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1、采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 第 四 章 随随 机机 变变 量量 的的 数数 字字 特特 征征采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结第一节第一节 数学期望数学期望采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋
2、转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物数学期望的引例数学期望的引例例如例如：某：某7人的高数成绩为人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为，则他们的平均成绩为9085 280 275607 1221190858075607777779.3以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望111,1,2,.,().().kkkkkkkkkkkXP Xxpkx px pXE
3、 XE Xx p定义：设离散型随机变量的分布律为若级数绝对收敛 则称级数的和为随机变量的数学期望 记为即一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同. (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量
4、 X 取可能值的取可能值的真正平均值真正平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物他他们们的的射射击击技技术术分分别别为为乙乙两两个个射射手手甲甲,试问哪个射手技术
5、较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击中环数击中环数概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环环 XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2环环 XE.,21XX为为乙乙射射手手击击中中的的环环数数分分别别设设甲甲故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.采
6、用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例2 如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向? 某人有某人有10万元现金万元现金, 想投资想投资于某项目于某项目, 欲估成功的机会为欲估成功的机会为 30%, 可得利润可得利润8万元万元 , 失败的机会失败的机会为为70%, 将损失将损失 2 万元万元.若存入银若存入银行行, 同期间的利率为同期间的利率为5% , 问是否问是否作此项投资作此项投资?解解设设 X 为投资利润为投资利润,则则),( 17 . 023 . 08)(万万元元 XE存入银行的利息存入银行
7、的利息:),(5 . 0510万万元元 %故应选择投资故应选择投资.Xp82 3 . 07 . 0采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例3 二项分布二项分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p则有则有)(0kXPkXEnk knknkppknk )1(0 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆
8、度，保持熔接部位干净无污物knknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp则两点分布则两点分布B(1, p)的数学期望为的数学期望为 p.=np采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例4 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk则有则有0()!kkE Xkek11(1)!kkek ee . 且分布律
9、为且分布律为设设),(PX 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例5 几何分布几何分布 102111 pkpqpqkXPk;,;,则有则有 1111kkkkqkppqkXE)(的分布律为的分布律为设设Xvr. 1kkqp)()( 1kkqppqpqqp11112 )()(采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义( ),( )d,( )d,().
10、()( )d .Xp xx p xxx p xxXE XE Xx p xx设连续型随机变量的概率密度为若积分绝对收敛 则称积分的值为随机变量的数学期望 记为即定义定义4.2采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例6 均匀分布均匀分布 则有则有()( )dE Xxp xx baxxabd1 .,)(其它其它01bxaabxp其其概概率率密密度度为为设设),(baUX1().2ab结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点.采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及
11、配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例7 指数分布指数分布 .,)(,0000 其其中中其其概概率率密密度度为为服服从从指指数数分分布布设设随随机机变变量量xxexpXx则有则有()( )dE Xxp xx0dxxex.1 00dxxxeex 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为 .,)(000515x
12、xexpx试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?解解15XE因为，5.E X 所以所以，顾客平均等待所以，顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.例如：顾客平均等待多长时间例如：顾客平均等待多长时间?采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例8 正态分布正态分布 其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有则有()( )dE Xxp xx22()21d2x xextx 令令, tx .,)()( xexpx021222采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件
13、在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物. 22221dd22ttettet22()21()d2x E Xxex所以221()d2t t et正正是是它它的的数数学学期期望望。中中的的可可见见),(,2N采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物若若X为离散型随机变量，分布律为为离散型随机变量，分布律为Y=f(X)为为X的函数，的函数，), 2 , 1(, kpxXPkk则则Y的期望为的期望为1( ()().kkkE f Xf xp1. 离散型随机变量函数的数学期望离
14、散型随机变量函数的数学期望 二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2. 连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望( ()( ) ( )d .E f Xf x p xx若若 X 是连续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为 p(x) 则则3. 二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望.),(),(,),(,)1( iijjjipyxfYXfEyxfYX则则数数为为二二元元函函为为离离散散型型随随机机变变量量设设.)
