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1、13.1 3.1 投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识3.23.2点的投影点的投影点的投影点的投影第第3章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影3.3 3.3 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影3.4 3.4 平面的投影平面的投影平面的投影平面的投影23.1 投影的基本知识投影的基本知识一、投影的概念一、投影的概念投射线通过物体，向选定的面投射，并投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称为在该面上得到图形的方法，称为投影法。投影法。要素：投射中心 投射线 投影面3PSABCabc投影中心投射线物体投影投影面中心投影法中心投影法用于画透视图用于
2、画透视图二、投影的分类二、投影的分类1.中心投影法中心投影法4PABCabc(b)中心投影SPABCabcS物体位置改变，物体位置改变，投影大小也改变投影大小也改变投影特性投影特性 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差52.平行投影法平行投影法PABCabc(a)斜投影PABCabc（c）正投影投影特性投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面平行投影法平行投影法正投影正投影斜投影斜投影用于画斜轴测图用于画斜轴测图用于画工程图样及正轴测图用于画工程图样及正轴测图61.1.实形性实形性 当直
3、线或平面平行于投影面时，其投影反映原线段的实长或原平面图形的实形。2.2.积聚性积聚性 当直线、平面垂直于投影面，则投影分别积聚为点、直线。三、正投影法的基本性质三、正投影法的基本性质73.3.类似性类似性 当直线或平面倾斜于投影面时，直线的投影短于实长，平面的投影为平面图形的类似形，面积小于实形。（a）84.4.平行性平行性空间相互平行的直线，其投影一定平行。AB/CD,则ab/cd94.4.从属性、定比性从属性、定比性点在线上，点的投影在线的同名投影上。点分线段的比，投影后保持不变。HEF,则hef；eh:hf=EH:HF返回返回103-2点的投影点的投影 点的一个投影不能唯一确定点的空间
4、位置，至少需要两个投影。一、正多面投影一、正多面投影11物体在互相垂直的两个或多个投影面上得到正投影之后，将这些投影面旋转展开到同一图面上，使该物体的各正面投影图有规则的配置，并相互之间形成对应关系，这样的正投影图成为多面正投影或多面正投影图。VXOH 四个分角的划分12VXOaaXaAVXOaaXH a立体图投影面展开后OXaa图点在互相垂直的投影面上的投影，在投影面展成同一平面后的连线，成为投影连线（1）点的投影连线垂直于投影轴）点的投影连线垂直于投影轴（2）点的投影与投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离，）点的投影与投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离，axa=aA,axa=aA
5、二、点在二、点在V、H两头迎面体系第一分角中的投影两头迎面体系第一分角中的投影13HHWWV V1 1三投影面体系的建立三投影面体系的建立X XO OZ ZY YV VHHWWX XY YHHY YWWO OZ Z三投影面的展开三投影面体系的建立三、点在三投影面体系中的投影三、点在三投影面体系中的投影14V VWWHHX XZ ZY YA AaaaaxayazV VHHWWX XY YHHY YWWO Oa ax xa az za ayhyha aywywZ Zaaa三投影面的展开点的三面投影三三.点在点在V V、H H、W W的三面投影的三面投影从前向后投影（正面）正面投影从上向下投影（水平
6、面）水平投影从左向右投影（侧面）侧面投影15WWHHV VX XZ ZY YA Aaaaxayaza a点的三面投影点的三面投影图点的三面投影图点的直角坐标和投影规律点的直角坐标和投影规律a=aax=aaz=oyAa=aax=aay=ozAa=aaz=aay=ox2点到投影面的距离等于的坐标，也就是点点到投影面的距离等于的坐标，也就是点的投影到投影轴的距离。的投影到投影轴的距离。aaoxaaoz1点的投影连线垂直于投影轴。点的投影连线垂直于投影轴。16 五、第一分角内的各种未知的点的坐标和投影特性第一分角内的各种未知的点的坐标和投影特性1.空间点2.投影面上的点3.投影轴上的点4.重合于原点的
