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1、第三章第三章第三章第三章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影第三章第三章 投影法和点、直线、平面的投影投影法和点、直线、平面的投影3-13-1 投影法投影法投影法投影法 3-23-2 多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影 3-33-3 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影 3-43-4 平面的投影平面的投影平面的投影平面的投影 3-53-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置 一、投影法的基本知识一、
2、投影法的基本知识3-1 3-1 投影法投影法投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。投影法投影法:所有投射线的起源点。所有投射线的起源点。投射中心投射中心:发自投射中心且通过物发自投射中心且通过物体上各点的直线。体上各点的直线。投射线投射线:投影面投影面:在投影法中得到投影的面。在投影法中得到投影的面。投影投影(图图):根据投影法所得到的图形。根据投影法所得到的图形。3-1 3-1 3-1 3-1 投影法投影法投影法投影法二、投影法的分类二、投影法的分类3-1 3-1 投影法投影法一、多面正投影一、多面正投影3-2 3-
3、2 多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影 将在互相垂直的两个或多个投影面上得到的正投影展开在同一图将在互相垂直的两个或多个投影面上得到的正投影展开在同一图面上，并进行有规则地配置，这样的图形称为面上，并进行有规则地配置，这样的图形称为正投影正投影或或正投影图正投影图。3-2 3-2 3-2 3-2 多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影三、点在三投影面体系第一分角中的投影三、点在三投影面体系第一分角中的投影3-2 3-2 多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影1.点的投影与坐标点的投影与坐标3-2 3-2 多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影
4、2.投影面和投影轴上的点投影面和投影轴上的点3-2 3-2 多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影4.重影重影点点3-2 3-2 多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影一、直线及直线上点的投影特性一、直线及直线上点的投影特性3-3 3-3 直线的投影直线的投影3.3.直线上点的投影，必在直线的同面投影上。直线上点的投影，必在直线的同面投影上。1.1.不垂直于投影面的直线的投影，仍为直线。不垂直于投影面的直线的投影，仍为直线。4.4.不垂直于投影面的直线段上的点，分割直线段之比，在不垂直于投影面的直线段上的点，分割直线段之比，在 投影图上仍保持不变。投影图上仍保持不变。2.2.垂直于投影面的
5、直线的投影，积聚成一点。垂直于投影面的直线的投影，积聚成一点。3-3 3-3 3-3 3-3 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影二、直线对投影面的各种相对位置二、直线对投影面的各种相对位置3-3 3-3 直线的投影直线的投影直线按对投影面的相对位置，可以分为三类直线按对投影面的相对位置，可以分为三类：侧垂线侧垂线侧垂线侧垂线（W 面）面）铅垂线铅垂线铅垂线铅垂线（H 面）面）侧平线侧平线侧平线侧平线（W 面）面）水平线水平线水平线水平线（H 面）面）正垂线正垂线正垂线正垂线（V 面）面）垂直于一个投影垂直于一个投影面，与另外两个投影面，与另外两个投影面平行。面平行。投影面的垂直线投影面的
6、垂直线投影面的垂直线投影面的垂直线 正平线正平线正平线正平线（V 面）面）投影面的平行线投影面的平行线投影面的平行线投影面的平行线 与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜（V 面、面、H 面、面、W 面）面）一般位置直线一般位置直线一般位置直线一般位置直线 平行于一个投影平行于一个投影面，与另外两个投影面，与另外两个投影面倾斜。面倾斜。直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置 特特特特殊殊殊殊位位位位置置置置直直直直线线线线 直线分类直线分类 2.投影面平行线投影面平行线3-3 3-3 直线的投影直线的投影3.投影面垂直线投影面垂直线3-3 3-3 直线的投影直线的投影三、两直线的相对位置三
7、、两直线的相对位置3-3 3-3 直线的投影直线的投影空间两直线可以有三种不同的相对位置空间两直线可以有三种不同的相对位置：平行平行 相交相交 交叉交叉 同面直线同面直线 异面直线异面直线 表：两直线的相对位置的投影特性表：两直线的相对位置的投影特性3-3 3-3 直线的投影直线的投影三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置(举例）举例）3-3 3-3 直线的投影直线的投影三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置(举例）举例）3-3 3-3 直线的投影直线的投影三、三、两直线的相对位置两直线的相对位置(举例）举例）3-3 3-3 直线的投直线的投影影1.1.换面法的基本作图法换面法的基本作图法