15、,(ijpYX的的联联合合概概率率分分布布为为其其中中采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 (, )( , ) ( , )d d .E f X Yf x y p x yxy 则则数数为为二二元元函函为为连连续续型型随随机机变变量量设设,),(,)(yxfYX2( , )(, ).p x yX Y其中为的联合概率密度采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物Xp1234 . 02 . 04 . 0解解的的分分
16、布布律律为为XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(, )(),(),(:2YXEXYEYEXE 求求例例9 设设 (X ,Y) 的分布律为的分布律为. 24 . 032 . 024 . 01)( XE得得采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物. 03 . 014 . 003 . 01)( YE得得Yp1 013 . 04 . 03 . 0的的分分布布律律为为Y采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度
17、，保持熔接部位干净无污物p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 013 . 04)(2 YXE得得. 5 1111 0.2 0 0.1 1 0.10.10.1 0 0.30.1223E Y X .151 1 0121 21031Y X于是于是 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例10 设国际市
18、场每年对我国某种出口商品的需求量设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X（吨）服从区间【（吨）服从区间【2000，4000】上的均匀分布。若】上的均匀分布。若售出这种商品售出这种商品1吨，可挣得外汇吨，可挣得外汇3万元，但如果销售不万元，但如果销售不出，而囤积于仓库，则每吨需保管费出，而囤积于仓库，则每吨需保管费1万元，问应预万元，问应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？分析：分析： 解解 设应预备设应预备 吨商品，则销售商品获得的收益为吨商品，则销售商品获得的收益为 a3 ,3,.aXaYg XXaXXa20004000.a且采用PP管及配件：
19、根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物于是于是 XE YE g Xg x fx dx而而 1,20004000,20000,XxXfx其他.所以所以 4000200012000E Yg x dx4000200013320002000aaaxaxdxdx21700040000001000aa采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物故当预备故当预备3500吨商品时，国家收益最大为吨商品时，国家收益最大为8250万元。万元。 24
20、13500825 1082501000a采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1. 设设c是常数是常数, 则有则有( ).E cc证明证明()( )1.E XE ccc 2. 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, c 是常数是常数, 则有则有()().E cXcE X证明证明()kkkE cXcx p().cE Xkkkcx p例如例如, 5)( XE)(3)3(XEXE 则则.1553 三、数学期望的性质三、数学期望的性质采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切
21、断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物).()(YEXE 4. 设设 X、Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 则有则有).()()(YEXEXYE 3. 设设 X、Y 是两个随机变量是两个随机变量, 则有则有).()()(YEXEYXE 证明证明11()()ijijijE XYxyp 推广推广).()( niiiniiiXEaXaE1111iijjijx py p采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物).,)(,.10,20互互独独立立并并设设各各旅旅客客是是否否
22、下下车车相相下下车车是是等等可可能能的的设设每每位位旅旅客客在在各各个个车车站站求求表表示示停停车车的的次次数数以以有有旅旅客客下下车车就就不不停停车车如如到到达达一一个个车车站站没没个个车车站站可可以以下下车车旅旅客客有有位位旅旅客客自自机机场场开开出出一一民民航航送送客客车车载载有有XEX解解,iX引入随机变量引入随机变量.10, 2 , 1, 1, 0 iiiXi站站有有人人下下车车在在第第站站没没有有人人下下车车在在第第.1021XXXX 则则例例11* 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污
23、物,109020 iXP则有则有,1091120 iXP.10, 2 , 1 i., 2 , 1,1091)(20 iXEi由由此此)()(1021XXXEXE 得得)()()(1021XEXEXE 20109110).(784. 8次次 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物四、小结四、小结数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正
24、的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性质数学期望的性质 ).()()(,4);()()(3);()(2;)(10000YEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE独独立立采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3. 常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望 分分布布 分分布布律律 E(X) (0-1)分分布布 XB(1, p) kkppkXP 1)1( k=0,1 p 二二项项分分布布 XB(n, p) knkknppCkXP )1 ( k=0,1,2,n np 泊泊 松松 分
