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1、第三章第三章 点、线、面的投影点、线、面的投影学习目标与要求：学习目标与要求：本章主要介绍立体表面点、直线、平面投影的基本概本章主要介绍立体表面点、直线、平面投影的基本概念及其投影特性。通过学习念及其投影特性。通过学习,应该达到以下要求应该达到以下要求:1.1.掌握点的类型、投影特性和两点的相对位置掌握点的类型、投影特性和两点的相对位置,了解重了解重影点概念。影点概念。2.2.掌握直线的类型、投影特性。掌握直线的类型、投影特性。3.3.掌握平面的表示方法及其投影特性。掌握平面的表示方法及其投影特性。点、线、面的符号点、线、面的符号 规定规定空间形体空间形体上的点用大写字上的点用大写字母母A A
2、、B B、C C表示，其表示，其H H面投影面投影用用相应的相应的a a、b b、c c表示，表示，V V面投影面投影用相应的用相应的a a、b b、cc表示，表示，W W面投影面投影用用a a、b b 、c c。投影图中直线段投影图中直线段的标注，用直的标注，用直线段两端的字母表示。线段两端的字母表示。空间的面空间的面通常用通常用P P、Q Q、R R表示。表示。第一节第一节 点的投影点的投影 任一形体都可视为由点、线、面所组成，其中任一形体都可视为由点、线、面所组成，其中点点是最基本的几何元素。是最基本的几何元素。一、点的三面投影及其规律一、点的三面投影及其规律 空间点空间点A放置在三面投
3、影体放置在三面投影体系中，过点系中，过点A作垂直于作垂直于H面、面、V面、面、W面的投影线面的投影线 AHVOXYZaa axa ayazWa aa OXYHZYW点的三面投影图点的三面投影图axayazaya aa OXYHZYW点的投影规律点的投影规律axayazay水平投影和正面投影的水平投影和正面投影的连线垂直于连线垂直于OX轴轴（长对（长对正）正）；正面投影和侧面投影的正面投影和侧面投影的连线垂直于连线垂直于OZ轴轴（高平（高平齐）齐）；水平投影到水平投影到OX轴的距离轴的距离等于侧面投影到等于侧面投影到OZ轴的轴的距离距离（宽相等）（宽相等）。可得出点的投影特性如下：可得出点的投影
4、特性如下：（1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。的距离。一般只画出投影轴，不画一般只画出投影轴，不画投影面的边框投影面的边框【例例3-1】已知点已知点A的水平投影的水平投影a和正面投影和正面投影a，求其，求其侧面投影侧面投影a 解解:作图步骤如下作图步骤如下 二、点的投影与坐标二、点的投影与坐标H H面：面：a(x,y)a(x,y)V V面：面：a a(x,z)(x,z)W W面：面：a a(y,z)(y,z)1 1、投影与坐标、投影与坐标引入直角坐
5、标系的概念，点引入直角坐标系的概念，点A A的空间位置可用直角坐标表示的空间位置可用直角坐标表示为为A A（x x，y y，z z），其中），其中x x表示表示A A点到点到W W面的距离，面的距离，y y表示表示A A点到点到V V面的距离，面的距离，z z表示表示A A点到点到H H面的距离。面的距离。【例例3-2】已知点已知点A(14,10，20)，作其三面投影图。，作其三面投影图。解解:作图步骤如下作图步骤如下（1）方法一）方法一（2）方法二）方法二 2特殊位置点的投影特殊位置点的投影（1）投影面上的点）投影面上的点（2）投影轴上的点）投影轴上的点 三、两点的相对位置三、两点的相对位置
6、 空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的点的前或后、左或右、上或下前或后、左或右、上或下。空间两点的相对位置用坐标来表示：空间两点的相对位置用坐标来表示：X坐标大者在左，小者在右；坐标大者在左，小者在右；Y坐坐标大者在前，小者在后；标大者在前，小者在后；Z坐标大者在上，小者在下。坐标大者在上，小者在下。如果已知两点的相如果已知两点的相对位置对位置，以及其中一点的投影，也可以作出另一点的投影。，以及其中一点的投影，也可以作出另一点的投影。在投影面的重影点在投影面的重影点 H面的重影点面的重影点 W面的重影点面的
7、重影点 V面的重影点面的重影点 重影：重影：当两个点处于某一投影面的同一条投射线上，则两个点在这个投当两个点处于某一投影面的同一条投射线上，则两个点在这个投影面上的投影便互相重合。影面上的投影便互相重合。直直观观图图投投影影图图重影的特性：重影的特性：如图所示：点如图所示：点A A在点在点B B的正上的正上方，则其在方，则其在H H面上的投影面上的投影a a和和b b重合，重合，A A、B B点即为点即为H H面的重影面的重影点。由于点。由于A A点在上，点在上，B B点在下，点在下，向向H H面投影时，投射线先遇点面投影时，投射线先遇点A A，后遇点，后遇点B B，所以点，所以点A A的投影
