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1、第三章线性系统的时域分析第三章线性系统的时域分析Chapter 3 Time-domain analysis of linear system 大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院College of Electromechanical Information Engineering3.33.3二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析second-order system analysis in time-domain 1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应3 欠阻尼二阶系统的性能分析欠阻尼二阶系统的性能分析4 过阻尼二阶系统的
2、性能分析过阻尼二阶系统的性能分析5 二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型r(t)c(t)d tdc(t)RCdtc(t)dLC221RCLC1)()(2sssRsC2222)()(nnnsssRsC二阶系统的特征参数：LC/1nLCR2阻尼比阻尼比(相对阻尼系数)无阻尼自振角频率无阻尼自振角频率(固有频率)凡以二阶系统微分方程描述的系统，称为二阶系统二阶系统 )()()(2)(2222trtcdttdcdttcdnnn2222)()()(nnnsssRsCs)(1)()(sGsGs)2(2)(222nnnnsssssG)2(2nnssR(s)C(
3、s)- 微分方程： 传递函数： 用闭环结构图表示为：二阶系统的结构及标准型二阶系统的结构及标准型 )2()(222nnncssssX 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应2 - 1S1,2=-nnS1,2=-n-n=S1,2 = jn01101j0j0j0j0二二阶系统的单位阶系统的单位阶跃响应阶跃响应2(s)=s2+2ns+n2n2-j1-2 nS1,2=nj0j0j0j0T11T2111010h(t)= 1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)= 1-(1+nt) e- tnh(t)= 1-cosntsin(dt+)e- t h(t)=1-211n过阻尼过阻尼
4、临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼零阻尼零阻尼=0=0的四种情况的四种情况系统的特征根为一对具有负实部的共轭复根：系统的特征根为一对具有负实部的共轭复根： dnnnjjs22, 1121ndssR1)()()(2dndnnjsjsssC其中式中：式中： 阻尼振荡角频率，或振荡角频率阻尼振荡角频率，或振荡角频率 阻尼角阻尼角 衰减系数衰减系数 nd21n0sin1cos1)(2tttetcddtn，01arctansin111)(22ttetcdtn，22222222)()(1)(21)()(dnndnndnndnnssssssssssC21arctan2211( )1esinarctan1ntdc
5、tt ，由于由于 故要有故要有 1rc t21sin01n rtd ret0n rterdt令令求得求得则则d rt1.上升时间上升时间Rise time tr2211( )1esinarctan1ntdc tt ，d ptsincos0n pn pttnd pdd petet2tan1pdt21tan()d pt2211( )1sinarctan01ntdc tett ，对上式求导对上式求导, ,令其为零令其为零根据峰值时间定义根据峰值时间定义 ,2 ,3d pt0，由于：由于：解得：解得：2.峰值时间峰值时间Peak time tp 21211sin1pc te 2sin1 211pc t
6、e 21100%pMe将峰值时间带入3.超调量超调量Overshoot Mp0.4-0.8最佳取值最佳取值: : 是按指数衰减的是按指数衰减的正弦振荡的包络线，因正弦振荡的包络线，因而当它衰减到而当它衰减到 值的时值的时间可近似地视为是系统间可近似地视为是系统的调整时间的调整时间t ts s。 是对称是对称于于c()c()的一对包络线的一对包络线, ,整个响应都包含在这整个响应都包含在这一对包络线内。一对包络线内。211nte4.调整时间调整时间Setting time ts2e1nt2e1nt 由上式求得由上式求得211ln1ln1nst如取如取 , ,则则当当 较小时，近似为较小时，近似为
7、05. 0211ln05. 01ln1nstTtns33当当 时，近似为时，近似为其中，其中， 为系统的时间常数。为系统的时间常数。02. 0Ttns44nT15. 振荡次数振荡次数N 振荡次数振荡次数NN表示在调节时表示在调节时间内，系统响应的振动次间内，系统响应的振动次数，用数学式子表示为数，用数学式子表示为 当考虑当考虑5%5%的误差带时，则的误差带时，则 当考虑当考虑2%2%的误差带时，则的误差带时，则 通常通常NN取整数。取整数。2 /2sd sdttN23 12N214N6. 稳态误差稳态误差 欠阻尼二阶系统在阶跃信号作用下的稳态误欠阻尼二阶系统在阶跃信号作用下的稳态误差恒为零。差