7、点在第一分角内，点按其与投影面的相对位置可分为四种17（1）空间点的三个坐标都不是零，三个投影都不在投影轴上。（2）投影面上的点有一个坐标为零，在该投影面上的投影与该点重合，在相邻投影面上的投影，分别在该点所在的投影面与投影所在的投影面相交的投影轴上。（3）投影轴上的点有两个坐标为零，在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影则与点o重合。（4）重合于原点的点的三个坐标都为零，三个投影都与原点重合。18例例3-1 已知点A的正面投影a和水平投影a，求A的侧面投影a”。19例例3-2 已知点A的坐标（12，16，10）；点B的坐标（28，8，0），点C的坐标（20，0，0
8、），求作各点的三面投影图。分析点A位空间点，B在H面上，C在X轴上。121610288Z=020Y=0,Z=020X=X=|X XA A-X-XB B|六、两点的相对位置六、两点的相对位置以以A A点为基准，点为基准，B B点在点在A A点的右、前、上方。点的右、前、上方。Y=|YY=|YA A-Y-YB B|Z=|ZZ=|ZA A-Z-ZB B|21当当X Xa a=X=Xb b、a a=Z=Zb b、Y Ya aYYb b时，点在面重影。时，点在面重影。当Xa=Xb、Y Ya a=Y=Yb b 、Z Za aZb时时，点在面重影。点在面重影。七、重影点七、重影点当当Ya=Yb Ya=Yb、
9、Za=Zb Za=Zb、XaXab b时时，点在面重影。点在面重影。返回返回若两个或两个以上的点的某一投影面投影重合，则这些点称为对这个投影面或这个投影的重影点。22一、直线及直线上点的投影特征一、直线及直线上点的投影特征a aa aa aa ab bb b(b b)b bc c直线的投影特征1ABP 直线 实形性实形性投影面的平行线2ABP 直线 类似性类似性一般位置直线3ABP 直线 积聚性积聚性投影面的垂直线4点在直线上，其投影必在该直线的同面投影上。（从属性从属性）直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。（定比性定比性）3-3 直线的投影直线的投影23直线上的点直线上的点AC:CB
10、=ac:cb=ac:cb=a”c”:c”b”点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，且点分直线段长度之比等于其投影分面投影上，且点分直线段长度之比等于其投影分直线段投影长度之比。直线段投影长度之比。24例3-3 已知线段AB的投影，试将AB分成2：3两段，求分点C的投影B0 0b L0 0aC0 0 ：C0 0B0 0=2：3 L0 025直线上的点的投影存在着从属关系和定比关系。直线上的点的投影存在着从属关系和定比关系。（一）从属关系（一）从属关系（二）定比关系（二）定比关系用途：用途：可以作直线上点的投影，可以判断点是否在直线上。可以作直线
11、上点的投影，可以判断点是否在直线上。26例：已知例：已知侧平平线ABAB和和M M、N N两点的两点的H H和和V V投影，判断点投影，判断点M M和点和点N N是否在是否在ABAB上。上。27HHV VWWX XZ ZY YA AB B a ab baabbb ba a二、直线的三面投影及投影特征二、直线的三面投影及投影特征1 1、一般位置直线、一般位置直线请点击此处到下一页一般位置直线的投影特性：三个投影都倾斜于投影轴投影长度小于直线的真长，投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的倾角。28那么我们如何知道直线的真长和倾斜角呢？那么我们如何知道直线的真长和倾斜角呢？利用直角三角形求一般位置线
12、的实长和倾角的方法，称为利用直角三角形求一般位置线的实长和倾角的方法，称为直角三角形法直角三角形法。29abZA-ZBAB的真长abyA-yBOXZA-ZBaabyA-yBb 已知点A的两面投影a和a，并知道直线AB的真长，=30，=45，由A至B的方向为向右、向后、向下，求作AB的两面投影ab和ab。38两直线平行两直线平行如果空间两直线相互平行，则它们的同面投影必定相互平行；反之，如果两直线的各同面投影各同面投影相互平行，则两直线在空间一定相互平行。相交两直线相交两直线如果空间两直线相交，则它们的同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律；反之，如果空间两直线的同面投影相交，且交点符合点的投
13、影规律，则这两直线在空间一定相交。交叉两直线交叉两直线既不平行又不相交的两直线。三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置请点击此处到下一页42例34判断两侧平线AB、CD的相对位置。a”b”c”d”故故ABCDkkkkOX故故ABCDab:cd=ab:cd故故ABCDa2=cda1=cda3=ab方法一：方法二：方法三：43例例3-5已知直线AB、CD的两面投影和点E的水平投影e，求作直线EF与CD平行，并与AB相交于点F。ff eefcdefcd返回返回44abcdecdbaefP81 例：判断直线例：判断直线AB、CD的相对位置关系的相对位置关系45abcdsemtbXmefOafsdc6
