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1、偏微分方程课件第一页，讲稿共五十一页哦 数学物理方程数学物理方程 指从物理学或其他各门自然科学、指从物理学或其他各门自然科学、技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方程技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方程(有有时也包括积分方程、微分积分方程等时也包括积分方程、微分积分方程等)。它们反映了。它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空间变量的导数之有关的未知变量关于时间的导数和与空间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、电磁学、量子力学等方间的制约关系。连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。面的基本方程都属于数学物理方程的范围。教学目的教学目的 通过本课程的
2、教学使学生获得有关偏微通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三类典型分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三类典型方程定解问题的解法，进一步扩大学生的数学知识方程定解问题的解法，进一步扩大学生的数学知识面，为后继课程提供必要的数学基础。面，为后继课程提供必要的数学基础。2第二页，讲稿共五十一页哦参考书目参考书目数学物理方程数学物理方程,王明新王明新,清华大学出版社。清华大学出版社。数学物理方程，数学物理方程，姜礼尚，姜礼尚，高教出版社。高教出版社。工程技术中的偏微分方程，工程技术中的偏微分方程，潘祖梁，潘祖梁，浙江大学出版社。浙江大学出版社。3第三页，讲稿共五十一
3、页哦一一.偏微分方程（偏微分方程（partial differential partial differential equation)equation)（PDEPDE）的基本概念）的基本概念自变量自变量未知函数未知函数偏微分方程的一般形式偏微分方程的一般形式4第四页，讲稿共五十一页哦PDEPDE的阶的阶：PDEPDE的的解解 古典解古典解广义解广义解概念概念是指这样一个函数，它满足方程，是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有并且在所考虑的区域内有m m阶连续阶连续偏导数。偏导数。线性线性PDEPDE非线性非线性PDEPDE半线性半线性PDEPDE拟线性拟线性PDEPDE完全非线
4、性完全非线性PDEPDE自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项项称为自由项5第五页，讲稿共五十一页哦线性线性PDEPDE：PDEPDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如：线性的。例如：常系数线性常系数线性PDE:PDE:不然称为变系数的不然称为变系数的齐次线性齐次线性PDE:不然称为非齐次的不然称为非齐次的线性线性PDEPDE的主部的主部:具有最高阶数偏导数组成的部分具有最高阶数偏导数组成的部分主部6第六页，讲稿共五十一页哦PDEPDE中对最高阶导数是线性的。例如中对最
5、高阶导数是线性的。例如：半线性半线性PDEPDE：完全非线性完全非线性PDEPDE：PDEPDE中对最高阶导数不是线性的。中对最高阶导数不是线性的。拟线性拟线性PDEPDE：拟线性拟线性PDEPDE中，最高阶导数的系数仅为自中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。例如：变量的函数。例如：非线性非线性PDE7第七页，讲稿共五十一页哦举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）1.2.变换解为：解为：8第八页，讲稿共五十一页哦举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）4.3.解为：变换解为：9第九页，讲稿共五十一页哦5.不易找出其通解，但还是可不易找出其通解，但还是可以找出一些特解
6、以找出一些特解任意解析函数任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。的实部和虚部均满足方程。也是解也是解6.特解都不易找到特解都不易找到KDVKDV方程方程举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）10第十页，讲稿共五十一页哦7.拟线性拟线性PDE8.拟线性拟线性PDE9.半线性半线性PDE10.半线性半线性PDE11.完全非线性完全非线性PDE11第十一页，讲稿共五十一页哦举例举例(多元函数多元函数)拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程热传导方程热传导方程波动方程波动方程12第十二页，讲稿共五十一页哦二二.定解问题的适定性定解问题的适定性定解问定解问题题PDE定
7、解条件定解条件初值条件初值条件 initial condition边值条件边值条件 boundary condition初、边值条件初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题初值问题、边值问题、混合问题13第十三页，讲稿共五十一页哦经典的定解问题举例经典的定解问题举例1+1维波动方程维波动方程(弦振动方程弦振动方程)的初值问题的初值问题14第十四页，讲稿共五十一页哦经典的定解问题举例经典的定解问题举例热传导方程的初值问题热传导方程的初值问题15第十五页，讲稿共五十一页哦经典的定解问题举例经典的定解问题举例二维调和方程的二维调和方程的边值问题边值问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（
