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1、第三章第三章 点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影3.1 点的投影点的投影3.2 直线的投影直线的投影3.3 平面的投影平面的投影3.4 相交问题相交问题3.5 投影变换法投影变换法(辅助投影法辅助投影法)3.1.1 点的两面投影点的两面投影3.1.2 点的三面投影点的三面投影3.1.3 两点的相对位置两点的相对位置3.1.4 重影点的投影重影点的投影例题例题1例题例题2基本要求基本要求3.1 3.1 点的投影点的投影3.1.1点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影五五、点的两面、点的两面投影的投影规律投影的投影规律二二、两投影面体系中点的投影、两投影面体系中点的投影一、两投影面
2、体系的建立一、两投影面体系的建立三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置四四、点的、点的两面两面投影图的画法投影图的画法一、两投影面体系的建立VXO水平投影面 H 正立投影面 V 投 影 轴 OX二、两投影面体系中点的投影点A的水平投影 a点A的正面投影 aaAZYXa三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置四、点的两面投影图的画法HXHVOa aaxxzya五、点的两面投影的投影规律1)aaOX 2)aax=Aa,aax=Aa 通常不画出投影面的边界3.1.2 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影三、点的直角坐标与三面投影的关系三、点的直角
3、坐标与三面投影的关系二、三投影面体系中点的投影二、三投影面体系中点的投影一、三投影面体系的建立一、三投影面体系的建立五、特殊点的投影五、特殊点的投影四、三投影面体系中点的投影规律四、三投影面体系中点的投影规律一、三投影面体系的建立水平投影面-H HV-OX正立投影面-V V W-OZ 侧面投影面-W HW -OY ZYWO三投影面体系的建立及分角的概念O二、三投影面体系中点的投影点A的水平投影 a 点A的正面投影 a点A的侧面投影 aHa aa VWXOZYWYHaaaA 1.aaz=aay=Aa=xA 2.aax=aaz=Aa=yA 3.aax=aa y=Aa=zA 三、点的直角坐标与三面投
4、影的关系VXZYWOayaxazxyzaaaA1.aa X轴，aaz=aay=XA2.aaZ轴，aax=aa y=ZA3.aax=aaz=YA四、三投影面体系中点的投影规律五、特殊点的投影HVOXb bc cCcca bBb Aaa a3.1.3 两点的相对位置两点中x 值大的点 在左两点中y 值大的点 在前 两点中z 值大的点 在上a a ab b bBA3.1.4 重影点的投影重影点的投影cd(c)dCDa(b)abAB例题例题1已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。a注注：因因为为平平面面是是无无限限大大的的，所所 以以一一般般不不画画出出平平面面边边框框。例题例题2已知点A在点B
5、之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。a a a985本节结束第二节结束3.2.1 直线投影的一般性质直线投影的一般性质3.2 直线的投影直线的投影3.2.2 各种位置直线的投影各种位置直线的投影3.2.5 直角投影定理直角投影定理3.2.3 直线上点的投影直线上点的投影3.2.4 两直线的相对位置两直线的相对位置基本要求基本要求 基本要求3.2.1直线投影的一般性质直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。abc(d)3.2.2各种位置直线的投影一、特殊位置直线一、特殊位置直线1.1.直线平行于一个投影面直线平行于一个投影面(1)(1)水平线水平线 (2)(2)正平线正平线(3)(3
6、)侧平线侧平线2.2.直线垂直于一个投影面直线垂直于一个投影面(1)(1)铅垂线铅垂线(2)(2)正垂线正垂线(3)(3)侧垂线侧垂线3.3.从属于投影面的直线从属于投影面的直线 从属于投影面的直线从属于投影面的直线 从属于投影面的铅垂线从属于投影面的铅垂线 从从属于投影轴的直线属于投影轴的直线二、二、一般位置直线一般位置直线(1)水平线只平行于水平投影面的直线aababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：1ab OX;ab OYW2ab=AB3反映、角的真实大小aababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：1ab OX;ab OYW2ab=AB3反映、角的真实大小
7、(1)水平线只平行于水平投影面的直线（2）正平线只平行于正面投影面的直线aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性：1ab OX;a b OZ2a b=AB3反映、角的真实大小（2）正平线只平行于正面投影面的直线aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性：1ab OX;a b OZ2a b=AB3反映、角的真实大小（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线aa b a bbAB投影特性：1ab OZ;ab OYH2ab=AB3反映、角的真实大小XZa b bbaOYHYWa（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线aa b a bb投影特性：1ab OZ;ab OYH2ab=AB3
8、反映、角的真实大小XZa b bbaOYHYWaABb a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1a b积聚成一点2a bOX;a bOYW 3a b=a b=AB（1）铅垂线垂直于水平投影面的直线ABZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1a b积聚成一点2a bOX;a bOYW 3a b=a b=AB（1）铅垂线垂直于水平投影面的直线ABb a(b)a abb a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1a b积聚成一点2a bOX;a bOYW 3a b=a b=AB（1）铅垂线垂直于水平投影面的直线AB（2）正垂线垂直于正面投影面的直线ba
