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1、現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-13-2 偏微分與全微分若考慮含有若考慮含有 n 個自變數個自變數 x1,xn 的函數的函數 則則當當 x2,xn 固固定定不不變變時時，f 可可視視為為 x1 的的函函數數，因因此此依依照前面的定義，可得導數照前面的定義，可得導數 此稱為此稱為 y 對於對於 x1 的偏導數的偏導數(partial derivative)以符號以符號 、fx1 或或 f1 表之。表之。11、現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-2例題3-7 試求 z=3x2-6xy2+ln(x2+y2+1)的偏導數函數，及在點(1,-1)之偏導數。解解：=6x-6y2+=-1
2、2xy+=61-6(-1)2+=-12(1)(-1)+=12+=X2+y2+12xX2+y2+12y(1,-1)(1,-1)12+(-1)2+12112+(-1)2+12(-1)現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-3例題3-8 設某汽車工廠生產小客車與卡車的成本函數為 C=0.12x2+0.04y2+0.04xy+320 x+80y+30其中 C 代表成本(以百萬元為單位)，x、y分別代表卡車與小客車的生產數量(以千輛元為單位)。若目前的生產數量為 x=500，y=1000，試求卡車與小客車的邊際成本(marginal cost)、，並解釋其意義。解：=0.24x+0.04y+320
3、=0.24500+0.041000+320=480 當生產小客車數量維持不變，每多生產一輛卡車，總成本增加480000元。=0.08y+0.04x+80 =0.081000+0.04500+80 =180 當生產卡車數量維持不變，每多生產一輛小客車，總成本增加180000元。X=500Y=1000X=500Y=1000X=500Y=1000X=500Y=1000現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-4 在第3-1節中，導數 所表示的是一個極限值，而不是兩個數量 dy、dx 的商。然而，若將符號看成 dy 被 dx 除時，卻能解釋許多的現象。因此我們先定義 dx 及 dy 的意義如下：由於
4、 f(x)=lim所以當增量 x 非常小時，y f(x)x 若以 dy,dx 代替 y,x，則得下面的定義：現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-5設 y=f(x)為一函數，(1)自變數 x 的微分(differential)dx 是 x 的增量，即 dx=x(2)因變數 y 的微分 dy 為 dy=f(x)dx 由上述定義可知，y 的微分dy為 x 與 dx的函數。又由於已知 =f(x)，所以我們可將看成兩個微分 dy、dx 的商。再者，dy 可當作 y 的近似值。也就是說，當 x 變動時，dy 可視為因變數 y 的改變量。3-13-1現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-6例題
5、3-9 設 y=x3，當 x=2，x=0.01時，y 的真實變動值為 y=f(x+x)f(x)=(2.01)3 23 =8.120601 8=0.120601若以微分 dy 來估計 y，則在 x=2，dx=0.01，dy=f(x)dx=3x2 dx=3(2)2(0.01)=0.12其誤差為 0.120601 0.12=0.000601以上微分 dy 的概念可推廣至n個自變數的函數。現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-7設設 y=f(x1,xn)，則，則 我們稱我們稱 dy 為因變數為因變數 y 的的全微分全微分(total differential)。3-23-2現代管理數學Chapt
6、er 3極佳化方法3-8 全微分 dy 所表示的是當所有自變數 x1,xn一起變動而使得因變數 y 改變的量，因此當我們令 dx1=x1,dx2=x2,dxn=xn 且x1,x2,xn 皆非常小時，y 的增量 y 大約等於 dy，即 y 現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-9例題3-10 設長方形兩鄰邊的長度分別為 x=10 及 y=15，但測量不甚精確，所測得之 x、y 分別為 10.1及 15.2，試求長方形面積誤差的近似值。解：面積 A=xy dA =15(0.1)+10(0.2)=1.5+2=3.5 若直接以 x、y 值代入求 A，則 A=(10.1)(15.2)(10)(15
7、)=153.52 150=3.52 因此 dA 可視為 A 的近似值。現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-10例題3-11 假設某產品的產出量與投入 x1、x2 的關係式則第一種投入的邊際生產力(marginal productivity)為若投入量分別為 x1=120，x2=30，則產出量 q=(120)1/2(30)1/2=(3600)1/2=(602)1/2=60 又 (120)-1/2(30)1/2=即當 x2=30 維持不變時，每增加投入 x1 一單位，大約可增加產出量 0.25 單位。q=x11/2 x21/2x1-1/2 x21/21/21/2現代管理數學Chapter
8、3極佳化方法3-11若將兩種投入同時增加 一單位，則因 =(120)1/2(30)-1/2=1即兩種投入同時增加一單位，則產出可增加 1.25 單位。若 x1 投入減少一單位，但希望產出水準維持不變(q=60)，即由得知 dx2=0.25，即 x2 的投入量須增加至 30.25單位。x11/2 x2-1/21/21/2現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-12 設含有兩個自變數的函數為若自變數 x 與 y 亦為變數 t 的函數則 z 亦可視為 t 的函數。此時，可利用 z 的全微分除以 dt，而求得一般而言，若函數為且此即多變數函數微分的連鎖法則。現代管理數學Chapter 3極佳化方法
9、3-13又若 x1,x2,xn 是另外兩個變數 r、s 的函數，即則現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-14例題3-12 若 z=x2y3，且 x=，y=3t3則由連鎖法則 =(2xy3)t+(3x2y2)(9t2)=2(t2)(3t3)3t+3(t2)2(3t3)2(9t2)=27t12+t12=t12又，若將 x=，y=3t3 代入 z=x2y3中，則得 z=(t2)2(3t3)3=t13221212現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-15例題3-13 若 ，且時 ，現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-16例題3-14 ABC公司生產兩種產品：相機及軟片，其生產 x
10、 個相機及 y 個軟片的成本函數為 z=30 x+0.15xy+y+900假設相機及軟片的需求函數分別為 y=2000 r 400s其中 r：相機價格，s：軟片價格。試求 r=50,s=2 時解：=(30+0.15y)+(0.15x+1)(-1)當r=50,s=2 時，代入得2現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-17 設函數 f 的導函數為 f，若 f 的導數亦存在，以 f 表之，則稱 f 為 f 的二階導函數(second order derivative)。若以符節 表示一階導數時，則第二階導數以 表之。一般而言，若 n 為大於 2 的正整數(n 2)，函數 f 第 n 階導數可定
11、義為 f 的第 n-1 階導數之導數。通常使用下列符節表示d2ydx2d yndxn，f(n)(x)或 Dnf(x)現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-18例題3-15若 ，則 222-2-2d2ydx2-2=6(-2)(-3)(2-3x)-3=2322!(2-3x)-3d3ydx322-3 2=2333!(2-3x)-4d nydxnd n-1ydxn-1=23nn!(2-3x)-(n+1)現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-19 若 f 為 n 個自變數的函數(n2)，我們亦可定義二階偏導數(second order partial derivative)。例如一階偏導數二階偏導數可定義為 和 稱為混合偏導數(mixed or cross partial derivative)，若以上兩種混合偏導數皆為連續，則2222222222現代管理數學Chapter 3極佳化方法3-20例題3-16若 z=x2y+x2y2+3xy則=2xy+2xy2+3y=x2+2x2y+3x22=2y+2y222=2x22(x2+2x2y+3x)=2x+4xy+3 2(2xy+2xy2+3y)=2x+4xy+3