应应过过程程随随时时间间推推移移而而发发散散，则则称这样的系统称这样的系统具有不稳定性。具有不稳定性。第3章第63页EXIT3.5.2 线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件 设设线线性性系系统统在在初初始始条条件件为为零零时时，输输入入一一个个理理想想单单位位脉脉冲冲函函数数(t)，系系统统的的输输出出是是单单位位脉脉冲冲响响应应c(t)。相相当当于于系系统统在在扰扰动动信信号号作作用用下下，输输出出信信号号偏偏离离原原平平衡衡工工作作点点的的情情形形，若若线线性系性系统统的的单单位脉冲响位脉冲响应应函数随函数随时间时间的推移的推移趋趋于零，即于零，即则则系系统稳统
37、稳定。定。第3章第64页EXIT设线性定常系统闭环传递函数为：设线性定常系统闭环传递函数为：设线性系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲函设线性系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲函数数(t)第3章第65页EXIT 只只有有当当特特征征方方程程的的所所有有根根（闭闭环环极极点点）都都具具有有负负的的实实部部时时，随随着着时时间间的的推推移移，c(t)才才能能趋趋于于零零，即即回回到到初初始始状状态态。反反之，若特征根中有一个具有正实部，则之，若特征根中有一个具有正实部，则c(t)趋于趋于。线性定常系统稳定的充分必要条件为：线性定常系统稳定的充分必要条件为：系系统统特特征征方方程程的的
38、所所有有根根（即即系系统统闭闭环环极极点点）均均具具有有负负的的实部。（或特征方程的所有根均在实部。（或特征方程的所有根均在s平面的左半部）平面的左半部）。若若有有部部分分闭闭环环极极点点位位于于虚虚轴轴上上，而而其其余余极极点点全全部部在在s平平面面左半部时，便会出现左半部时，便会出现临界稳定状态（为恒值或等幅振荡）。临界稳定状态（为恒值或等幅振荡）。第3章第66页EXIT 系系统统稳稳定定性性决决定定于于系系统统的的参参数数、结结构构，与与初初始始条条件件、外作用无关外作用无关。一般情况下，确定系一般情况下，确定系统稳统稳定性的方法有两种定性的方法有两种类类型：型：(1)直直接接计计算算或
39、或间间接接得得知知系系统统特特征征方方程程式式的的根根:1)直直接接对对系系统特征方程求解，统特征方程求解，2)根轨迹法。根轨迹法。(2)确确定定保保证证闭闭环环极极点点具具有有负负实实部部的的系系统统参参数数的的区区域域:可可应应用用劳斯劳斯胡尔维茨判据，胡尔维茨判据，奈奎斯特判据奈奎斯特判据等方法。等方法。很很明明显显，采采用用对对特特征征方方程程求求解解的的方方法法，虽虽然然非非常常直直观观，但但对对于于高高阶阶系系统统是是困困难难的的。为为此此，设设法法不不必必解解出出根根来来，而而能决定系统稳定性的准则就具有工程实际意义了。能决定系统稳定性的准则就具有工程实际意义了。第3章第67页E
40、XIT 劳劳斯斯稳稳定定判判据据的的根根据据是是：使使系系统统稳稳定定时时，必必须须满足系统特征方程式的根，全部具有负实部。满足系统特征方程式的根，全部具有负实部。但但该该判判据据并并不不直直接接对对特特征征方方程程式式求求解解，而而是是利利用用特特征征方方程程式式(即即高高次次代代数数方方程程)根根与与系系数数的的代代数数关关系系，由由特特征征方方程程中中已已知知的的系系数数，间间接接判判别别出出方方程程的的根根是是否否具具有有负负实实部部，从从而而判判定定系系统统是是否否稳稳定定。因因此此又称作代数稳定性判据。又称作代数稳定性判据。3.5.3 劳斯稳定判据劳斯稳定判据第3章第68页EXIT