8、(情况一情况一)3-3 3-3 直线的投影直线的投影1.1.换面法的基本作图法换面法的基本作图法(情况二情况二)3-3 3-3 直线的投影直线的投影1.1.换面法的基本作图法换面法的基本作图法(情况三情况三)3-3 3-3 直线的投影直线的投影2.直线换面法直线换面法(举例举例)3-3 3-3 直线的投影直线的投影2.直线换面法（举例）直线换面法（举例）3-3 3-3 直线的投影直线的投影五、一边平行于投影面的直角的投五、一边平行于投影面的直角的投影影3-3 3-3 直线的投影直线的投影 当空间两直线成直角（相交或交叉）时：当空间两直线成直角（相交或交叉）时：（1 1）若两边都与某投影面）若两
9、边都与某投影面倾斜倾斜，则在该面上的，则在该面上的投影不是直角投影不是直角。（2 2）若两边都与某投影面）若两边都与某投影面平行平行，则在该面上的，则在该面上的投影反映直角投影反映直角。（3 3）若）若一边平行一边平行于某投影面，则在该面上的于某投影面，则在该面上的投影仍是直角投影仍是直角。五、一边平行于投影面的直角的投影五、一边平行于投影面的直角的投影3-3 3-3 直线的投影直线的投影五、一边平行于投影面的直角的投影五、一边平行于投影面的直角的投影3-3 3-3 直线的投影直线的投影六、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角六、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角3-3 3-3
10、直线的投影直线的投影 特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位置直线则不能。而一般位置直线则不能。除用换面法外，还可用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。除用换面法外，还可用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。3-3 3-3 直线的投影直线的投影六、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角六、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角一、平面的表示法一、平面的表示法3-4 3-4 平面的投影平面的投影 平面通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投平面通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何
11、元素的投影表示。影表示。一、平面的表示法一、平面的表示法3-4 3-4 平面的投影平面的投影 平面通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投平面通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投影表示。影表示。上述上述5 5种方式中，平面图形是最常用的表示方式。种方式中，平面图形是最常用的表示方式。3-4 3-4 3-4 3-4 平面的投影平面的投影平面的投影平面的投影二、平面对投影面的各种相对位置二、平面对投影面的各种相对位置3-4 3-4 平面的投影平面的投影平面按对投影面的相对位置，可以分为三类：平面按对投影面的相对位置，可以分为三类：平面分类平面分类 平面对投影面的相对位置平面
12、对投影面的相对位置 特特特特殊殊殊殊位位位位置置置置平平平平 面面面面 投影面平行面投影面平行面投影面平行面投影面平行面 平行于一个投影平行于一个投影 面，垂直于另外两面，垂直于另外两 个投影面个投影面正平面正平面正平面正平面（V 面）面）水平面水平面水平面水平面（H 面）面）侧平面侧平面侧平面侧平面（W 面）面）投影面垂直面投影面垂直面投影面垂直面投影面垂直面 只垂直于一个投只垂直于一个投 影面影面正垂面正垂面正垂面正垂面（V 面）面）铅垂面铅垂面铅垂面铅垂面（H 面）面）侧垂面侧垂面侧垂面侧垂面（W 面）面）一般位置平面一般位置平面一般位置平面一般位置平面 与三个投影面都倾斜与三个投影面都
13、倾斜（V 面、面、H 面、面、W 面）面）1.一般位置平面一般位置平面3-4 3-4 平面的投影平面的投影2.投影面垂直面投影面垂直面3-4 3-4 平面的投影平面的投影3.投影面平行面投影面平行面3-4 3-4 平面的投影平面的投影三、用有积聚性的迹线表示特殊位置平三、用有积聚性的迹线表示特殊位置平面面3-4 3-4 平面的投影平面的投影平面主要用平面主要用几何元素几何元素表示，也可以用表示，也可以用迹线迹线表示，表示，迹线是平面与投影面的交线迹线是平面与投影面的交线。三、用有积聚性的迹线表示特殊位置平三、用有积聚性的迹线表示特殊位置平面面3-4 3-4 平面的投影平面的投影平面主要用平面主
14、要用几何元素几何元素表示，也可以用表示，也可以用迹线迹线表示，表示，迹线是平面与投影面的交线迹线是平面与投影面的交线。四、平面上的点和直四、平面上的点和直线线3-4 3-4 平面的投影平面的投影四、平面上的点和直线（举例）四、平面上的点和直线（举例）3-4 3-4 平面的投影平面的投影3-4 3-4 平面的投影平面的投影 因为特殊位置平面在它所垂直的投影面上的投影积聚成直线，所以因为特殊位置平面在它所垂直的投影面上的投影积聚成直线，所以特殊位置平面上的点、直线和平面图形在该平面所垂直的投影面上的投特殊位置平面上的点、直线和平面图形在该平面所垂直的投影面上的投影，都位于这个平面的有积聚性的同面投
15、影或迹线上影，都位于这个平面的有积聚性的同面投影或迹线上。四、平面上的点和直线（举例）四、平面上的点和直线（举例）3-4 3-4 平面的投影平面的投影四、平面上的点和直线（举例）四、平面上的点和直线（举例）五、圆的投五、圆的投影影3-4 3-4 平面的投影平面的投影六、平面在换面法中的基本情况（情况一）六、平面在换面法中的基本情况（情况一）3-4 3-4 平面的投影平面的投影六、平面在换面法中的基本情况（情况二）六、平面在换面法中的基本情况（情况二）3-4 3-4 平面的投影平面的投影六、平面在换面法中的基本情况（情况三）六、平面在换面法中的基本情况（情况三）3-4 3-4 平面的投影平面的投