8、恒为零。)%5(3误差带取nst21ndrt21ndpt%100%100)()()(%21ecctcp典型二阶系统欠阻尼时的动态性能指标典型二阶系统欠阻尼时的动态性能指标上升时间上升时间峰值时间峰值时间t tp p超调量超调量调节时间调节时间ts例例3-1 控制系统如图控制系统如图3-15所示，要使所示，要使 =0.6，试确定参数试确定参数K值，并计算动态性能指标：调值，并计算动态性能指标：调节时间、峰值时间、超调量。节时间、峰值时间、超调量。解：系统的闭环传递函数解：系统的闭环传递函数与二阶系统的数学与二阶系统的数学模型对照，可得模型对照，可得10)51 (10)(2sKssG102nKn5
9、12故故10n10251K要使要使 =0.6，由上式得，由上式得K=0.56。下面计算性能指标：下面计算性能指标：调节时间调节时间 峰值时间峰值时间 超调量超调量 误差带）取%5(59. 13stns21.24s1pnt2/ 1e100%9.84%pM例例3-2要求系统具有性能指标：要求系统具有性能指标：stpp1%,20,Ksrtt ,确定系统参数确定系统参数并计算单位阶跃响应的并计算单位阶跃响应的性能指标性能指标解：解：由图可知系统闭环传递函数由图可知系统闭环传递函数：与标准形式比较，与标准形式比较，由由 得：得： 21C sKR ssKK21%100%enK12KK22ln 10.461
10、lnpp223.531nprad st 210.18nsK2212.46nKrad sarccos1.10 rad 0.65rdts213.14dnrad s 3.52.17snts0.02 4.52.80snts若取误差带为若取误差带为12, nnpjpj 222( )()ncnXss sttXnccos1)( （3）临界阻尼（）临界阻尼（ =1） 系统的特征根是两个负实根：系统的特征根是两个负实根：1,2np 201222( )()()ncnnnAAAXss ssss00212222( )1( )()( )()1nnncscnnsncnssAXs sAXs sdAXs sdss ( )1(
11、1), 0ntcnx tett （4）过阻尼（）过阻尼（ 1）系统的特征根为复平面负实轴上的两个不等实极点：系统的特征根为复平面负实轴上的两个不等实极点： 2122(1)(1)nnpp 22110212222)()2()(psApsAsApspssssssXnnnnc120011222222( ) 11( )()21(1)1( )()21(1)cscspcspAXs sAXs spAXs sp221101212(1)(1)222( )( )11 02111nnccttAAAx tLXsLsspspeet ，结论：后一项的衰减指数远比结论：后一项的衰减指数远比前一项大得多前一项大得多。这时，二阶
12、系这时，二阶系统的暂态响应就类似于一阶系统的暂态响应就类似于一阶系统的响应。统的响应。 临界阻尼(=1)时的单位阶跃响应 （ ）响应的稳态分量为稳态分量为1 ，暂态分量暂态分量随着时间的推移最终衰减到最终衰减到零，零，ess=0。 过阻尼（1）时的单位阶跃响应（ ）响应的稳态分量为稳态分量为1 ；暂态响应分量由两项负指数函数之和组成，且后面的指数项较前面的指数项衰减得快，随着时间的推移，暂态分量最终衰减到零，暂态分量最终衰减到零，ess=0。 ttnneetc)1(22)1(2222) 11( 21) 11( 211)(1221nns，ns21，tntntssnnnnnetteeLtc)1 (
13、11)(1)(122 零阻尼(=0)时的单位阶跃响应（ ）c(t)=1-cosnt 响应的稳态分量为稳态分量为1 ；暂态分量为余弦函数暂态分量为余弦函数，整个响应曲线以n为角频率的等幅振荡。 jsn21，欠阻尼(01)时的单位阶跃响应（ ）稳态分量为稳态分量为1 ，暂态分量暂态分量为振幅随时间按负指数规律衰减的周期函数，其振荡角频率为d，由于 ，可见的值越大，振幅衰减越快，最终衰减到零最终衰减到零, ess=0 。 dnnjjs2211，)sin(111)(2tetcdtn(arccos) 21nd结论：在稳定的情况下，二阶系统的暂态响应的暂态结论：在稳定的情况下，二阶系统的暂态响应的暂态分量
14、为一按分量为一按指数衰减指数衰减的简谐振动时间函数；振荡程度的简谐振动时间函数；振荡程度与与 有关：有关： 越小，振荡越剧烈。越小，振荡越剧烈。 当当 = 0= 0时，系统不能正常工作，时，系统不能正常工作， = 1= 1时，时，系统暂态响应进行的又太慢，系统暂态响应进行的又太慢，所以，对二阶所以，对二阶系统来说，系统来说，欠阻尼欠阻尼情况情况（ ）是最有实是最有实际意义的。际意义的。 10离虚轴最近的闭环极点对系统的动态响应起主导作用。 高阶系统怎么办？高阶系统怎么办？ 响应曲线的类型（震荡情况）由闭环极点的性质所决定。动态响应曲线的形状由闭环系统的零点、极点共同决定。闭环极点离虚轴越近，其对系统的影响越大。偶极子：同一位置或相距很近的闭环零、极点，对系统的影响很小。主导极点：如果系统中有一个(极点或一对)复数极点距虚轴最近，且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。 WORDS AND PHARASESWORDS AND PHARASES