8、的投影a a可见，点可见，点B B的投影的投影b b不可见。不可见。因此因此为了区别重影点的可见为了区别重影点的可见性，将不可见点的投影用字性，将不可见点的投影用字母加括号表示母加括号表示，即为，即为a(b)a(b)。则它们的则它们的X X、Y Y坐标相同，坐标相同，Z Z坐坐标不同。标不同。VHXOBAabab由于直线的投影一般由于直线的投影一般情况下仍为直线，且情况下仍为直线，且两点两点决定一直线，故决定一直线，故要获得直线的投影，要获得直线的投影，只需只需作出作出已知直线上已知直线上的的两个点的投影两个点的投影，再，再将它们相连即可。将它们相连即可。第二节第二节 直线的直线的投影投影按直
9、线与三个投影面之间的相对位置，将直线分为三类：按直线与三个投影面之间的相对位置，将直线分为三类：投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线。投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线。前两类统前两类统称为特殊位置直线。称为特殊位置直线。直线与投影面垂直直线与投影面垂直直线与投影面平行直线与投影面平行直线与投影面倾斜直线与投影面倾斜直线的分类直线的分类定义：定义：平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。面的直线。u水平线水平线平行于平行于H面，同时倾斜于面，同时倾斜于V、W面的直线。面的直线。u 正平线正平线平行于平行于V面，同时倾斜于面，同时倾斜于
10、H、W面的直线。面的直线。u 侧平线侧平线平行于平行于W面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、V面的直线。面的直线。一、投影面平行线一、投影面平行线分类：分类：ABVWHXYZO水平线水平线（平行平行H面，同时倾斜于面，同时倾斜于V、W面的直线）面的直线）aababb Xa b ab baOZYHYW水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴轴 VWHXYZOAB正平线正平线（平行（平行V面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、W面的直线）面的直线）aababb正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投
11、影垂直于OY轴轴 Xabab baOZYHYW VWHXYZOAB侧平线侧平线（平行（平行W面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、V面的直线）面的直线）aa b a bb侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴轴 bXZa b baOYHYWa投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性可概括如下：投影面平行线的投影特性可概括如下：（1）直线在它所平行的投影面上的投影）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长反映实长，且倾斜于投影轴，该投，且倾斜于投影轴，该投影与相应投影轴之间的夹角，影与相应投影轴之间的夹角，反映直线
12、与另两个投影面的倾角反映直线与另两个投影面的倾角。（2）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。实长。事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。其他两投影面夹角的实形。如图所示：如图所示：直线与投影面之间的夹角，称为直线的倾角。直线直线与投影面之间的夹角，称为直线的倾角。直
13、线对对H H面、面、V V面、面、W W面的倾角分别用希腊字母面的倾角分别用希腊字母、标记。标记。定义：定义：垂直于一个投影面。垂直于一个投影面。二、投影面垂直线二、投影面垂直线分类：分类：u铅垂线铅垂线垂直于垂直于H面，同时平行于面，同时平行于V、W面的直线。面的直线。u正垂线正垂线垂直于垂直于V面，同时平行于面，同时平行于H、W面的直线。面的直线。u侧垂线侧垂线垂直于垂直于W面，同时平行于面，同时平行于H、V面的直线。面的直线。VWHXYZOAB铅垂线铅垂线（垂直于（垂直于H面，同时平行于面，同时平行于V、W面的直线）面的直线）Zb Xa ba(b)OYHYWab a(b)a ab1.1.