25、分 布布 )( PX PX=k= ekk! k=0,1,2, 几几何何分分布布 PX=k=ppk1)1( k=1,2, p1 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 4.常见连续型随机变量的数学期望常见连续型随机变量的数学期望 分分布布名名称称 概概率率密密度度 )(XE 均均匀匀分分布布 XUa,b p(x)= 其其他他, 0,1baxab 2ba 正正态态分分布布 ),(2 NX p(x)=222)(21 xe 指指数数分分布布 )( EX p(x)=)0(, 00, 其其他他xex 1 采用P
26、P管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物作业作业习题四：习题四：6，11，12，13.预习：第二节预习：第二节 方差方差复习：第四章复习：第四章采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物根据生命表知根据生命表知 , 某年龄段保险者里某年龄段保险者里 , 一一 年中年中每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002, 现有现有10000个这类人个这类人参加人寿保险参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领若在死亡时家属
27、可从保险公司领取取 2000 元赔偿金元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少问每人一年须交保险费多少元元?例例1 你知道自己该交多少保险费吗你知道自己该交多少保险费吗?备份题备份题采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解解设设1年中死亡人数为年中死亡人数为X , B(10000,0.002)X则100001000001000()(0.002) (1 0.002)kkkE Xkk).(20 人人 被保险人所得赔偿金的期望值应为被保险人所得赔偿金的期望值应为 ).(40000200020元元 若设每人一
28、年须交保险费为若设每人一年须交保险费为a 元元,采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物由被保险人交的由被保险人交的“纯保险费纯保险费”与他们所能得到的与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知赔偿金的期望值相等知4000010000 a),(4 元元 a故每人故每人1年应向保险公司交保险费年应向保险公司交保险费4元元.采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解解)5()(2)52(33EXEXE , 5)(23
29、XE1213121121031)2()(33333 XE又又,31 .31353125)(2)52(33 XEXE故故例例2 设设求求:).52(3 XE3102 3121121121Xp采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物., 0, 30,9)(, 0, 10,2)(,)()(2的均值的均值试求电压试求电压其它其它其它其它其概率密度分别为其概率密度分别为相互独立的随机变量相互独立的随机变量是两个是两个与电阻与电阻设一电路中电流设一电路中电流IRVrrrhiiigRAI 解解)()(IREVE )
30、()(REIE ( )d ( )d ig iirh rrd9 d2302102 rrii).(23V 例例3 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物:),(,规规定定以以年年计计记记使使用用寿寿命命为为付付款款的的方方式式的的销销售售采采用用先先使使用用后后某某商商店店对对某某种种家家用用电电器器X例例4商店的销售策略商店的销售策略 .3000, 3;2500, 32;2000, 21 ;1500, 1元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款 XXXX. 0,
31、 0, 0,101)(,10的的数数学学期期望望试试求求该该商商店店一一台台收收费费概概率率密密度度为为服服从从指指数数分分布布设设寿寿命命YxxexfXx 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解解xeXPxd10111010 1 . 01 e,0952. 0 xeXPxd101211021 2 . 01 . 0 ee,0861. 0 xeXPxd101321032 ,0779. 03 . 02 . 0 ee采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转
32、，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物10313d10 xP Xex.7408. 03 . 0 e的的分分布布律律为为因因而而一一台台收收费费 YYkp30002500200015000952. 07408. 00861. 00779. 0,15.2732)( YE得得.15.2732即平均一台收费即平均一台收费采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物其其规规律律为为独独立立且且两两者者到到站站的的时时间间相相互互的的但但到到站站的的时时刻刻是是随随机机都都恰恰有有一一辆辆客客车车到到站站某某车
33、车站站每每天天按按规规定定.,00:1000:9,00:900:8, 到站时刻到站时刻概率概率10:910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望望求求他他候候车车时时间间的的数数学学期期到到车车站站一一旅旅客客.,20:8(ii)望望求求他他候候车车时时间间的的数数学学期期到到车车站站一一旅旅客客例例5 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物).(以以分分计计设设旅旅客客的的候候车车时时间间为为 X解解的的分分布布律律为为X(i)Xkp106130635062候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为625063306110)( XE).(33.33分分 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物的的分分布布律律为为X(ii)Xkp10633062506161 706361 906261 62619063617061615062306310)( XE).(22.27分分 候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为