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1、 第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第一讲第一讲 数学期望数学期望补充题：补充题：1）X,Y 相互独立相互独立,都服从都服从p为为 0.5 的的0-1分布，求分布，求 M=maxX,Y 的概率分布的概率分布.例5maxX,Y P1 0YXpij1 010 0.25 0.25 0.25 0.250.250.250.250.25+0.75 例5习题六12题2x y=z2-(-z)2x y=z2x y=z2x y=z 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，的概率分布，那么那么X 的
2、全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的难确定的.而在一些实际应用中，人们并不而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的一些综合指标就够了道它的一些综合指标就够了.比如分布的中心比如分布的中心位置，散布程度等，将这些称为数字特征。位置，散布程度等，将这些称为数字特征。32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;一、离散型随机变量的数学期望一、
3、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入：某车间对工人的生产情况进行某车间对工人的生产情况进行考察考察.车工小张每天生产的废品数车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量是一个随机变量.如何定义如何定义X 的平均的平均值呢？值呢？若统计若统计100天天,可以得到这可以得到这100天中每天的平均废品数天中每天的平均废品数为，为，在对随机变量的研究中，确定某些数字在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望和方差数学期望和方差定义定义1 设设X 是离散型随机变量，它的分布律是是离散型随机变量，它的分布
4、律是:P(X=xk)=pk,k=1,2,也就是说也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和对收敛的级数的和.数学期望简称期望、均值。数学期望简称期望、均值。如果如果绝对收敛绝对收敛,定义定义X 的数学期望的数学期望Expectation 随机变量的数学期望是随机变量的取值以概率为权随机变量的数学期望是随机变量的取值以概率为权的加权平均。的加权平均。在经济管理中，在经济管理中，Ex x也经常表现为正常生产也经常表现为正常生产情况下国家规定的质量指标，因为它可以理情况下国家规定的质量指标，因为它可以理解为工人和市场的期望值解为工人和市场的期望值.例如
5、，市场需要例如，市场需要12mm直径的零件，但受各种随直径的零件，但受各种随机因素的影响，生产的零件不会刚好是机因素的影响，生产的零件不会刚好是12mm.设设x x为零件的直径，如果为零件的直径，如果x x 的概率分布为的概率分布为:0.40.20.1121110 x xip13140.20.1 即即Ex x =12，这表明生产是正常的，而且表明，这表明生产是正常的，而且表明12mm正是大家的期望，这也是期望名称的由来正是大家的期望，这也是期望名称的由来.随机变量的数学期望是个实数，与随机变量有相同随机变量的数学期望是个实数，与随机变量有相同的单位的单位.数学期望反映了随机变量取值的平均水平，
6、它数学期望反映了随机变量取值的平均水平，它的统计意义是对随机变量进行大量观测后得到的理论的统计意义是对随机变量进行大量观测后得到的理论平均数平均数.0.40.20.1121110 x xip13140.20.1 Ex x=100.1+110.2+120.4+130.2+140.1 =12.物理解释物理解释：一质量为：一质量为1的金属细棒的金属细棒,质量散布质量散布在坐标为在坐标为 质点质点M1，M2，Mn上，若质点上，若质点Mi的重量是的重量是pi，则金属细棒的，则金属细棒的中心位置就是中心位置就是例例 求求 0 1分布的数学期望分布的数学期望.x x 01pk1 pp011 pp()=p.例
7、例:某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n 把把钥钥匙匙，其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门，他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门.若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除去，求打开门时试开次数的数学期望除去，求打开门时试开次数的数学期望.解解:设试开次数为设试开次数为X,P(X=k)=1/n ,k=1,2,nE(X)泊松分布泊松分布例例:设设 X 的分布律如下的分布律如下,X 0 1 2 p1/4 1/4 1/2 X2 0 1 p1/4 1/4 1/2 设设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)，则，则补充题补充题:某射击队
8、共有某射击队共有9名队员，技术不相上下，每人射名队员，技术不相上下，每人射击中靶的概率均为击中靶的概率均为0.8，各自打中靶为止，但限，各自打中靶为止，但限制每人最多打制每人最多打3次，问大约要为他们准备多少发次，问大约要为他们准备多少发子弹？子弹？解解设为设为 第第 i 名队员所需子弹数，名队员所需子弹数，9名队员所需子弹数目名队员所需子弹数目9名队员所需子弹数目的均值为名队员所需子弹数目的均值为二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点在数轴上取很密的分点x0 x1x2,则则X落
9、落在小区间在小区间xi ,xi+1)的概率是的概率是小区间小区间 xi,xi+1)阴影面积阴影面积近似为近似为小区间小区间Xi,Xi+1)由于由于xi与与xi+1很接近很接近,所以区间所以区间xi ,xi+1)中的中的值可以用值可以用 xi 来近似代替来近似代替.这正是这正是的渐近和式的渐近和式.阴影面积阴影面积近似为近似为因此因此 X 与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型 近似近似,该离散型随机变该离散型随机变量的数学期望量的数学期望是是 pi 定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函是连续型随机变量，其密度函数为数为 f(x),如果如果有限有限,定义定义X的数学期望为的数学期望
10、为也就是说也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分对收敛的积分.例例（均匀分布的期望值）设（均匀分布的期望值）设 在区间在区间a,b上服从上服从 均匀分布，求均匀分布，求 的期望值的期望值.解解 由于由于 的概率密度函数为的概率密度函数为则由公式则由公式得得是是a，b的平均值的平均值.点，即均匀分布的期望值点，即均匀分布的期望值x例：例：X 服从指数分布服从指数分布,例 解：设设(X,Y)在在区区域域A上上服服从从均均匀匀分分布布，其其中中A为为x轴轴，y轴和直线轴和直线x+y+1=0所围成的区域。所围成的区域。求求EX，E(-3X+2Y)，EXY
11、。三、数学期望的性质三、数学期望的性质 1.设设X=C是常数，则是常数，则E(C)=C;2.若若k是常数，则是常数，则E(k X)=k E(X);XCp1E X=C1=C 3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立 3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);推论推论:E(X1+C)=E(X1)+E(C)=E(X1)+CE(kX1+C)=E(kX1)+E(C)=kE(X1)+C4设设X,Y为为相相互互独独立立的的随随机机变变量量，则则有有 E(XY)=E(X)E(Y).可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p
12、的二项分布的随机的二项分布的随机变量变量X的数学期望是的数学期望是np.例例:XB(n,p),求求E(X).若设若设则则 X=X1+X2+Xni=1,2，n因为因为 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1p=np所以所以 E(X)=X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.E(Xi)=p4设设X,Y为为相相互互独独立立的的随随机机变变量量，则则有有 E(XY)=E(X)E(Y).注意注意:若若E(XY)=E(X)E(Y),X,Y不一定相互独不一定相互独立立.例例:设设X的概率密度为的概率密度为其中其中a,b为常数，且为常数，且E（X）=3/5。求。求a,b的值的值.作业：P94 2、3、6、11