8、Neumann）第三边值问题（Robin）16第十六页，讲稿共五十一页哦经典的定解问题举例经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题热传导方程的初、边值问题17第十七页，讲稿共五十一页哦何为适定性？何为适定性？存在性存在性唯一性唯一性连续依赖性（稳定性）连续依赖性（稳定性）适定性适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的适定的。稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的定解稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的定解问题解的偏差也将非常小问题解的偏差也将非常小18第十八页，讲稿共五十一页哦三三
9、.物理模型与定解问题的导出物理模型与定解问题的导出弦振动方程的导出弦振动方程的导出19第十九页，讲稿共五十一页哦弦振动方程与定解问题弦振动方程与定解问题 一长为一长为L L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。振动。假设这运动发生在同一平面内，求弦上假设这运动发生在同一平面内，求弦上各点位移随时间变化规律。各点位移随时间变化规律。弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变弦在运动过程中各
10、点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。点的位移函数所满足的微分方程。20第二十页，讲稿共五十一页哦取弦的平衡位置为取弦的平衡位置为OXOX轴，运动平面为轴，运动平面为XOUXOUOUXPQL在时刻 t，弦线在 x 点的位移为 u(x,t)OUXPQ上图中上图中PQPQ的放大图示的放大图示21第二十一页，讲稿共五十一页哦假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为 即表明弧段即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。在振动过程中长度近似不变。根
11、据根据Hooke定律，弦上各点的张力定律，弦上各点的张力 T 的大小与时的大小与时间间 t 无关，只与无关，只与x有关。再由于弦是柔软的，弦上有关。再由于弦是柔软的，弦上各点的张力各点的张力 T 的方向正是弦的切线方向。的方向正是弦的切线方向。22第二十二页，讲稿共五十一页哦(*1)(*2)设设 为弦的线密度为弦的线密度(单位长度的质量单位长度的质量)，为作用在为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密度弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密度(单位长度的力单位长度的力)，根，根据牛顿第二定律据牛顿第二定律，23第二十三页，讲稿共五十一页哦(*1)这表明张力的大小与这表明张力的大小与 x 也无关，
12、即也无关，即常数常数(*2)，微分中值定理，微分中值定理24第二十四页，讲稿共五十一页哦令令，可得微分方程方程可得微分方程方程弦是均匀的，故弦是均匀的，故 为常数，记为常数，记方程改写为方程改写为刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为称为弦振动方程。弦振动方程。25第二十五页，讲稿共五十一页哦 为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出响，由此必须列出初始条件初始条
13、件或者或者(以及以及)边界条件边界条件已知端点的位移已知端点的位移已知在端点受到垂直于已知在端点受到垂直于弦的外力的作用弦的外力的作用已知端点的位移与所受外力作用的一已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合个线性组合26第二十六页，讲稿共五十一页哦2+1维波动方程或膜振动方程维波动方程或膜振动方程 一块均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作垂直一块均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足于水平位置的微小振动，其运动规律满足其中：其中：u(x,y,t)表示在表示在 t 时刻、膜在时刻、膜在(x,y)点处的位移点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外力表示
14、单位质量所受的外力a2=T/：T表示张力、表示张力、为线密度为线密度27第二十七页，讲稿共五十一页哦3+1维波动方程或声波方程维波动方程或声波方程n+1维波动方程维波动方程28第二十八页，讲稿共五十一页哦热传导方程热传导热传导分析：设杆长方向为分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从轴，考虑杆上从x到到x+dx的一段的一段(代表代表)，其质量为，其质量为dm=dx，热容量为，热容量为cdm。设杆中的。设杆中的热流沿热流沿x轴正向，强度为轴正向，强度为q(x,t)，温度，温度分布为分布为 u(x,t)，则，则问题：一根长为问题：一根长为L的均匀导热细杆，的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导侧
