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1、随机变量的数学期望第1页，此课件共24页哦第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 期望的性质与随机变量期望的性质与随机变量 函数的期望函数的期望第三节第三节 方差方差第四节第四节 协方差与相关系数协方差与相关系数第2页，此课件共24页哦第一节第一节 数学期望数学期望 随机变量的分布列或概率密度随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变全面地描述了随机变量的统计规律量的统计规律.但这样的但这样的全面描述并不使人感到方便全面描述并不使人感到方便.一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比如果要比较两个品种的母
2、鸡的年产蛋量较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的个品种的母鸡的年产蛋量的平均值平均值就可以了就可以了.平均值平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.如果不去比如果不去比较它们的平均值较它们的平均值,而只看它们的分布列而只看它们的分布列,虽然全面虽然全面,却却使人难以迅速地作出判断使人难以迅速地作出判断.第3页，此课件共24页哦所以甲的射击技术较乙的好所以甲的射击技术较乙的好.0.30.30.50.50.20.20.60.60.10.10.30.3概率概率10109 98 810109 98 8击中环数击中环数乙
3、乙甲甲射手名称射手名称有甲，乙两射手，他们的射击技术如表所示，有甲，乙两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？试问哪一个射手本领较好？解解 甲射击平均击中环数为甲射击平均击中环数为乙射击平均击中环数为乙射击平均击中环数为一一 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望第4页，此课件共24页哦4.1.1 数学期望的定义数学期望的定义 定义定义4.1.1 设离散随机变量设离散随机变量X的分布列为的分布列为P(X=xk)=pk,k=1,2,.若级数若级数绝对收敛，则称该级数为绝对收敛，则称该级数为X 的的数学期望数学期望，记为记为注注：若：若则称随机变量则称随机变量X X的的数
4、学期望不存在数学期望不存在.第5页，此课件共24页哦数学期望简称为数学期望简称为期望期望.数学期望又称为数学期望又称为均值均值.数学期望是一种数学期望是一种加权平均加权平均.注注 意意 点点第6页，此课件共24页哦常见离散型随机变量的期望常见离散型随机变量的期望第7页，此课件共24页哦例例2 2设随机变量设随机变量X X服从二项分布服从二项分布,即即则随机变量则随机变量X X的数学期望的数学期望E(X)=np.E(X)=np.证明证明第8页，此课件共24页哦第9页，此课件共24页哦二二 连续随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望定义定义2 设连续随机变量设连续随机变量X的密度函的密度函数为数
5、为p(x),若积分若积分 绝对收敛，绝对收敛，则称该积分为则称该积分为X 的的数学期望数学期望，记为记为注注:若若则称则称连续型随机变量连续型随机变量X X的的数学期望不存在数学期望不存在.第10页，此课件共24页哦常见连续型随机变量的期望常见连续型随机变量的期望例例4第11页，此课件共24页哦例例5 5第12页，此课件共24页哦例例6 设连续型随机变量设连续型随机变量XN(,2),则则 E(X)=.证明证明第13页，此课件共24页哦所以E(X)不存在.但柯西分布数学期望不存在柯西分布数学期望不存在第14页，此课件共24页哦 三三 数学期望的性质数学期望的性质 4.设设X,Y是两个随机变量是两
6、个随机变量,若若E(X),E(Y)存在存在,则对则对 任意的实数任意的实数a、b,E(aX+bY)存在存在,且有且有 E(aX+bY)=a E(X)+b E(Y)此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的 情况情况.第15页，此课件共24页哦5.设设X,Y是互相独立的随机变量是互相独立的随机变量,则有则有 E(XY)=E(X)E(Y)此性质可推广到有限个互相独立的随此性质可推广到有限个互相独立的随机变量之积的情况机变量之积的情况.第16页，此课件共24页哦第17页，此课件共24页哦 四四 一维随机变量函数的数学期望一维随机变量函数的数学期望 第18页，此课件共24页哦第19页，此课件共24页哦例例7 7第20页，此课件共24页哦例例8 8第21页，此课件共24页哦五五 二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望定理定理 1 设设(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则，则E(Z)=Eg(X,Y)=第22页，此课件共24页哦例例14 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为试求试求XY的数学期望的数学期望.解解第23页，此课件共24页哦 作业习题 1 第24页，此课件共24页哦