14、abab积聚为一点积聚为一点;2.2.a a b ba ab bOZOZ;3.3.a a b b=a ab b=ABAB特性：特性：VWHXYZOAB正垂线正垂线（垂直于（垂直于V面，同时平行于面，同时平行于H、W面的直线）面的直线）ZX(a)b baOYHYWabbababa1.1.c c d d 积聚为一点积聚为一点2.2.cdcdOYHOYH,c cd dOYWOYW3.3.cdcd=c cd d=CDCD特性：特性：VWXYZOABH侧垂线侧垂线（垂直于（垂直于W面，同时平行于面，同时平行于H、V面的直线）面的直线）baababYWZXa(b)baOYHab1.1.e ef f积聚为一
15、点积聚为一点2.2.efefe e f fOXOX3.3.efef=e e f f=EFEF特性：特性：投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性可概括如下：投影面垂直线的投影特性可概括如下：（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；（2）直线的另外两个投影垂直于相应的投影轴，且反）直线的另外两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。映实长。事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间直于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间直
16、线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必垂线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必垂直于积聚投影所在的投影面。直于积聚投影所在的投影面。【例3-3】已知直线AB的水平投影ab,AB对H面的倾角为30,端点A距水平面的距离为10,A点在B点的左下方,求AB的正面投影ab,如图3-8a所示。图图3-83-8作正平线的作正平线的V V投影投影解解:(1):(1)作图分析作图分析由已知条件可知由已知条件可知,ABAB的水平投影的水平投影abab平行于平行于OXOX轴轴,因而因而ABAB是正平线是正平线,正平线正平线的正面投影与的正面投影与OXOX轴的夹角反映直线与轴的夹角反映直线与H H面
17、的倾角。面的倾角。A A点到水平面的距离等于点到水平面的距离等于其正面投影其正面投影a到到OXOX轴的距离轴的距离,从而先求出从而先求出a。(2)(2)作图步骤作图步骤1)1)过过a a作作OXOX轴的垂线轴的垂线aaXaaX,在在aaXaaX的延长线上截取的延长线上截取a aaXaX=10,=10,如图如图3-8b3-8b所示。所示。2)2)过过a a 作与作与OXOX轴成轴成3030的直线的直线,与过与过b b作作OXOX轴垂线轴垂线bbXbbX的延长线相交的延长线相交,因因A A点在点在B B点的左下方点的左下方,故所得交点即为故所得交点即为b b,连接连接a a b b 即为所求即为所
18、求,如图如图3-8c3-8c所示。所示。ABVWHXYZO三、一般位置直线三、一般位置直线定义：定义：对三个投影面都倾斜（既不平行又不垂直）的直线。对三个投影面都倾斜（既不平行又不垂直）的直线。ZXabaOYHYWabbbbabaa一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性：一般位置直线的投影特性：1）一般线在三个投影面上的投影都倾斜于投影轴一般线在三个投影面上的投影都倾斜于投影轴,其投其投影与相应投影轴的夹角不能反映真实的倾角。影与相应投影轴的夹角不能反映真实的倾角。2）三个投影的长度都小于实长。三个投影的长度都小于实长。事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状事
19、实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。态，则该直线一定是一条一般位置直线。例题：用直角三角形法求一般位置直线的实长与倾角。例题：用直角三角形法求一般位置直线的实长与倾角。如图如图3-10a3-10a所示所示,ABAB为一般位置直线为一般位置直线,在在ABAB与其水平投影与其水平投影abab所决定的平面所决定的平面 ABbaABba内内,过点过点A A作作ABAB1 1abab,与与BbBb相交于相交于B1,由于由于BbBbabab,所以所以ABAB1 1BBBB1 1,ABBABB1 1为直角三角形。该直角三角形的斜边是一般线为直角三角形。该直角三角形的
20、斜边是一般线ABAB本身本身,BABBAB1 1=是是ABAB对对H H面面的倾角的倾角,直角边直角边ABAB1 1等于等于abab,另一直角边另一直角边BBBB1 1是是A A、B B两点到两点到H H面的距离差面的距离差 ZBZB-ZAZA,如果能作出如果能作出ABBABB1 1,便可以求出一般线便可以求出一般线ABAB的实长和倾角。的实长和倾角。在图在图3-10b3-10b中中,ABAB的水平投影的水平投影abab已知已知,以以abab为一直角边为一直角边,以以A A、B B高度的差值高度的差值(即即ZBZB-ZAZA:在投影图中在投影图中,过过a a作一水平线作一水平线,与与连线连线b