16、影3-4 3-4 平面的投影平面的投影六、平面在换面法中的基本情况（举例）六、平面在换面法中的基本情况（举例）3-4 3-4 平面的投影平面的投影六、平面在换面法中的基本情况（情况三）六、平面在换面法中的基本情况（情况三）3-4 3-4 平面的投影平面的投影七、旋转法作投影面垂直面的真形和一般位置直线的真长七、旋转法作投影面垂直面的真形和一般位置直线的真长 保持原投影面体系不变，把空间几何元素绕选定的轴线转到与投影面成特殊位置，保持原投影面体系不变，把空间几何元素绕选定的轴线转到与投影面成特殊位置，以达到求解几何问题的目的，这种方法称为以达到求解几何问题的目的，这种方法称为旋转法旋转法。当一点
17、绕垂直于某一投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在该投影面上的投影为当一点绕垂直于某一投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在该投影面上的投影为一一圆圆，在另一投影面上的投影为一条垂直于旋转轴的，在另一投影面上的投影为一条垂直于旋转轴的直线直线，这种方法称为，这种方法称为绕投影面垂直绕投影面垂直线为轴的旋转法线为轴的旋转法。绕投影面垂直轴的旋转法基本概念绕投影面垂直轴的旋转法基本概念3-4 3-4 平面的投影平面的投影七、旋转法作投影面垂直面的真形和一般位置直线的真长七、旋转法作投影面垂直面的真形和一般位置直线的真长已知已知ABCABC的两面投影，求的两面投影，求ABCABC的真形。的真形。“三同三同”原则
18、原则 在旋转时，各几何元素必须绕同一根轴，按同一方向，旋转同一角度旋转。在旋转时，各几何元素必须绕同一根轴，按同一方向，旋转同一角度旋转。分析：分析：ABAB为铅垂线，为铅垂线，ACAC和和BCBC为一般位置直线。以为一般位置直线。以ABAB为旋为旋转轴，旋转点转轴，旋转点C C，使水平投影，使水平投影acac1 1和和bcbc1 1与与OXOX轴相平行即可。轴相平行即可。作图：作图：1.1.以水平投影以水平投影abab重影点重影点为圆心，为圆心，ac ac长为半径画圆弧，长为半径画圆弧，使使acac1 1OXOX，得到，得到c c1 1点。点。2.2.过点过点cc作作OXOX的平行线的平行线
19、与过点与过点c c1 1的的OXOX的垂直线相交的垂直线相交于于c c1 1。3.3.连线连线acac1 1、bcbc1 1和和acac1 1，完成作图。这时，完成作图。这时abcabc1 1为为ABCABC的真形，的真形，线段线段acac1 1为为ACAC的真长，线的真长，线段段bcbc1 1为为BCBC的真长。的真长。ABC的真形的真形AC的真长的真长BC的真长的真长一、在特殊情况下图示与图解一、在特殊情况下图示与图解3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置空间直线与平面以及平面与平面可以有以下几种相对位置：空间直线与平面以及平面与平面可以有以下
20、几种相对位置：相交 直线与平面平行直线与平面平行 平行平面与平面平行平面与平面平行 直线与平面相交直线与平面相交 平面与平面相交平面与平面相交（其中垂直是相交的特例）（其中垂直是相交的特例）3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置1.1.相交相交3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面的交点是线面的共有点，两平面的交线是两面的共有直线。直线与平面的交点是线面的共有点，两平面的交线是两面的共有直线。1.1.相交（举例）相交（举例）3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面
21、之间的相对位置3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置1.相交（举例）相交（举例）3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置1.相交（举例）相交（举例）2.2.平行平行3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置3.3.垂直垂直3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置3.垂直垂直(举例举例)3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线
22、与平面以及两平面之间的相对位置 与垂直于投影面的已知平面相垂直的平面必定包含已知平面的垂线，垂与垂直于投影面的已知平面相垂直的平面必定包含已知平面的垂线，垂线是与已知平面相垂直的投影面的平行线，垂线的投影垂直于已知平面的有线是与已知平面相垂直的投影面的平行线，垂线的投影垂直于已知平面的有积聚性的同面投影。积聚性的同面投影。3.垂直垂直二、用换面法解点、直线、平面的定位和度量问题二、用换面法解点、直线、平面的定位和度量问题3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置 有关点、直线、平面的定位和度量问题，常常涉及有关点、直线、平面的定位和度量问题，常常涉及它们对投影
23、面的相对位置，它们之间的从属关系（如点它们对投影面的相对位置，它们之间的从属关系（如点在直线上，点或直线在平面上等），它们之间的相对位在直线上，点或直线在平面上等），它们之间的相对位置（如两点的相对位置、两直线的相对位置、直线与平置（如两点的相对位置、两直线的相对位置、直线与平面的相对位置、两平面的相对位置等）。面的相对位置、两平面的相对位置等）。1.1.在投影图中直接反映点、直线、平面之间距离和夹角的一些情在投影图中直接反映点、直线、平面之间距离和夹角的一些情况况3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置2.用换面法解题举例用换面法解题举例3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置2.用换面法解题举例用换面法解题举例3-5 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置2.用换面法解题举例用换面法解题举例