41、应用劳斯稳定判据判定系统稳定性的步骤：应用劳斯稳定判据判定系统稳定性的步骤：（1）列系统闭环特征方程）列系统闭环特征方程 则则线线性性系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件为为特特征征方方程程的的全全部部系系数数为为正正值值，并并且且由由特特征征方方程程系系数数组组成成的的劳劳斯斯阵的第一列的系数也为正值。阵的第一列的系数也为正值。第3章第69页EXIT（2）各各项项系系数数均均为为实实数数。检检查查各各项项系系数数是是否否都都存存在且大于零在且大于零(ai0)，若都大于零，则进行第二步。若都大于零，则进行第二步。（3）利用特征方程的系数构成劳斯计算表）利用特征方程的系数构成劳斯计算表第3章第7
42、0页EXIT表中，除第一、二行外需要按照下列规律进行计算。表中，除第一、二行外需要按照下列规律进行计算。注注意意：劳劳斯斯表表的的每每一一行行右右边边要要计计算算到到出出现现零零为为止止；总总行行数数应应为为n+1；如如果果计计算算过过程程无无误误，最最后后一一行行应应只只有有一一个个数数；可可用用一一个个正正整整数数去去乘乘或或除除劳劳斯斯表表中中的的任任意意一一行行，不不改改变变判判断断结结果果。表表中中空缺的项，运算时以零代入。空缺的项，运算时以零代入。第3章第71页EXIT劳斯判据劳斯判据：(ai0)系统稳定的系统稳定的充分必要条件充分必要条件是：特征方程的全部系是：特征方程的全部系数
43、都是正数，并且劳斯表第一列元素都是正数。实数都是正数，并且劳斯表第一列元素都是正数。实部为正数的根的个数等于劳斯表的第一列元素符号部为正数的根的个数等于劳斯表的第一列元素符号改变的次数。改变的次数。第3章第72页EXITS3S2S1S0 稳定的充要条件：稳定的充要条件：ai0，a1 a2 a0 a30例例3.5 已已知知三三阶阶系系统统的的特特征征方方程程如如下下，试试确确定定系系统统稳稳定定的的充充要条件。要条件。解解 列劳斯表列劳斯表3.5.4 劳斯稳定判据的应用劳斯稳定判据的应用1.判定控制系统的稳定性判定控制系统的稳定性第3章第73页EXIT 劳劳斯斯表表的的第第一一列列系系数数有有两
44、两次次变变号号，故故该该系系统是不稳定，且有统是不稳定，且有2个正实部根个正实部根。例例3.6 已已知知线线性性系系统统的的特特征征方方程程如如下下，试试用用劳劳斯斯稳稳定定判判据据判判别该别该系系统统的的稳稳定性。定性。S4S3S2S1S0 1 3 52（1）4（2）01 5 0-3 05 解解 列劳斯表列劳斯表第3章第74页EXIT在编制劳斯表时两种特殊情况在编制劳斯表时两种特殊情况（不稳定或临界稳定）（不稳定或临界稳定）（1）某某行行的的第第一一列列系系数数为为零零，而而其其余余各各系系数数不不为为零零或或不不全为零全为零 这这种种情情况况下下，在在计计算算下下一一行行时时将将得得到到无
45、无穷穷大大，致致使使劳劳斯斯阵阵的的计计算算工工作作无无法法继继续续进进行行。为为了了解解决决这这个个问问题题，可可以以用一个很小的用一个很小的正数正数来代替等于零的该第一列系数。来代替等于零的该第一列系数。第3章第75页EXITS4S3S2S1S0 1 3 42 60()4(6-8)/04 由由于于是是很很小小的的正正数数，所所以以(6-8)/为为负负数数，则则劳劳斯斯表表第第一一列列各各元元的的符符号号改改变变了了两两次次。因因此此，系系统统不不稳稳定，特征方程有两个正实部根。定，特征方程有两个正实部根。例例3.7 试判别某系统的稳定性。其特征方程为试判别某系统的稳定性。其特征方程为第3章