9、baba投影特性：1ab 积聚成一点2abOX;abOZ3ab=ab=ABABzXab baOYHYWab（2）正垂线垂直于正面投影面的直线bababa投影特性：1ab 积聚成一点2abOX;abOZ3ab=ab=ABABzXab baOYHYWab（3）侧垂线垂直于侧面投影面的直线投影特性：1ab积聚成一点2 ab OYH;abOZ3ab=ab=ABABbaababZXabbaOYHYWab（3）侧垂线垂直于侧面投影面的直线投影特性：1ab积聚成一点2 ab OYH;abOZ3ab=ab=ABABbaababZXabbaOYHYWab从属于V 面的直线ZXabaOYHYWabbBbbabaA
10、 a从属于V 投影面的铅垂线ZYWbXaba(b)OYHa从属于OX轴的直线ZXabaOYHYWabb二、一般位置直线ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：1a b、ab、a b均小于实长2a b、ab、a b均倾斜于投影轴3不反映、实角四、作图1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角 例题1一般位置线段的实长及其对投影面的倾角|zA-zB|AB1求直线的实长及对水平投影面的倾角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab2求直线的实长及对正立投影面的倾角角|yA-yB|aXabbabABABa
11、b|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|3求直线的实长及对侧立投影面的倾角 角ABbbabaa|xA-xB|xA-xB|”例题例题1已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zA-zB|abABab|zA-zB|直线上的点具有两个特性：1从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。2定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C:C B=a c:c b=ac:cb=ac:c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。例题2例题3例题43.2.3直线上点的投影cc 例
12、题例题2 2 已知线段AB的投影图，试将AB分成21两段，求分点C的投影c、c。例题例题3 3 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。cccabc例题例题4已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。cLABzA-zBcab3.2.4两直线的相对位置一、平行两直线二、相交两直线 三、交叉两直线四、交叉两直线重影点投影的可见性判断 例题5 例题6 例题7一、平行两直线1若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。2平行两线段之比等于其投影之比。baadbbccXbaabdcdc
13、二、相交两直线当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。bXaabkcddck三、交叉两直线凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。b Xa abc d dc11(2)2四、交叉两直线重影点投影的可见性判断(3)4 1(2)43341 2 12例题例题5 5 判断两直线的相对位置dacboYWYHz例题例题6 6 判断两直线的相对位置11dc 11例题例题7 7 判断两直线重影点的可见性3(4)34121(2)3.2.5直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影定理一定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投
14、影仍反映直角。定理二定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影定理三定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。例题8例题9例题10一、垂直相交的两直线的投影cXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab acAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac二、交叉垂直的两直线的投影例题例题8 8 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
15、bbf例题例题9 9 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。feeb 例题例题1010 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcABab|yA-yB|bc=BCcaa本节结束第三节结束3.3 平面的投影平面的投影3.3.1 3.3.1 平面的表示法平面的表示法3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性3.3.3 3.3.3 平面上的点和直线平面上的点和直线 基本要求基本要求基本要求3.3.1 平面的表示法一、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。二、平
16、面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。一、用几何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcdd二、平面的迹线表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ3.3.2各种位置平面的投影特性一、投影面的垂直面一、投影面的垂直面:垂直于一个投影面同时倾斜垂直于一个投影面同时倾斜于其他二投影面的平面于其他二投影面的平面1 1铅垂面铅垂面：垂直于：垂直于H H面的面的平面平面 2 2正垂面正垂面：垂直于：垂直于V V面的平面面的平面 3 3侧垂面侧垂面：垂直于：垂直于W W面的平面面的平面 二、投影面的平行面平行于一个投影面的