21、bbb相交于相交于b b1 1,b bb b1 1即为即为ZBZB-ZAZA)为另一直角边为另一直角边,作作直角三角形直角三角形(符号为符号为)abBabB0,0,abBabB00ABBABB1,1,aBaB0 0即为一般即为一般线线ABAB的实长的实长,baBbaB0 0为直线为直线ABAB与与H H面的倾角面的倾角。同理同理,求求ABAB对对V V面的倾角面的倾角,可以可以a a b b 作一直角边作一直角边,A A、B B两两点的点的y y坐标差坐标差YAYA-YBYB(即即a a、b b前后方向的距离差前后方向的距离差,可在水平投影可在水平投影中找出中找出)为另一直角边为另一直角边,在
22、在V V投影上作投影上作A A0 0a a b b,A A0 0a a b bABAABA1,01,0b b 即为一般线即为一般线ABAB的实长的实长,A A0 0b b a a 为直线为直线ABAB与与V V面的倾角面的倾角,如图如图3-10c3-10c所示。所示。第三节第三节 平面的投影平面的投影一、平面的表示方法一、平面的表示方法二、各种位置平面的投影二、各种位置平面的投影一、平面的表示方法一、平面的表示方法1 1、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面平面的空间位置，可用下列任何一组几何元素来平面的空间位置，可用下列任何一组几何元素来表示。表示。（1）不在同一直线上）不在同一直线上的三
23、点的三点A、B、C最基本的表最基本的表示方法示方法（2）一直线和该直线外）一直线和该直线外一点一点 BC、A（3）相交两直线）相交两直线ABAC（4）平行两直线）平行两直线AB/CD（5）平面图形）平面图形ABC不但能确平面的不但能确平面的位置，而且能表位置，而且能表示平面的形状和示平面的形状和大小。大小。2、用迹线表示平面、用迹线表示平面u迹线：平面与投影面的交线。迹线：平面与投影面的交线。u迹线平面：用迹线来表示的平面。迹线平面：用迹线来表示的平面。水平迹线：水平迹线：P平面与平面与H面的交线，用面的交线，用PH表示表示 正面迹线：正面迹线：P平面与平面与V面的交线，用面的交线，用PV表示
24、表示 侧面迹线：侧面迹线：P平面与平面与W面的交线，用面的交线，用PW表示表示用迹线表示平面用迹线表示平面一般情况下，相邻两条迹线相交于投影轴上，它们的交点也就一般情况下，相邻两条迹线相交于投影轴上，它们的交点也就是平面与投影轴的交点。分别用是平面与投影轴的交点。分别用Px，Py，Pz来表示。三条迹来表示。三条迹线的任意两条就可以确定平面的空间位置。线的任意两条就可以确定平面的空间位置。迹线的投影及其表示：迹线的投影及其表示：由于迹线位于投影面上，它的一个投影与自身重合，另外由于迹线位于投影面上，它的一个投影与自身重合，另外两个投影与投影轴重合，通常用两个投影与投影轴重合，通常用只画出与自身重
25、合的投影并加只画出与自身重合的投影并加标记的办法来表示迹线，凡是与投影轴重合的投影均不标记。标记的办法来表示迹线，凡是与投影轴重合的投影均不标记。二、各种位置平面的投影二、各种位置平面的投影空间平面空间平面特殊位置平面特殊位置平面投影面垂直面投影面垂直面投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面平面的投影平面之投影：平面平面之投影：平面与与投影面之相投影面之相对对位置的不同，位置的不同，而有下列三而有下列三种种情形：情形：投影面垂直面投影面垂直面投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面1.投影面平行面投影面平行面 对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投对一个投影面平行，同时垂直于
26、其它两个投影面的平面。影面的平面。水平面水平面平行于平行于H面，同时垂直于面，同时垂直于V、W的平面的平面 正平面正平面平行于平行于V面，同时垂直于面，同时垂直于H、W的平面的平面侧平面侧平面平行于平行于W面，同时垂直于面，同时垂直于H、V的平面的平面VXHWYZO（1）水平面）水平面ppp1、水平投影、水平投影p反映实形；反映实形；2、正面投影正面投影p和侧面投影和侧面投影p积聚为一条直线并平行于相积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。应的投影轴。XYWZOYHpppP（1）迹线平面）迹线平面1、无水平迹线；、无水平迹线；2、Pv/OX轴，轴，Pw/OYw轴，有积聚性。轴，有积聚性。VXHWY