14、 mmnnP82，例：已知直线，例：已知直线AB、CD、EF，作水平线，作水平线MN，与，与AB、CD、EF分别交于点分别交于点M、S、T，点，点N在在V面前面前6mm。46四、一边并行于投影面的直角的投影四、一边并行于投影面的直角的投影47几何要素表示3.4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法49P PQ QQ QQ Q平面的投影特性实形性投影面平行面积聚性投影面垂直面类似性一般位置平面二、平面对投影面的各种相对位置及投影特性二、平面对投影面的各种相对位置及投影特性50名称名称立体图立体图投影图投影图投影特征正垂面（ABCV面）铅垂面（ABCH面）侧垂面（ABCW面）(1)
15、Vabc积聚为一直线，、在V面上反映真实大小。90 （2）H、Wabc和a”b”c”为类似形(1)Habc积聚为一直线，、在H面上反映真实大小。90(2)V、W，abc和a”b”c”为类似形(1)Wa”b”c”积聚为一直线，、在H面上反映真实大小。90(2)V、Habc和abc为类似形 1 1投投影影面面的的垂垂直直面面abcabccbaabcabcabcabcabcacb 请点击此处到下一页51名称名称立体图立体图投影图投影图投影特征正平面（ABCV面）水平面（ABCH面）侧平面（ABCW面）(1)V abc反映实形(2)H、W abc OX a”b”c”OZ，且具有积聚性(1)Habc反映
16、实形(1)Wa”b”c”反映实形(2)(2)V V、H Habc OZ,abc OYH，且具有积聚性2 2 投投影影面面的的平平行行面面(2)V、W abc OX a”b”c”OYW，且具有积聚性abcabcabcabcacbabccabcabcab请点击此处到下一页52HHV VWWX XX XY YHHY YWWO OZ ZA AB BC Caabbc caabbcca ab bc caabbc caabbcca ab bc c一般位置平面的投影及投影特征平面的投影图一般位置平面的投影特性3、一般位置平面、面三个投影均为类似形 、在三投影面上都不反映真实大小53三、平面上的点和线三、平面上
17、的点和线（1）若点位于平面上的任一直线上，则此点在该平面上。（2）若一直线通过平面上的两个点，或一直线通过平面上一已知点且平行于平面内的另一直线，则此直线必在该平面上。54例36 已知ABC平面上L点的水平投影l，求其正面投影l，又知K点的正面投影k和水平投影k，试判断K点是否在ABC平面上。X XO Oaabbc ca ab bc c1 111l ll lkkk k222 2结论：结论：K K点不在平面上点不在平面上55例37 已知ABC平面的两面投影，作出平面上的水平线AD和正平线CE的两面投影。作作adOX作作ceOX56例38 完成平面图形ABCED的正面投影。57例39 在ABC平面
18、上取一点K，使K点在A点之下15mm，在A点之前26mm，试求出K点的两面投影。X XO Oaabbc cb bc ca a15152626kkk k112233441 12 23 34 4例310 完成如图所示平面图形的水平投影，并求侧面投影。X XY YHHY YWWO OZ Zaabbc ca ab bc cl lgghh11223344l lg gh h1 12 23 34 4aaccbb44112233返回返回583-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置 直线与平面以及两平面之间的相对位置，除了支线位于平面上或两平面位于同一平面上的特例外，只可能相交相交或平行平行。59一、相交一、
19、相交 直线与平面的交点是直线和平面的共有点；两平面的交线是两平面的共有直线。60ABCabcFEKfekbacbacefef1.直线与投影面垂直面相交bacbacefefkk 作图步骤作图步骤 1.利用积聚性求出利用积聚性求出K点水平投影点水平投影k 2.利用点在线上的投影特性求出利用点在线上的投影特性求出K点正面点正面投影投影k 3.判别可见性判别可见性121(2)y1y2,即点即点在点在点前方，前方，EK正正面投影可见面投影可见1.直线与投影面垂直面相交121(2)a bcbacefefkk 作图步骤作图步骤 1.利用积聚性求出利用积聚性求出K点水平投影点水平投影k 2.利用点在线上的投影
20、特性求出利用点在线上的投影特性求出K点正面点正面投影投影k 3.判别可见性判别可见性y1y2,即点即点在点在点前方，前方，EK正正面投影可见面投影可见1.直线与投影面垂直面相交63 由此可知：直线与垂直于投影面的平面相交，平面的有积聚性的投影与直线的同面投影的点，就是交点的一个投影，从而可以做出焦点的其他投影；并可在投影图中直接判断直线投影的可见性。klabcbacefefddklVXOABCEDFcabefd 作图步骤作图步骤 1.利用积聚性求出利用积聚性求出KL的水平投影的水平投影kl 2.利用点在线上的投影特性求出利用点在线上的投影特性求出K点正面点正面投影投影k，l 3.判别可见性判别