15、面绝热，内部无热源。其热传导系数为系数为k，比热为，比热为c，线密度为，线密度为。求杆内温度变化的规律。求杆内温度变化的规律。由能量守恒定律由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有于是有c ut=-qx由热传导定律由热传导定律q(x,t)=-k ux(x,t)代入前面的式子，得到代入前面的式子，得到c ut=k uxxut=a2 uxx29第二十九页，讲稿共五十一页哦推广：推广：情况：内部有热源情况：内部有热源(或侧面不绝热或侧面不绝热)分析：设热源强度分析：设热源强度(单位时间在单位长度单位时间在单位长度 中产生的热量中产生的热量
16、)为为F(x,t)，代表段的，代表段的 吸热为吸热为Fdxdt方程：方程：c ut=k uxx+F ut=a2 uxx+f，f=F/(c)30第三十页，讲稿共五十一页哦稳定场方程稳定场方程产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。形式：在对应的演化方程中取消时间变量形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对，对t的导数为零。的导数为零。分类：分类：无外界作用情况无外界作用情况拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：u=utt+uyy+uzz=0有外界作用情况有外界作用情况泊松方程：
17、泊松方程：u=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型应用典型应用静电场方程：静电场方程：u=-/稳定温度分布：稳定温度分布：u=-F/k31第三十一页，讲稿共五十一页哦 在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程波动方程；热传导方程；稳定场方程这三类方程描写了这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点的特点我们在解析几何中知道对于二次实曲线我们在解析几何中知道对于二次实
18、曲线其中其中 为常数，且设为常数，且设 四、数学物理方程的分类四、数学物理方程的分类3232第三十二页，讲稿共五十一页哦则当则当 时，上述二次曲线分别为双时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类微分方程进行分类.下面主要以含下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的是一样的两个自变量两个自变量(x,y)的二阶线性
19、偏微分方程所具有的的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为普遍形式为3333第三十三页，讲稿共五十一页哦 二阶线性二阶线性PDE方程的分类方程的分类两个自变量，齐次两个自变量，齐次主部主部目的目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。的主部，从而据此分类。非奇异非奇异（1）34第三十四页，讲稿共五十一页哦复合求导复合求导35第三十五页，讲稿共五十一页哦系数之间的关系（2）（1）（3）36第三十六页，讲稿共五十一页哦其他系数之间的关系（3*）37第三十七页，讲稿共五十一页哦考虑考虑如若能找到两个相互独立的解如若能找到两个相互独立的解那么就作变换那么
20、就作变换从而有从而有（4）38第三十八页，讲稿共五十一页哦假设假设是方程是方程的特解，则关系式的特解，则关系式是常微分方程是常微分方程（4）（5）的一般积分。反之亦然。的一般积分。反之亦然。引理引理 由此可知，要求方程（由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。）的一般积分。39第三十九页，讲稿共五十一页哦定义定义称常微分方程（称常微分方程（5）为）为PDE（1）的）的特征方程。特征方程。称（称（5）的积分曲线为）的积分曲线为PDE（1）的）的特征曲线。特征曲线。（6）40第四十页，讲稿共五十一页哦记记定义定义方程方程(1)在点在点M 处是处是
21、双曲型双曲型：椭圆型：椭圆型：抛物型：抛物型：若在点若在点M M处，有处，有若在点若在点M M处，有处，有若在点若在点M M处，有处，有41第四十一页，讲稿共五十一页哦双曲型双曲型PDE右端为两相异的右端为两相异的实函数实函数它们的一般积分为它们的一般积分为由此令由此令，方程（方程（1 1）可改写为）可改写为双曲型方程的第双曲型方程的第一标准型一标准型双曲型方程的第双曲型方程的第二标准型二标准型42第四十二页，讲稿共五十一页哦抛物型抛物型PDE由此得到一般积分为由此令由此令，其中与独立独立(线性无关线性无关)的任意函数。的任意函数。43第四十三页，讲稿共五十一页哦由于由于由此推出由此推出44第
22、四十四页，讲稿共五十一页哦因此，方程（因此，方程（1 1）可改写为）可改写为抛物型方程的标准型抛物型方程的标准型而而45第四十五页，讲稿共五十一页哦椭圆型椭圆型PDE右端为两相异的右端为两相异的复数复数由此推出两族复数积分曲线为由此推出两族复数积分曲线为其中46第四十六页，讲稿共五十一页哦由此令由此令从而方程（从而方程（1 1）可改写为）可改写为，满足方程（满足方程（4 4）椭圆型方程的标准型椭圆型方程的标准型47第四十七页，讲稿共五十一页哦例例1抛物型方程抛物型方程令48第四十八页，讲稿共五十一页哦例例2双曲型方程双曲型方程49第四十九页，讲稿共五十一页哦例例3Tricomi方程椭圆型椭圆型双曲型双曲型抛物型抛物型50第五十页，讲稿共五十一页哦51第五十一页，讲稿共五十一页哦