17、平面二、投影面的平行面平行于一个投影面的平面1 1水平面水平面：平行于平行于H H面的平面面的平面2 2正平面正平面：平行于：平行于V V面的平面面的平面3 3侧平面侧平面：平行于：平行于W W面的平面面的平面三、三、一般位置平面一般位置平面：倾斜于三个投影面的平面倾斜于三个投影面的平面PPH1铅垂面投影特性(1)abc积聚为一条线(2)abc、abc为ABC的类似形(3)abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小ABCacbabab bab ccc铅垂面迹线表示法PHPPHQQV2正垂面投影特性(1)abc 积聚为一条线(2)abc、abc为ABC的类似形(3)abc与OX、OZ的夹角反映、
18、角的真实大小AcCabBbababaccc正垂面的迹线表示法QQVQVSWS3侧垂面投影特性(1)abc积聚为一条线(2)abc、abc为ABC的类似形(3)abc与OZ、OY的夹角反映、角的真实大小CabABcbababaccc侧垂面的迹线表示法VWSwSZXOYSwY1水平面投影特性：(1)abc、abc积聚为一条线，具有积聚性(2)水平投影abc反映ABC实形CABabcbacabccabbbaacc2正平面投影特性：(1)abc、abc 积聚为一条线，具有积聚性(2)正平面投影abc反映ABC实形cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：(1)abc、abc 积聚为一条线，具
19、有积聚性(2)侧平面投影abc反映ABC实形3侧平面abbbacccabcbacabcCABa三、一般位置平面投影特性(1)abc、abc、abc 均为ABC的类似形(2)不反映、的真实角度abccabbaaabbccbacABC3.3.3属于平面的点和直线 从初等几何可知，点和直线在平面上的必要从初等几何可知，点和直线在平面上的必要和充分条件是：如果点位于平面上的任一直线和充分条件是：如果点位于平面上的任一直线上，则此点在该平面上。如果一直线通过平面上，则此点在该平面上。如果一直线通过平面上两已知点或通过平面上一已知点且平行于平上两已知点或通过平面上一已知点且平行于平面上一已知直线，则此直线
20、在该平面上。面上一已知直线，则此直线在该平面上。一、一、属于一般位置平面的点和直线属于一般位置平面的点和直线二、二、属于特殊位置平面的点和直线属于特殊位置平面的点和直线三、三、属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线四、四、属于平面的最大斜度线属于平面的最大斜度线(不在此讲述不在此讲述)一、属于一般位置平面的点和直线一、属于一般位置平面的点和直线1 1平面上的直线平面上的直线 直直线线在在平平面面上上的的几几何何条条件件是是：通通过过平平面面上上的的两两点点；通通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2 2平面上的点平面上的点 点点在在平平面面上上
21、的的几几何何条条件件是是：点点在在平平面面内内的的某某一一直直线线上上 先先在在平平面面上上取取一一直直线线，再再在在此此直直线线 上上取取点点。也也称称为为辅辅助助线线法法。在在平平面面上上取取点点、直直线线的的作作图图，实实质质上上就就是是在在平平面面内内作作辅辅助助线线的的问问题题。利利用用在在平平面面上上取取点点、直直线线的的作作图图，可可以以解解决决三三类类问问题题：判判别别已已知知点点、线线是是否否属属于于已已知知平平面面；完完成成已已知知平平面面上上的的点点和直线的投影；完成多边形的投影。和直线的投影；完成多边形的投影。例题例题1 1 例题例题2 2 例题例题3 31取属于平面的
22、直线 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。EDFddeeff 2取属于平面的点 取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线EDddee例题例题1已知ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。ddee例题例题2已知点D在ABC上，试求点D的水平投影。dd11例题例题3已知点E在ABC上，试求点E的正面投影。ee二、属于特殊位置平面的点和直线 1 1取属于投影面垂直面的点和直线取属于投影面垂直面的点和直线 2 2过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1)(1)几何元素表示法几何元素表示法 (
23、2)(2)迹线表示法迹线表示法 3 3过特殊位置直线作平面过特殊位置直线作平面 (1)(1)过正垂线作平面过正垂线作平面 (2)(2)过正平线作平面过正平线作平面 bb1取属于投影面垂直面的点和直线aaeffeabbaSbaabAB2过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作铅垂面PH过一般位置直线AB作正垂面SVPPHSVAB(1)过一般位置直线作投影面的垂直面(几何元素表示法)mn(n)(m)(2)过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法)baSVQWPH(1)过正垂线作平面(迹线表示法)PVSVQVRV（a）给题（c）作侧垂面（b）作水平面（d）作正垂面（有无穷多个）(2)
24、过正平线作平面PHSHgg（a）给题（c）作正垂面（b）作正平面（d）作一般位置平面（有无穷多个）三、属于平面的投影面平行线属于平面的水平线和正平线属于平面的水平线和正平线 例题例题4 4 例题例题5 5P属于平面的水平线和正平线PVPH例题例题4已知ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。mnnm例题例题5已知点E在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。mnmnrsrs1015ee第三节结束第三节结束3.4 相交问题相交问题3.4.1 直线与平面平行直线与平面平行 两平面平行两平面平行3.4.2 直线与平面的交点直线与平面的交点
25、 两平面的交线两平面的交线3.4.3 直线与平面垂直直线与平面垂直 两平面垂直两平面垂直 基本要求基本要求基本要求（一）平行问题（一）平行问题 1 1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2 2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题（二）相交问题 1 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积