46、第76页EXIT（2）计计算算劳劳斯斯表表时时，某某一一行行各各项项全全为为零零。这这表表明明特特征征方方程具有对称于原点的根。程具有对称于原点的根。这这时时可可将将不不为为零零的的最最后后一一行行（即即全全为为零零行行的的上上一一行行）的的各各项项构构成成一一个个辅辅助助多多项项式式。用用对对辅辅助助多多项项式式各各项项对对s求求导导后后所所得得的的系系数数代代替替全全部部为为零零行行的的各各项项，继继续续计计算算余余下下各行。各行。这这些些对对称称于于原原点点的的根根可可由由令令辅辅助助多多项项式式等等于于零零构构成成的的辅助方程辅助方程求得。求得。第3章第77页EXITS6S5S4S3S
47、2S1S0 1 5 8 4 1 3 2 02 6 4 00(8)0(12)03 4 0 4/3 04 例例3.9 试判别某系统的稳定性。设其特征方程为试判别某系统的稳定性。设其特征方程为解解 列劳斯表列劳斯表将辅助方程求导一次，得将辅助方程求导一次，得第3章第78页EXIT求解得：求解得：辅助方程辅助方程故系统有两对共轭虚根。故系统有两对共轭虚根。结结论论：系系统统不不稳稳定定，但但第第一一列列元元素素未未改改变变符符号号，所所以以系系统没有位于统没有位于s右半平面的根，有位于虚轴上的根。右半平面的根，有位于虚轴上的根。第3章第79页EXIT2.分析系统参数变化对稳定性的影响分析系统参数变化对
48、稳定性的影响 利用代数稳定判据可以确定个别参数变化对系统稳定利用代数稳定判据可以确定个别参数变化对系统稳定性的影响，给出使系统稳定的参数范围。性的影响，给出使系统稳定的参数范围。例例3.10 如图所示系统，试确定使系统稳定的开环放大倍如图所示系统，试确定使系统稳定的开环放大倍数取值范围。数取值范围。第3章第80页EXIT解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 特征方程为：特征方程为：为使系统稳定，必须有为使系统稳定，必须有 综合考虑，使系统稳定的综合考虑，使系统稳定的 K取值范围应为取值范围应为：0K13，开开环临界放大系数界放大系数为：K p=13。第3章第81页EXIT 3.确定系
49、统的相对稳定性确定系统的相对稳定性确定系统的相对稳定性确定系统的相对稳定性 相对稳定性的定义相对稳定性的定义 一一个个稳稳定定系系统统的的特特征征方方程程的的根根都都落落在在复复平平面面虚虚轴轴的的左左半半部部，而而虚虚轴轴是是系系统统的的临临界界边边界界，因因此此，以以特特征征方方程程最最靠靠近近虚虚轴轴的的根根和和虚虚轴轴的的距距离离表表示示系系统统的的相相对对稳稳定定性性或或稳稳定裕度。定裕度。一般来说，一般来说，愈大则系统的稳定度愈高。愈大则系统的稳定度愈高。s平面平面0j第3章第82页EXIT 利用劳斯稳定判据判断系统的稳定度利用劳斯稳定判据判断系统的稳定度方方法法：以以s=z-代代
50、入入原原系系统统的的特特征征方方程程，应应用用劳劳斯斯判判据据于于新新的的方方程程。若若满满足足稳稳定定的的充充要要条条件件，则则该该系系统统的的特特征征根根都都落落在在s平平面中面中s=-直线的左半部分，即具有直线的左半部分，即具有以上的稳定裕度。以上的稳定裕度。s平面平面0j第3章第83页EXIT例例3.11 上例若要系统具有上例若要系统具有=1 以上稳定裕度量，试确定以上稳定裕度量，试确定K。根据劳斯判据，稳定的充要条件是根据劳斯判据，稳定的充要条件是则则解：解：将代入原系统的特征方程，得将代入原系统的特征方程，得第3章第84页EXIT4.结构不稳定系统及其改进结构不稳定系统及其改进 结