21、可见性klKL121(2)2.平面与投影面垂直面相交klabcbacefefddkl由此可知：平面图形与垂直于投由此可知：平面图形与垂直于投影面的平面相交，可以作出前者影面的平面相交，可以作出前者的任两条直线与后者的交点，然的任两条直线与后者的交点，然后连成交线；并可在投影图中直后连成交线；并可在投影图中直接判断投影重合处的可见性。接判断投影重合处的可见性。abcbace(f)efkkdd 分析分析 EF在正面的投影有积聚性，在正面的投影有积聚性，故交点故交点K的正面投影必与的正面投影必与EF的的正面投影重合，利用面上取点正面投影重合，利用面上取点的方法可求出交点的方法可求出交点K的水平投的水
22、平投影影 作图作图 3.投影面垂直线与平面相交abcace(f)efkkdd由此可知，投影面垂直线与平面由此可知，投影面垂直线与平面的交点的一个投影就积聚在该直的交点的一个投影就积聚在该直线的积聚成一点的铜面投影上，线的积聚成一点的铜面投影上，其他的投影可按平面上取点的方其他的投影可按平面上取点的方法做出，并可用交叉线的重影点法做出，并可用交叉线的重影点来判断直线的投影的可见性。来判断直线的投影的可见性。可通过正面投影直观可通过正面投影直观地进行判别。地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为正都为正垂面，交线
23、为一条正垂线，两垂面，交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影的正面投影，交线的水平投影垂直于垂直于OXOX轴。轴。求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABCABC在上，在上，其水平投影可见。其水平投影可见。nm能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MNMN并判别可见性。并判别可见性。能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？O OX X4.两个垂直于正面的平面相交abcdefc f d b e a m(n)例：求两平面的交线例：求两
24、平面的交线 MNMN并判别可见性并判别可见性。求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABCABC在在上，其水平投影可见。上，其水平投影可见。mn空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正垂面正垂面，它们的，它们的交线为一交线为一条正垂线条正垂线，两平面正面投，两平面正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂投影，交线的水平投影垂直于直于OXOX轴。轴。O OX X70二、平行二、平行ABCEFabcefDd4-1 直线与平面平行直线与平面平行 两平两平
25、面平行面平行一、一、直线与平面平行直线与平面平行 若一直线平行于某平面上的任一直线，则该直线与平面平行。若一直线平行于某平面上的任一直线，则该直线与平面平行。据此可以解决据此可以解决:1.作直线平行于已知平面作直线平行于已知平面2.作平面平行于已知直线作平面平行于已知直线3.判断直线是否于平面平行判断直线是否于平面平行例题例题4.1 试过点试过点N作水平线作水平线MN平行于平行于ABC平面平面分析分析作图作图babcnacnXO1.在在ABC平面上任作平面上任作一水平线一水平线BD2.过点过点N作直线作直线MN平行平行与直线与直线BDdmmd直线直线 MN 即为所求即为所求例题例题4.2 试过
26、点试过点A作平面作平面ABC平行于直线平行于直线MN分析分析作图作图1.作直线作直线ACMN2.过点过点A任作直线任作直线ABABC 即为所求即为所求bccbmmannaXO例题例题4.3 试判断直线试判断直线EF是否平行于平面是否平行于平面ABCbabceaceXO分析分析作图作图1.在在ABC平面上任作平面上任作一辅助线一辅助线CD,且使且使cdef(或或cdef)2.求出求出ABC上的上的CD直直线的另一投影线的另一投影cd(或或cd)因因ef不平行不平行cd故故EF不平行与不平行与 ABCffd d75三、垂直三、垂直76 当直线与垂直于投影面的平面相垂直时，直线一定平行于该平面所垂直
27、的投影面当直线与垂直于投影面的平面相垂直时，直线一定平行于该平面所垂直的投影面(ABH面，而且直线的投影垂直于平面的有积聚性的同面投影（面，而且直线的投影垂直于平面的有积聚性的同面投影（abde）。）。77 当平面与投影面垂直线相垂直时，平面一定平行于该直线所垂直的投影面，仍具有上述投影特性。abecdedbcffa真实距离 如图，已知点A和平行四边形BCDE。过点A向BCDE作垂线AF，并作出垂足F以及点A与BCDE的真实距离。79803-6 投影变换投影变换 投影变换是研究如何通过改变空间几何元素，对投影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的。当直线或平面相对于投影面处于特殊位置当直