27、ZO（2）正平面）正平面1、正面投影、正面投影q反映实形；反映实形；2、水平投影水平投影q和侧面投影和侧面投影 q积聚为一条直线并平行于相积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。应的投影轴。qqqXYWZOYHqqqQ（2）迹线平面）迹线平面1、无正面迹线；、无正面迹线；2、QH/OX轴，轴，Qw/OZ轴，有积聚性。轴，有积聚性。VXHWZOY（3）侧平面）侧平面rrr1、侧面投影、侧面投影r反映实形；反映实形；2、水平投影水平投影r和正面投影和正面投影r积聚积聚为一条直线并平行于相应的投为一条直线并平行于相应的投影轴。影轴。XYWZYHOrrrQ（3）迹线平面）迹线平面1、无侧面迹线；、无侧面迹
28、线；2、RH/OYH轴，轴，RV/OZ轴，有积聚性。轴，有积聚性。总结总结 投影面平行面的投影特性可概括如下：投影面平行面的投影特性可概括如下：（1 1）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；（2 2）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。且分别平行于相应的投影轴。事实上，在平面的两面投影中，若有一面投影积事实上，在平面的两面投影中，若有一面投影积聚为平行于某投影轴的直线，则此平面必为该投影聚为平行于某投影轴的直线，则此平面必为该投影轴相邻的投影面的平行面。轴相邻的投影面的平行面。
29、2.投影面垂直面投影面垂直面 垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的平面。影面的平面。铅垂面铅垂面垂直于垂直于H面，同时倾斜于面，同时倾斜于V、W的平面的平面 正垂面正垂面垂直于垂直于V面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、W的平面的平面侧垂面侧垂面垂直于垂直于W面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、V的平面的平面VXHWZOYXZOYHYW（1）铅垂面）铅垂面1、水平投影积聚为一直线，并水平投影积聚为一直线，并反映对反映对V、W面的倾角面的倾角、的实的实形；形；2、正面投影正面投影p和侧面投影和侧面投影p均不反映实形且变小。均不反映实形且变小。Ppppp（1）
30、迹线平面）迹线平面1.1.P PH H有积聚性有积聚性,它与它与OXOX轴的夹轴的夹角反映角反映;它与它与OYOYH H的夹角反的夹角反映映2.2.P PV VOXOX轴轴P PW WOYWOYW轴轴VXHWZOY（2）正垂面）正垂面 1.1.正面投影正面投影q q 积聚为一直线积聚为一直线,并反映对并反映对H H、W W面的倾角面的倾角、2.2.水平投影水平投影q q和侧面投影和侧面投影q q是是Q Q相类似的图形相类似的图形,且面积缩小且面积缩小XZOYHYWQqqq（2）迹线平面）迹线平面1.QV1.QV有积聚性有积聚性,它与它与OXOX轴的夹角反映轴的夹角反映;它与它与OZOZ轴的夹角
31、反映轴的夹角反映2.QHOX2.QHOX轴轴,QWOZ,QWOZ轴轴VXHWZOY（3）侧垂面）侧垂面1.1.侧面投影侧面投影r r积聚为一积聚为一直线直线,并反映对并反映对H H、V V面的倾角面的倾角、2.2.水平投影水平投影r r和正面投影和正面投影r r 是是R R相类似的图形相类似的图形,且面积缩小且面积缩小XZOYHYWRrrr（3）迹线平面）迹线平面1.1.无侧面迹线无侧面迹线RWRW2.2.RHRHOYHOYH轴，轴，RVRVOZOZ轴轴有积聚性有积聚性总结总结投影面垂直面的投影特性可概括如下：投影面垂直面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一）平面
32、在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该平面与相应条斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该平面与相应投影面的夹角；投影面的夹角；（2）平面在另外两个投影面上的投影不反映实形，）平面在另外两个投影面上的投影不反映实形，且变小。且变小。事实上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影积事实上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影积聚为一条斜线，则该平面必为该投影面的垂直面。聚为一条斜线，则该平面必为该投影面的垂直面。3.一般位置平面一般位置平面对三个投影面都倾斜的平面。对三个投影面都倾斜的平面。VXHWZOYXZOYHYW三个投影均为类似形，不反三个投影均为类似形，不反映实形和倾角，也不积聚。映实形和倾角，也不积聚。【例例3-4】如图如图3-14a所示，已知正方形平面所示，已知正方形平面ABCD垂直于垂直于V面以及面以及AB的两的两面投影，求作此正方形的三面投影图。面投影，求作此正方形的三面投影图。解：解：(1)作图分析作图分析(2)作图步骤作图步骤 本章小结v1.点的投影点的投影v2.直线的投影直线的投影v3.平面的投影平面的投影