26、聚性）。2 2熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。面相交求交线的作图方法。3 3掌握利用重影点判别投影可见性的方法。掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题（四）点、线、面综合题 1 1熟练掌握点、线、面的基本作图方法；熟练掌握点、线、面的基本作图方法；2 2能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的
27、一般解题步骤和方法。步骤和方法。一一、直线与平面平行直线与平面平行几几何何条条件件 若若平平面面外外的的一一条条直直线线与与平平面面内内的的一一条条直直线线平平行行，则则该该直直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有有关关线线、面面平平行行的的作作图图问问题题有有：判判别别已已知知线线面面是是否否平平行行；作作直直线线与与已已知知平平面面平平行行；包包含含已已知知直直线线作作平平面面与与另另一一已已知知直直线线平平行行。例题例题1 1 例题例题2 2二、二、平面与平面平行平面与平面平行几几何何条条件件 若若一一个个平平面面
28、内内的的相相交交二二直直线线与与另另一一个个平平面面内内的的相相交交二二直直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两两面面平平行行的的作作图图问问题题有有：判判别别两两已已知知平平面面是是否否相相互互平平行行；过过一一点点作作一一平平面面与与已已知知平平面面平平行行；已已知知两两平平面面平平行行，完完成成其其中中一一平平面面的的所缺投影。所缺投影。例题例题3 3 例题例题4 4 例题例题5 53.4.1 直线与平面平行直线与平面平行 两平两平 面平行面平行一、直线与平面平行一、直线与平面平行 若一直线平行于属于定平面的一直线
29、，则该直线与若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行平面平行例题例题1试判断直线AB是否平行于定平面fgfg结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面例题例题2试过点K作水平线AB平行于CDE平面baaffb二、两平面平行 若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行的相交两直线，则此两平面平行EFDACB例题例题3 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行mnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行例题例题4已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmn
30、fefsrsrkk例题例题5试判断两平面是否平行。结论：因为PH平行SH，所以两平面平行3.4.2直线与平面的交点、两平面的交线一、一、直线与平面相交只有一个交点直线与平面相交只有一个交点二、两平面的交线是直线二、两平面的交线是直线三、三、特殊位置特殊位置线线面相交面相交四、一般位置平面与四、一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交五、直线与一般位置平面相交五、直线与一般位置平面相交六、两一般六、两一般位置位置平面相交平面相交一、直线与平面相交直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKAM二、平面与平面相交两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有FKNL三、特殊位置线
31、面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交bbaaccmmnn直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。kk判断直线的可见性bbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。()求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别其可见性。k21k21四、一般位置平面与特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于由于特殊位置特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。一般位置平面与一般
32、位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交判断平面的可见性判断平面的可见性一般位置平面与特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf铅垂面与一般位置平面相交铅垂面与一般位置平面相交判断平面的可见性结果判断平面的可见性五、一般位置直线与一般位置平面相交 以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图12以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1过EF作正垂平面Q。2求Q平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。示意图ABCQ过MN作正垂面QMN以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图12以铅垂面为辅助平面求
33、线面交点。PH1步骤：1过EF作铅垂平面P。2求P平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。kk2示意图CAB过MN作铅垂面PNMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图fee直线EF与ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性1243（）kk34示意图()21直线EF与平面 ABC相交，判别可见性示意图1 (2)(4)3利用重影点。判别可见性六、两一般位置平面相交求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线示意图判别可见性例题6 两一般位置平面相交，求交线步骤：1用求直线与平面