28、线或平面相对于投影面处于特殊位置(平行或垂直平行或垂直)时，可以方便地求出线时，可以方便地求出线段的实长、平面的实形以及相应的倾角。段的实长、平面的实形以及相应的倾角。当直线或平面相对于投影面处于不利于解题当直线或平面相对于投影面处于不利于解题的位置时，怎么办？的位置时，怎么办？解决方法：变换投影面。解决方法：变换投影面。81换面法换面法：使空间的诸几何元素的位置不动，通过更换投影面转变它们与投影面的相对位置，使其中的某些几何元素转变为所需的特殊位置，有由原投影作出新投影，在新投影中做出求解结果，在需要时还可将在新投影中求出的解题结果，返回到原投影中去。（一）用换面法结题的原则及基本作图（一）
29、用换面法结题的原则及基本作图82 图中为了获得图中为了获得ABC的真形，保留的真形，保留H面，用与它平行的面，用与它平行的V1面取代原来面取代原来的的V面，面，V1与与H面垂直，并构成了新的两面体系，在面垂直，并构成了新的两面体系，在V1面获得了面获得了ABC的真的真形形 a1b1c1。83VHXABabab 老投影体系老投影体系V/H新投影面新投影面V1新投影体系新投影体系V1/HX1新轴新轴老轴老轴a1b1新投影新投影被替换被替换的投影的投影被保留被保留的投影的投影被保留被保留的投影面的投影面被替换被替换的投影面的投影面 84VababV1HX1Xb1a1将一般位置直线变将一般位置直线变换
30、成换成V1面平行线面平行线85（二）直线、平面在换面法中常用的六种情况（二）直线、平面在换面法中常用的六种情况1.一次换面把一般位置直线变换成投影面平行线一次换面把一般位置直线变换成投影面平行线VaabH1HX1Xb1a1Vb已知直线AB的正面投影ab和点A的水平投影a,并知点B在A点后方，AB对V面的倾角=45，求AB的水平投影ab。862 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用功用:可用于求点与直线可用于求点与直线,两直线间的距离等。两直线间的距离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。投影。VHXABab
31、abX1H1a1b1X1H1Va1 b1XVHabab87a1b1VH a aXB b bA3.两次换面把一般位置直线变换成投影面垂直线两次换面把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a b abXVHX1H1P1作图：作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？轴的位置？a2 b2ax2a2 b2 P2P1X2.与与a1b1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线；一般位置直线变换为投影面垂直线一般位置直线变换为投影面垂直线88功用：可求解平面与投影面的倾角，功用：可求解平
32、面与投影面的倾角，点与平面的距离，点与平面的距离，两平行面间的距离等。两平行面间的距离等。4.把一般位置平面变换成投影面垂直面把一般位置平面变换成投影面垂直面问题的关键：在平面上作一条投影面问题的关键：在平面上作一条投影面平行线平行线，新新轴轴必须必须垂直垂直与该平行线与该平行线反映实长的那个投影反映实长的那个投影。89 一般位置直线变换成投影面一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？垂直线，需经几次变换？a b c abcdVHABCDX d 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。直线，那么该平面则变换
33、成新投影面的垂直面。P1X1c1b1 a1 d1空间分析：空间分析：在平面内在平面内取一条投影面平取一条投影面平行线行线，经一次换面后变换成新，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。成新投影面的垂直面。作图方法：作图方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？能否只进行一次变换？思考：思考：若变换若变换H面，需在面内取什么面，需在面内取什么位置直线？位置直线？正平线！正平线！90 a b c acbXVH例：把例：把三角形三角形ABC变变换换成投影面垂直面。成投影面垂直面。HP1X1作作 图图 过过 程：程
34、：在平面内取一条水平在平面内取一条水平 线线AD。d d 将将AD变换成新投影变换成新投影 面的垂直线。面的垂直线。d1a1 d1c1 反映平面对哪反映平面对哪个投影面的夹角？个投影面的夹角？.91 5.将投影面的垂直面变成投影面的平行面将投影面的垂直面变成投影面的平行面功用：功用：一次换面后可求解一次换面后可求解平面实形、形心、平面实形、形心、两直线交角等两直线交角等 问题的关问题的关键：键：新投影轴新投影轴必须必须平行于平行于该平面的积该平面的积聚性投影。聚性投影。HVbacV1ABCbaa1c1b1X1c92a1 b1需经几次变换？需经几次变换？一次换面一次换面,把一般位置平面变换成新投
