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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第一节第一节 数学期望数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质课堂练习课堂练习 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中
2、，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望数学期望、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数一、数学期望的概念一、数学期望的概念 即即定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是:PX=xk=pk,k=1,2,若若级数级数绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数的和为的和为随机变量随机变量X的的数学期望数学
3、期望，记为，记为 ,若级数发散若级数发散 ，则称，则称X的数学期望不存在。的数学期望不存在。定义定义2 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，如如果积分果积分 绝对收敛，则称该积分的值绝对收敛，则称该积分的值为随机变量为随机变量X的数学期望或者均值，记为的数学期望或者均值，记为EX，即即 如果积分如果积分 发散，则称发散，则称X的数学期的数学期望不存在。望不存在。关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3)随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同.(1)E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种
4、加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值,也称也称均值均值.(2)级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.随机变量随机变量 X 的算术平均值为的算术平均值为假设假设它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量X 取可能值
5、的平均值取可能值的平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时取各个可能值是等概率分布时,X 的期望值与算术平均值相等的期望值与算术平均值相等.试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?思考思考 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手解解故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.例例4.1 一批产品中有一、二、三等及废品一批产品中有一、二、三等及废品4种，相种，相应比例分别为应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级，若各等级的产值分别为的产值分别为10元、元、5.8元、元、4元及元及0元，求这批产元，求这批产品的平均产值。品的平均产值。解解 设一个产品
6、的产值为设一个产品的产值为X元，则元，则X的可能取值的可能取值分别为分别为0，4，5.8，10；取这些值的相应比例分别为；取这些值的相应比例分别为7%,13%,20%,60%；则它们可以构成概率分布，；则它们可以构成概率分布，由数学期望的定义求得产品的平均产值为由数学期望的定义求得产品的平均产值为 EX=40.13+5.80.2+100.6=7.68（元）。元）。到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望.例例4.2 按规定按规定,某车站每天某车站每
7、天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者到站的时间相互独立。其规律为：到站的时间相互独立。其规律为：X 10 30 50 70 90 例例4.3若若将这两个电子装置串联连接组成整机将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机求整机寿命寿命(以小时计以小时计)N 的数学期望的数学期望.的分布函数为的分布函数为例例4.4商店的销售策略商店的销售策略解解例例4.5 求常见分布的随机变量数学期望。求常见分布的随机变量数学期望。二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设
8、已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦一旦我们知道了我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的的分布求得分布求得Eg(X)
9、呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的.(1)当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X=xk)=pk;(2)当当X为连续型时为连续型时,它的密度函数为它的密度函数为f(x).若若定理定理1 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g(X)(g是连续函数是连续函数)该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,不不必知道必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了
10、.这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.定理定理2 设设g(X,Y)是随机变量是随机变量X、Y的函数，且的函数，且Eg(X)存在。存在。(2)如果如果X、Y是连续型随机变量，联合概是连续型随机变量，联合概率密度为率密度为f(x,y)，则则 (1)如果如果X、Y是离散型随机变量，联合概率是离散型随机变量，联合概率分布为分布为pij,i,j=1,2,，则则 解解例例4.6 设设(X,Y)的分布律为的分布律为由于由于例例4.7解解例例例例8 8例例9 求数学期望求数学期望E(eX)，若若 (1)XP(3);(2)XB(n,p);(3)XN(1,4).例例例例101
11、0例例例例1010例例11解解于是于是例例12解解因此所求数学期望为因此所求数学期望为 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立 例例10 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客有旅客有10个车站可以下车个车站可以下车,如到达一个车站没
12、有旅如到达一个车站没有旅客下车就不停车客下车就不停车.以以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X).(设设每位旅客在各个车站下车是等可能的每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客并设各旅客是否下车相互独立是否下车相互独立)四、数学期望性质的应用四、数学期望性质的应用按题意按题意按题意按题意 本题是将本题是将本题是将本题是将X X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和,然后利用随然后利用随然后利用随然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望
13、的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的数学期望的数学期望的数学期望的,此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义.五、课堂练习五、课堂练习五、课堂练习五、课堂练习1 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n把把钥钥匙匙,其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门,他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门,若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除除去去,求求打打开开门门时时试试开次数的数学期望开次数的数学期望.2 2 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为
14、的概率密度为的概率密度为1 解解 设试开次数为设试开次数为X,于是于是 E(X)2 2 解解解解Y Y是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量X X的函数的函数的函数的函数,P(X=k)=1/n,k=1,2,n解解 从数字从数字0,1,2,n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望求这两个数字之差的绝对值的数学期望.一般的一般的3解解4 某银行开展定期定额有奖储蓄某银行开展定期定额有奖储蓄,定期一年定期一年,定额定额60元元,按规定按规定10000个户头中个户头中,头等奖一个头等奖一个,奖金奖金500元元;二等奖二等奖10个个,各奖各奖100元元;三等奖三等奖100个个,各奖各奖10元元;四等奖四等奖1000个个,各奖各奖2元元.某人买某人买了五个户头了五个户头,他期望得奖多少元他期望得奖多少元?解解因为任何一个户头获奖都是等可能的因为任何一个户头获奖都是等可能的,分布列为分布列为5买五个户头的期望得奖金额为买五个户头的期望得奖金额为 解解6