34、交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线llnmmnPVQV1221kkee2连接两个共有点，画出交线KE。示意图两一般位置平面相交求交线的方法示意图 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3 4 ()3 4 21()1 2例题例题6试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交。分析过已知点K作平面P平行于ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH作图mnhhnmPV11221过点K作平面KMN/ABC平面。2求直线EF与平面KMN的交点H。3连接KH
35、，KH即为所求。3.4.3 直线与平面垂直、两平面垂直直线与平面垂直、两平面垂直一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直 几何条件几何条件 定理定理1 1 定理定理2 2 例题例题7 7 例题例题8 8 例题例题9 9 例题例题1010二、两平面垂直二、两平面垂直 几何条件几何条件 例题例题1111 例题例题1212 例题例题1313一、直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则 必垂直于属于该平面的一切直线。定理1若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。knkn定理2（逆）若一直线的水平投影垂直于属于
36、平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。例题例题7平面由BDF给定，试过定点K作平面的法线。acacnnkkh例题例题8试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhh（a）（c）（b）例题例题9平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。efef两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。两平面垂直两平面不垂直g例题例题12平面由BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。hacachg例题例题1
37、3试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。ffdd结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。例题例题14试过定点A作直线与已知直线EF正交。EQ分析过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。FAK作图21aefafe1221PV12kk第四节结束第四节结束3.5 投影变换法投影变换法(辅助投影法辅助投影法)3.5.1 概概 述述3.5.2 换面法换面法基本要求基本要求基本要求3.5.1概述 aabb 两点之间距离aabbcc三角形实形aabbccdd 直线与平面的交点abcdabcd 两平面夹角3.5.2换面法一、一、换面法的基本概
38、念换面法的基本概念二、二、新投影面的选择原则新投影面的选择原则三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律四、六个基本问题四、六个基本问题一、换面法的基本概念a1c1b1V1X1X1换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H体系变为V1/H体系c1b1a1bcabacX（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2新投影面必须垂直于一个不变投影面。二、新投影面的选择原则三、点的投影变换规律1 1点的一次变换点的一次变换2 2点的投影变换规律点的投影
39、变换规律3 3点的两次变换点的两次变换1点的一次变换X1V1a1a1X1 V1a1X1HV1 V1a12点的投影变换规律（1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。H1X1点在V/H1体系中的投影X1H1Va1a1a23点的两次变换X2H2V12X2a2四、六个基本问题四、六个基本问题（一）（一）把一般位置直线变为把一般位置直线变为投影面平行线投影面平行线 例题例题1 1（二）（二）把把投影面平行线投影面平行线变为变为投影面垂直线投影面垂直线（三）（三）把把一般位置直线一般位置直线变为变为投影面垂直线投影面垂直线 例题例题
40、2 2 例题例题3 3（四）（四）把一般位置平把一般位置平面面变为变为投影面垂直面投影面垂直面 例题例题4 4 例题例题5 5（五）（五）把把投影面垂直面投影面垂直面变为变为投影面平行面投影面平行面（六）（六）把一般位置平把一般位置平面面变为变为投影面平行面投影面平行面 例题例题6 6V1X1（一）把一般位置直线变为投影面平行线 a1 b1a1b1 X1V1H例题例题1把一般位置直线变为H1投影面平行线X1H1Va1b1X1H1Va1 b1（二）把投影面平行线变为投影面垂直线bb1X1a1b1（三）把一般位置直线变为投影面垂直线V1X1 a1 b12a2 b2把一般位置直线变为投影面垂直线X2
41、H2V1a2 b2X1HV1a1 b1 例题例题2求点C到直线AB的距离提示c2作图c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2 k2a2距离211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b例题例题3求两直线AB与CD的公垂线。a cXVHbb ac（四）把一般位置平面变为投影面垂直面c ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d1k1X1H1Vb1a1c1 d1s1例题例题4求点S到平面ABC的距离距离eN ddX1VH1k1e1例题例题5已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。b1a1c1d1（五）（五）把把投影面垂直面投影面垂直面变为变为投影面平行面投影面平行面 V1c1b1a1X1X1V1c1b1a1a1c1b1X1例题例题6已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1（六）把一般位置平面变为投影面平行面实形本章结束