35、影面的垂直面；把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2P1P26.把一般位置平面变换成投影面平行面把一般位置平面变换成投影面平行面ab a c b XVHc作作 图：图：AB是水平线是水平线空间分析：空间分析：a2c2b2c1X2轴的位置？轴的位置？平面的实形平面的实形.X1HP1.与其平行与其平行931、求直线实长和与投影面的倾角、求直线实长和与投影面的倾角 将直线变换成投影面的平行线。将直线变换成投影面的平行线。2、求平面实形和形心、求平面实形和形心 将平面变换成投影面的平行面。将平面变换成投影面的平行面。3、求平面
36、与投影面的倾角求平面与投影面的倾角 将平面变换成投影面的垂直面。将平面变换成投影面的垂直面。4、求距离求距离（1）点与直线之间）点与直线之间 a 将直线变换成投影面垂直线。将直线变换成投影面垂直线。b 将将点点与与直直线线组组成成的的平平面面变变换换成成投投影影 面面的的平平行行面。面。五、换面法的应用五、换面法的应用94（2）点与平面之间点与平面之间 将平面变换成投影面垂直面。将平面变换成投影面垂直面。（3）两平行线之间两平行线之间 将两直线变换成投影面垂直线。将两直线变换成投影面垂直线。（4）两平行平面之间两平行平面之间 将两平面变换成投影面垂直面。将两平面变换成投影面垂直面。5、求夹角、
37、求夹角（1）两直线之间）两直线之间 将两直线组成的平面变换成投影面平行面。将两直线组成的平面变换成投影面平行面。（2）两平面之间两平面之间 将将两两平平面面变变换换成成投投影影面面的的垂垂直直面面，即即应应将将两两平面的交线变换成投影面的垂直线。平面的交线变换成投影面的垂直线。95例例：已知直线：已知直线AB与与 CDE平面平行，且相距平面平行，且相距20mm，求直线，求直线AB的的水平投影。水平投影。XVHedcdecaba1b1X1VH1c1e1 d1ba20mm96b1 距离距离dd1X1HP1X2P1P2c2 d 例例1：求点：求点C到直线到直线AB的距离，并求垂足的距离，并求垂足D。
38、c c b a abXVH 如下图：当直线如下图：当直线AB垂直于投垂直于投影面时，影面时，CD平行于投影面，其投平行于投影面，其投影反映实长。影反映实长。APBDCca b d作图作图:求求C点到直线点到直线AB的距离，就是求垂线的距离，就是求垂线CD的实长。的实长。空间及投影分析：空间及投影分析：c1 a1 a2 b2 d2 过过c1作线平行于作线平行于x2轴。轴。.如何确定如何确定d1点点的位置？的位置？97b a abcdc 例例2：已知两交叉直线：已知两交叉直线AB和和CD的公垂线的长度的公垂线的长度 为为MN，且且AB为水平线，求为水平线，求CD及及MN的投影。的投影。MNm d
39、a1b1m1n1c1d1n空间及投影分析：空间及投影分析：VHXHP1X1圆半径圆半径=MNn m 当直线当直线AB垂直于投影面时，垂直于投影面时，MN平行于投影面，这时它的投影平行于投影面，这时它的投影m1n1=MN,且且m1n1c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：作图：请注意各点的投影如何请注意各点的投影如何返回？返回？求求m点是难点点是难点。.98空间及投影分析空间及投影分析：AB与与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（实大（60），因此需将），因此需将AB与与C点所确定的平面变换成投影面平行面。点所确定的平面变换成投影面
40、平行面。例例3:过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60角。角。d X1HP1X1P1P2ab a c b XVHc作作 图：图：c2c1a1 b1a2d2db2 几个解？几个解？两个解！两个解！已知点已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。上，求等边三角形的投影。思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60D点的投影如何点的投影如何返回？返回？.99P2P1X2H P1X1c d b a dacbd1c1a1d2b1c2a2 b2VHX例例4：求平面：求平面ABC和和ABD的两面角。的两面角。空间及投影分析空间及投影分析：由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。夹角。在投影图中在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。.